数学一轮精品复习学案选修系列坐标系与参数方程

1、2012版数学一轮精品复习学案：选 修 系 列 第一部分：坐标系与参数方程【高考目标导航】一、坐标系1考纲点击（1）理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。能进行极坐标和直角坐标的互化；（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。2热点提示（1）根据具体问题选择适当坐标系，简捷解决问题；（2）极坐标系的应用；（3）直角坐标与极坐标的互化。二、参数方程1考纲点击（1）了解参数方程，了解参数的意义；（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。2热点

2、提示（1）参数方程和普通方程互化；（2）会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关线段问题；（3）会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题。【考纲知识梳理】1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的

3、两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0,)(R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的

4、正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.

5、例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数

6、方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。4椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数

7、的范围为0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为7直线的参数方程经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定

8、点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，0；当点在下方时，0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。【要点名师透析】一、坐标系（一）平面直角坐标系中的伸缩变换例在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换（1）求点经过变换所得的点的坐标；（2）点B经过变换得到点，求点的坐标；（3）求直线经过变换后所得到直线的方程；（4）求双曲线经过变换后所得到曲线的焦点坐标。思路解析：解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点

9、与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解。解答：（二）极坐标与直角坐标的互化例2在极坐标系中，如果为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标。思路解析：解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解。解答：利用坐标转化。（三）求曲线的极坐标方程例已知P，Q分别在AOB的两边OA，OB上，AOB=，POQ的面积为8，求PQ中点M的极坐标方程。思路解析：（1）建立以O为极点，OP所在直线为极轴的极坐标系；（2）设点M的极坐标，依POQ的面积建立关系式。解答：建立如图所示极坐标系，设动点M坐标为，P，Q两点坐标分别为则有：（四）极坐标的应用例如图，点A在直线x=4上移动

10、，OPA为等腰直角三角形，OPA的顶角为OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。思路解析：建立极坐标系设出点的坐标，根据题意用代入法求解。解答：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=4的极坐标方程为点A在直线上，OPA为等腰直角三角形，且OPA=，而|OP|=，|OA|=，以及，=，且把代入得点P的轨迹的极坐标方程为=4得点P的轨迹的普通方程为x+y=4,是过点（4，0）且倾斜角为的直线。二、参数方程（一）把参数方程化为普通方程例已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

11、（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线  （t为参数）距离的最小值。解答：（）为圆心是，半径是1的圆。为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。（）当时，故为直线，M到的距离          从而当时，取得最小值   （二）椭圆参数方程的应用在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值解答： 因椭圆的参数方程为     故可设动点的坐标为，其中.   &

12、#160; 因此     所以，当时，取最大值2（三）直线参数方程的应用例过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。解析：设直线为，代入曲线并整理得则所以当时，即，的最小值为，此时。（四）圆的参数方程的应用例已知曲线C的参数方程是为参数)，且曲线C与直线=0相交于两点A、B（1）求曲线C的普通方程；（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长解答：（1）由所以，曲线C的普通方程为(x2)2+y2=24(2）因为，所以AB的垂直平分线斜率为5分又垂直平分线过圆心（2，0），所以其方程为y=8分（3）圆心到直线AB的距离，圆的半径为所以12

13、分【感悟高考真题】1（2011·安徽高考理科·5）在极坐标系中，点（2，）到圆的圆心的距离为（A）2 (B) (C) （D) 【答案】选D.由及得，则所以，即圆心坐标为（1,0），而点（2，）在直角坐标系中的坐标为（1，），所以两点间的距离为2（2011·北京高考理科·T3）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】选B.圆的方程可化为由得，即，圆心，化为极坐标为.3（2011·湖南高考理科·T9）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为在极坐标系（与直角坐标系xOy有相同的长度单位，且以原点O为极点，

14、以x轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为的交点个数为_【答案】由得到圆的方程，由得到直线方程x-y+1=0，因为圆心在直线上，所以直线和圆有两个交点. 4（2011·湖南高考文科T9）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为的交点个数为_【答案】由得到圆的方程，由得到直线方程x-y+1=0，因为圆心在直线上，所以直线和圆有两个交点.5.（2011·江西高考理科·15）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则

15、该曲线的直角坐标方程为.【答案】先根据求出，再将=，代入即得.6（2011·陕西高考理科·T15C）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为【答案】答案：3曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为7（2011·陕西高考文科·T15C）（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为【答案】曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为8.（2011.天津高考理科.T11）.

16、已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则=_.【答案】9.（2011·广东高考理科·14）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .【答案】分别将两曲线的参数方程化为普通方程得与，联立得，解得（舍去），得.10（2011·福建高考理科·21）（2）在直角坐标系xOy中，直线的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为.（I）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l位置关系；（II）设点Q是曲线

17、C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.【答案】（I）把极坐标系下的点化为直角坐标得点.因为点的直角坐标满足直线的方程，所以点在直线上.（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，从而点Q到直线的距离为由此得，当时，取得最小值，且最小值为11.（2011·江苏高考·21C）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。【答案】椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（为参数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：12.（2011·新课标全国高考理科·23）

18、在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2()求C2的方程()在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.【答案】（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以 即 从而的参数方程为（为参数）（）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为.所以.13.（2011·新课标全国高考文科·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点

19、满足,P点的轨迹为曲线C2()求C2的方程()在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.【答案】（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以 即 从而的参数方程为（为参数）（）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为.所以14.（2011·辽宁高考理科·23）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为.在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=a

20、与C1，C2各有一个交点当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=时，这两个交点重合（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当a=-时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积【答案】()是圆，是椭圆.当时，射线与，交点的直角坐标分别为，因为这两点间的距离为2，且,所以.当时，射线与，交点的直角坐标分别为，因为这两点重合，所以. （），的普通方程分别为和. 当时，射线与交点的横坐标为，与交点的横坐标为. 当时，射线与，的两个交点分别与，关于轴对称，因此四边形为等腰梯形.故四边形的面积为. 15.（20

21、10湖南文数）4. 极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（D）A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线D16（2010北京理数）（5）极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是（A）两个圆 （B）两条直线（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线答案：C17（2010广东理数）15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（，）（0  <2）中，曲线= 与 的交点的极坐标为_解析：由极坐标方程与普通方程的互化式知，这两条曲线的普通方程分别为解得由得点（-1，1）的极坐标为18（2010辽宁理数）（23）（本小题

22、满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知P为半圆C： （为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（II）求直线AM的参数方程。解：（）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）. 5分（）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为（t为参数） 10分【考点模拟演练】一、选择题1已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A.，(1，) B.，(1，)C.，(1，) D.，(1，)解析：点P关于极点的对称

23、点为，即，且x2cos2cos1，y2sin2sin，所以选D.答案：D2在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是()A.B.C.D.解析：2，xOP，点P的极坐标可以是.故选C.答案：C3在直角坐标系xOy中，已知点C(3，)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(，)(>0，<<0)可写为_解析：由题意知2，.答案：4过点平行于极轴的直线的极坐标方程是()Acos4 Bsin4CsinDcos答案：C5曲线的参数方程是(t是参数，t0)，它的普通方程是()A(x1)2(y1)1 By

24、Cy1 Dy1解析：由x1，解得t，代入y1t2，得y1.答案：B6直线cos2关于直线对称的直线方程为()Acos2 Bsin2Csin2 D2sin解析：直线x2关于直线yx的对称直线是y2，sin2.答案：B7已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为()A1 B1 C. D解析：直线l的参数方程可化为，故直线的斜率为tan 1.答案：B8直线3x4y90与圆：，(为参数)的位置关系是()A相切 B相离C直线过圆心 D相交但不过圆心解析：圆的普通方程为x2y24，圆心坐标为(0,0)，半径r2，点(0,0)到直线3x4y90的距离为d2，直线与圆相交，而(0,0)点不在直线上，故选D.答案：D9设直线过极坐标系中的点M(2,0)，且垂直于极轴，则它的极坐标方程为_解析：设所求直线的任一点的极坐标为(，)，由题意可得cos 2.答案：cos 210在极坐标系中，直线sin2被圆4截得的弦长为_解析：直线sin2可化为xy20，圆4可化为x2y216，由圆中的弦长公式得224.答案：4二、填空题11在极坐标系中，直线截圆2cos(R)所得的弦长是_解析：把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为yx和221.显然圆心在直线yx上故所求的弦长等于圆的直径的大小，即为2.答案：212直线2x3y10经过