数列中的奇偶项问题

1、数列中的奇偶项问题例1、（12宁波一模）已知数列满足：，设.（1）求并证明：（2）证明：数列等比数列；若成等比数列，求正整数k的值.解：（1） （2）因为所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.由数列可得，则，因为成等比数列，所以，令，得，解得，得.例2、（14宁波二模）设等差数列的前n项和为，且数列的前n项和为，且，（I）求数列,的通项公式；（II）设， 求数列的前项和解：（）由题意，得 3分 ，两式相减，得数列为等比数列， 7分（） 当为偶数时， = 10分当为奇数时，（法一）为偶数， 13分点评:根据结论1退而求之.（法二） 13分 14分点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。点评:1

2、、 数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列分成两个新的数列进行考查，易搞错的是新数列与原数列的项数、公差、公比的判定；2、 数列问题主要涉及通项与求和、等差与等比、特殊数列与非特殊数列、新数列与旧数列的四大问题的考查。3、 常用知识点：(1) 等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列。（2）项数为奇数的等差数列有：； ； = 项数（3）项数为偶数的等差数列有：； (4) 等比数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等比数列，公比都是。练习：1. 已知数列an满足an1若a31，则a1的所有可能取值为_解析：当a2为奇数时，a3a241，a25；当a2为偶数时，a3a21，a22；

3、当a1为奇数时，a2a125，a17或a2a122，a14(舍去)；当a1为偶数时，a2a15，a110或a2a12，a14.综上，a1的可能取值为4,7,10.答案：4,7,102. 一个数列an，当n是奇数时，an5n1；当n为偶数时，an，则这个数列的前2m项的和是_解析：当n为奇数时，an是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n为偶数时，an是以2为首项，以2为公比的等比数列所以，S2mS奇S偶ma1×106m5m(m1)2(2m1)6m5m25m2m122m15m2m2.参考题目：1已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个

4、数列的项数为()A10 B20 C30 D40解析：选A设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25152n，故2n10，即数列的项数为10.2、等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则这个等比数列的项数为 （C） （A） （B） （C） （D）3、已知数列an，bn满足a11，且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10_.解析：anan1bn，an·an12n，an1·an22n1，an22an.又a11，a1·a22，a22，a2n2n，a2n12n1(nN*)，b10

5、a10a1164.4、已知数列an满足a15，anan12n，则()A2 B4 C5 D.解析：选B依题意得2，即2，故数列a1，a3，a5，a7，是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此4.5已知数列an满足a11，an1·an2n(nN*)，设Sn是数列an的前n项和，则S2 014()A22 0141 B3×21 0073C3×21 0071 D3×21 0072解析：选B由2，且a22，得数列an的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S2 014(a1a3a5a2 013)(a2a4a6a2 0

6、14)3×21 0073.对比： an1/an2n则用累乘法，6. 数列an的前n项和为Sn，a11，a22，an2an1(1)n(nN*)，则S100_.解析：由an2an1(1)n，知a2k2a2k2，a2k1a2k10，a1a3a5a2n11，数列a2k是等差数列，a2k2k.S100(a1a3a5a99)(a2a4a6a100)50(246100)502 600.点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。对比练习：(2014·衢州模拟)对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项公式为2n，则数列an的前n项和S

7、n_.解析：an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.7、(2013·天津高考)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明Sn(nN*)解题指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明解(1)设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比数列an的通项公式为an×n

8、1(1)n1·.(2)证明：Sn1n，Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.故对于nN*，有Sn.变式：(2013·湖北高考)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.求数列an的通项公式；是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由解析：设数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3×(2)n1.由有Sn1(2)n.若存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n