24章本章小结

1、 24 本章小结-2-本章知识结构图本章知识结构图圆的基本性质圆的基本性质圆圆圆的对称性圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形和圆正多边形和圆有关圆的计算有关圆的计算点和圆的位置关系点和圆的位置关系切线切线直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形的外接圆三角形内切圆三角形内切圆等分圆周等分圆周弧长弧长扇形的面积扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积-3-第第1 1部分部分 圆的概念和性质圆的概念和性质第第2 2部分部分 与圆有关的位置关系与圆有关的位置

2、关系本本章章安安排排复复习习内内容容第第3 3部分部分 正多边形和圆正多边形和圆第第4 4部分部分 弧长和面积的计算弧长和面积的计算第第5 5部分部分 有关作图有关作图-4-一一. .圆的基本概念圆的基本概念: :1、圆（两种定义）、圆心、半径；2、圆的确定条件：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3、弦、直径； 4、圆弧（弧）、半圆、优弧、 劣弧； 5、等圆、等弧，同心圆；O O第第1 1部分部分 圆的概念和性质圆的概念和性质-5-6、圆心角、圆周角；7、圆内接多边形、多边形的外接圆；8、割线、切线、切点、切线长；9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过

3、推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。-6-二二. . 圆的基本性质圆的基本性质1.1.圆的对称性圆的对称性: :(1)(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,经过圆心的每一条直线都经过圆心的每一条直线都是它的对称轴是它的对称轴. .圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴. .(2)(2)圆是中心对称图形圆是中心对称图形, ,并且绕圆心旋转任何并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合一个角度都能与自身重合, ,即圆具有旋转不变即圆具有旋转不变性性. .-7-2.垂径定理垂径定理OABCDM AM=BM,重视：重视：模型模型“垂径定理直角三角形垂径定理直角三角形” 若若 CD是直

4、径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.（1）定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并且平并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.-8-CDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OCD MAB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. .-9- 对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形高、弓形高h，这四个量中，只要，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两已知其中任意两个量，就可以求

5、出另外两个量，如图有：个量，如图有：d + h = r222)2(adrhda2O垂径定理的垂径定理的应用应用-10-(1)(1)直径直径 ( (过圆心的线过圆心的线) )；(2)(2)垂直弦；垂直弦； (3) (3) 平分弦平分弦 ； (4)(4)平分劣弧；平分劣弧；(5)(5)平分优弧平分优弧. .知二得三知二得三注意注意:“ :“ 直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.”.”这句话对吗这句话对吗? ?( )( )错错OABCDM-11-OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧例例1 1 O O的半径为的半径为10cm10cm，弦

6、，弦ABABCDCD，ABAB=16=16，CDCD=12=12，则，则ABAB、CDCD间的距离间的距离 . .2cm或或14cm-12- 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两条弦两条弦, ,两条弦心距两条弦心距中中, ,有一组量有一组量相等相等, ,那么它们所对应的其余各组量都分别相那么它们所对应的其余各组量都分别相等等. .OABDABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出可推出AOB=AOB3.圆心角、弧、弦、弦心距的关系圆心角、弧、弦、弦心距的关系-13- 例例2 2 20112011济宁济宁 如图如图31312

7、 2，ADAD为为ABCABC外接圆的直径，外接圆的直径，ADADBCBC，垂足为点，垂足为点F F，ABCABC的平分线交的平分线交ADAD于点于点E E，连结，连结BDBD、CDCD. . (1) (1)求证：求证：BDBDCDCD； (2) (2)请判断请判断B B、E E、C C三点是否在以三点是否在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径的为半径的圆上？并说明理由圆上？并说明理由图图31312 2(1)(1)证明：证明：ADAD为直径，为直径，ADADBCBC， BDBDCDCD.BDBDCDCD. . (2)(2)解：解：B B，E E，C C三点在以三点在以D D为圆心，以为圆

8、心，以DBDB为半径的圆上为半径的圆上. . 理由：由理由：由(1)(1)知：知：BDBDCDCD，BADBADCBDCBD. . DBEDBECBDCBDCBECBE，DEBDEBBADBADABEABE， CBECBEABEABE， DBEDBEDEBDEB.DBDBDEDE. . 由由(1)(1)知：知：BDBDCDCD，DBDBDEDEDCDC. . B B，E E，C C三点在以三点在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径的圆上为半径的圆上. . -14-4.圆周角定理及推论圆周角定理及推论OABCOBACDEOABC-15- 90 90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 .

9、.定理定理: : 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,同弧或等弧同弧或等弧所对的所对的圆周角相等圆周角相等, ,都等于这弧所对的都等于这弧所对的圆心角的一半圆心角的一半 推论推论: :直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是 . .直角直角直径直径判断判断: (1) : (1) 相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等. . (2) (2)相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等. . (3) (3) 等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等. .( () )( () )()()-16- 例例3 3 20122012南宁南宁 如图如图31313 3，点点B B，A A，C C，D D

10、在在O O上，上，OAOABCBC，AOBAOB5050，则，则ADCADC_. .图图31313 32525 -17-.p.or.o.p.o.p三、点和圆的位置关系三、点和圆的位置关系Opr 点点p在在 o内内Op=r 点点p在在 o上上Opr 点点p在在 o外外第第2 2部分部分 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系-18-不在同一直线上的三个点确定一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的这个三角形叫做圆的内接内接三角形，这个圆叫做三角三角形，这个圆叫做三角形的形的外接外接圆，圆心叫做三角形的圆，圆心叫做三角形的外心外心）圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质：（1 1）对

11、角互补；对角互补；（2 2）任意一个外角都等于它的内任意一个外角都等于它的内对角对角反证法的三个步骤：反证法的三个步骤：1 1、提出假设、提出假设2 2、由题设出发，引出矛盾、由题设出发，引出矛盾3 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确-19- 例例4 4：有两个同心圆，半径分别为：有两个同心圆，半径分别为和和r r，是圆环内一点，则是圆环内一点，则的取值的取值范围是范围是. .OPrOPR-20-1、直线和圆相交、直线和圆相交nd r;nd r;2、直线和圆相切、直线和圆相切3、直线和圆相离、直线和圆相离nd r.OO相交相交O相切相切相离相离rrrdd

12、d-21- 定理定理 经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直并且垂直于这条半径的直线是圆的切线线是圆的切线.CDOA如图如图OA是是 O的半径的半径, 且且CDOA, CD是是 O的切线的切线.-22-（）定义（）定义（）圆心到直线的距离（）圆心到直线的距离d d圆的半径圆的半径r r（）切线的判定定理：经过半径的外端（）切线的判定定理：经过半径的外端, ,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. .-23-切线判定的两种常用辅助线切线判定的两种常用辅助线1、如果已知直线与圆有交点，往往、如果已知直线与圆有交点，往往要要作出过这一点的半径作出过这一点

13、的半径，再证明直线垂直再证明直线垂直于这条半径即可；（于这条半径即可；（连半径，证垂直连半径，证垂直）2、如果不明确直线与圆的交点，往往、如果不明确直线与圆的交点，往往要要作出圆心到直线的垂线段作出圆心到直线的垂线段，再证明这条再证明这条垂线段等于半径即可（垂线段等于半径即可（作垂直，证相等作垂直，证相等）-24- 例例5 5 20122012无锡无锡 已知已知O O的半径为的半径为2 2，直线，直线l l上有一点上有一点P P满足满足POPO2 2，则直线，则直线l l与与O O的位置关系是的位置关系是( () ) A A相切相切 B B相离相离 C C相离或相切相离或相切 D D相切或相交

14、相切或相交D 解析解析 分分OPOP垂直于直线垂直于直线l l，OPOP不垂于直线不垂于直线l l两种情况讨两种情况讨论论 当当OPOP垂直于直线垂直于直线l l时，即圆心时，即圆心O O到直线到直线l l的距离的距离d d2 2r r，O O与与l l相切；相切； 当当OPOP不垂直于直线不垂直于直线l l时，即圆心时，即圆心O O到直线到直线l l的距离的距离d d22r r，O O与直线与直线l l相交相交 故直线故直线l l与与O O的位置关系是相切或相交的位置关系是相切或相交OPP-25-圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径.CD切切 O于于, OA是是 O的半径的半

15、径CDOACDOA.-26-切线的性质定理出可理解为切线的性质定理出可理解为如果一条直线满足以下三个性质中的如果一条直线满足以下三个性质中的任意任意两个两个，那么第三个也成立，那么第三个也成立.经过切点、垂经过切点、垂直于切线、经过圆心直于切线、经过圆心.如如-27- 例例6 6 20122012湛江湛江 如图如图32321 1，已知点，已知点E E在直角在直角ABCABC的斜的斜边边ABAB上，以上，以AEAE为直径的为直径的O O与直角边与直角边BCBC相切于点相切于点D D. . (1) (1)求证：求证：ADAD平分平分BACBAC； (2) (2)若若BEBE2 2，BDBD4 4，

16、求，求O O的半径的半径图图32321 1(1)(1)证明：证明： 连结连结ODOD，BCBC与与O O相切于点相切于点D D，ODODBCBC. .又又C C9090，ODODACAC，ODAODADACDAC. .而而ODODOAOA，ODAODAOADOAD，OADOADDACDAC，即即ADAD平分平分BACBAC. .(2)(2)解：设圆的半径为解：设圆的半径为R R，在，在RtRtBODBOD中，中，BOBO2 2 BDBD2 2 ODOD2 2，BEBE2 2，BDBD4, (4, (BEBEOEOE) )2 2 BDBD2 2 ODOD2 2，即即(2(2R R) )2 24

17、42 2R R2 2，解得，解得R R3 3，故故O O的半径为的半径为3.3.-28-29-锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内, ,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点斜边中点, ,钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外. .ABCOABCCABOO三角形的外心三角形的外心是否一定在三角形的内部？是否一定在三角形的内部？-30-实质实质性质性质三角形的三角形的外心外心三角形的三角形的内心内心三角形三边垂直平三角形三边垂直平分线的交点分线的交点三角形三内角角三角形三内角角平分线的交点平分线的交点到三角形各边到三角形各边的距

18、离相等的距离相等到三角形各顶到三角形各顶点的距离相等点的距离相等-31-n从圆外一点向圆所引的两条切线从圆外一点向圆所引的两条切线,切切线长相等线长相等;并且这一点和圆心的连线并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角平分两条切线的夹角.ABPO12ABCODEFABCOODEF.21cbarS.2cbar切线长定理切线长定理: :n直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆半径与三边关系半径与三边关系. .n三角形的内切圆半径与圆面积三角形的内切圆半径与圆面积. .PA,PB切切 O于于A,B PA=PB 1=2-32-例例7:1、选择题：、选择题：下列命题正确的是（下列命题正确的是（ ）A、三角形

19、外心到三边距离相等、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆、三角形一定有一个外切圆2、一个三角形、一个三角形,它的周长为它的周长为30cm,它的内切圆它的内切圆半径为半径为2cm,则这个三角形的面积为则这个三角形的面积为_30 cm2-33-与圆有关的辅助线的作法：辅助线，辅助线， 莫乱添，莫乱添， 规律方法记心间；规律方法记心间；圆半径，圆半径， 不起眼，不起眼， 角的计算常要连，角的计算常要连，构成等腰解疑难；构成等腰解疑难；切点和圆心，切点和圆心， 连结要领先；连结要领先； 遇到直径想直角，遇到直径想直角， 灵活应用才方便。灵活应用才方便。弦与弦心距，弦与弦心距， 亲密紧相连；亲密紧相连；-34-五、正多边形的有关概念五、正多边形的有关概念: :2.2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径个正多边形的半径. .中心：一个正多边形外接圆的圆心中心：一个正多