三次函数专题

1、精选优质文档-倾情为你奉上三次函数专题讲义一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性。 一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间。（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心。三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得

2、函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见，yf(x)图象的对称中心在导函数y的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题。（1）当=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。此时：若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。 若，即与中有且只有一

3、个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题。若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)f(x) (或f(x0)f(x)，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。当时，三次函数在上的极值点要么有两个。当时，三次函数在上不存在极值点。5、最值问题。 函数若，且，则：；。三、例题讲解：例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。（）设a=2，求f（x）的单调期间；（）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。解：式无解，式的解为， 因此的取值范围是.例2、已知函数满足（其中为常

4、数）（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数；（3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积解：（1）由，得取，得，解之，得， 从而，列表如下：100有极大值有极小值的单调递增区间是和；的单调递减区间是（2）由（1）知，；方程有且只有两个不等的实数根，等价于或 8分常数或 （3）由（2）知，或而，所以令，得，所求封闭图形的面积 例3、（恒成立问题）已知函数有极值（1）求的取值范围；（2）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围解：（1）， 要使有极值，则方程有两个实数解， 从而， （2）在处取得极值， ， ，当时，函数单调递增，当时，函数单调递

5、减时，在处取得最大值， 时，恒成立，即，或，即的取值范围是例4、（信息迁移题）对于三次函数。定义：（1）的导数（也叫一阶导数）的导数为的二阶导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称。（1）己知， 求函数的“拐点”的坐标；（2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称;（3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。 解：（1）依题意，得： ，。 由 ，即。，又 ， 的“拐点”坐标是。 （2）由(1)知“拐点”坐标是。 而= =，由定义(2)知：关于点对称。 （3）一般地，三

6、次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。 或者：任何一个三次函数都有拐点； 任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数 .例5（ 与线性规划的交汇问题）设函数, 其中,是的导函数.(1)若,求函数的解析式;(2)若,函数的两个极值点为满足. 设, 试求实数的取值范围.解: ()据题意,由知,是二次函数图象的对称轴又, 故是方程的两根.设,将代入得比较系数得:故为所求.另解：，据题意得 解得故为所求.(2)据题意,则又是方程的两根,且则  则点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是例6：（

7、1）已知函数f(x)=x3-x ,其图像记为曲线C.求函数f(x)的单调区间；证明：若对于任意非零实数x1 ,曲线C与其在点P1 （x1,f(x1)）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2)），曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,f(x3)），线段P1 P2, P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；（2）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明。解法一：（1）（i）有f(x)=x3-x得f(x)=3x2-1=3(x-)(x+).当x(,)和(，)时，f(x)>0;当x(，)时，

8、f(x)<0。（）曲线C在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，即y=(3x12-1)x-2 x13.由得x3-x=(3x12-1)x-2 x13即（x-x1）2(x+2x1)=0,解得 x=x1或x=-2x1,故x2=-2x1.进而有用x2代替x1,重复上述计算过程，可得x3= -2x2和S2=。又x2=-2x10，所以S2=,因此有。（2）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的图像为曲线C，类似于（）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2, g(x2)）,曲线C与

9、其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至解法二：（1）同解法一。（2）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C，类似于（1）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线C与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2, g(x2)）,曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值。

10、证明如下：用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3= 和。又x2=所以故三次函数作业1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是（ ）2、函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是（ ）A. 1，1 B. 1，17C. 3，17 D. 9，193、设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识4、设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。5、已知函数f（x）=，其中a>

11、0. （）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.6、已知函数 （其中常数a，bR），是奇函数.（）求的表达式；（）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值.7、已知在函数的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 （1）求m、n的值； （2）是否存在最小的正整数k，使不等式对于恒成立？求出最小的正整数k，若不存在说明理由； （3）求证：8、已知函数（a-b）<b)。（I）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，9、已知函数f（x）=的图像在点P（0,

12、f(0)）处的切线方程为y=3x-2()求实数a,b的值；()设g（x）=f(x)+是上的增函数。KS*5U.C#O （i）求实数m的最大值； (ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。KS*5U.C#O作业：1、解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则的图象给出了如下信息：；导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）；在（0，2）上；在（，0）或（2，）上。由和性质1可排除B、D；由和性质1确定选C。2、解：函数的导方程是，两根为1和1，由性质2得：，。故选C。3、【解析】（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.4、5、【解析】（）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）解：f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-f(x)极大值当等价于，解不等式组得-5<a<5.因此.若a>2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)