数学练习题考试题高考题教案讲座4_指数与对数的性质和运算及答案详解

1、指数与对数的运算1、整数指数幂的概念。（1）概念： n个a(2)运算性质： 两点解释：可看作=可看作=2、根式：（1）定义：若 则x叫做a的n次方根。（2）求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数 记作：当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作：负数没有偶次方根0的任何次方根为0名称：叫做根式 n叫做根指数 a叫做被开方数（3）公式： ；当n为奇数时；当n为偶数时3、分数指数幂（1）有关规定：事实上， 若设a>0, ，由n次根式定义, 次方根，即：（2）同样规定：；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质

2、推广到有理指数幂。（注）上述性质对r、R均适用。4、对数的概念（1）定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。以10为底的对数称常用对数，记作；以无理数为底的对数称自然对数，记作；（2）基本性质：真数N为正数（负数和零无对数）；2）；4）对数恒等式：。（3）运算性质：如果则；R）。（4）换底公式：两个非常有用的结论；。【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1) af(x)=bÛf(x)=logab, logaf(x)=bÛf(x)=ab; （定义法）(2) af(x)=ag(x)Ûf(x)=g(x), logaf

3、(x)=logag(x)Ûf(x)=g(x)>0（转化法）(3) af(x)=bg(x)Ûf(x)logma=g(x)logmb(取对数法)(4) logaf(x)=logbg(x)Ûlogaf(x)=logag(x)/logab(换底法)【课前预习】1、已知的值域为1，7，则的取值范围是 （）A.，B.C. D.2、若则3、【08重庆卷13】已知(a>0) ，则.四典例解析题型1：指数运算例1（1）计算：；（2）化简（3）化简：。（4）化简：例2已知，求的值。题型2：对数运算例3计算（1）；（2）；（3）。例4设、为正数，且满足（1）求证：；（2）若

4、，求、的值。例5（1）已知 log 189 = a , 18b= 5 , 求 log 36 45 （用 a, b 表示）（2）设 求证：题型4：指数、对数方程例6：解方程（1）（2）例7设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。.【课外作业】1.若，则的值为A50 B58 C89 D111 （ ）2、若，则=；3、如果函数在区间-1，1上的最大值是14，求的值。4、设若时有意义，求实数的范围。思维总结1（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在

5、运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；【课前预习】1、答案:D 先求出范围再求的范围；2、3、3题型1：指数运算例1 解：（1）原式=；（2）原式=（注意复习，根式开平方）（3）原式=。（4）原式点评：根式的化简求值问题

6、就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2 解：，又，。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算例3解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。例4 证明：（1）左边；解：（2）由得，由得由得由得

7、，代入得， 由、解得，从而。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指对数式的简单应用例5（1） 解： log 189 = alog 18 2 = 1 -a 18b= 5 log 18 5 = b（2） 证：题型4：指数、对数方程例6：解（1）但必须：舍去（2）,例7 解：（1）原方程为，时方程有实数解；（2）当时，方程有唯一解；当时，.的解为；令的解为；综合、，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。【课外作业】1.答案: C 易得；2、 -2 3、 解析： ， （1）时，二次函