第二课时：平面向量的基本定理及坐标运算

1、第二课时：平面向量的基本定理及坐标运算【学习目标】会用坐标表示向量加法、减法与 数乘运算【学习重点】平面向量的正交分解及其坐标表示、用坐标表示向量加法、减法与 数乘运算【学习难点】平面向量的基本定理及坐标表示向量共线的条件【学习过程】 一、知识梳理:1、平面向量基本定理定理：如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量， 一对实数使= .其中，不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2、夹角（1）已知两个 向量，作,则，叫做向量的夹角.（2）向量夹角的范围是 ，同向时，夹角= ；反向时，夹角= .（3）如果向量的夹角为 时，则垂直，记作： .3、平面向量的正交分解：把

2、一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解.4、平面向量的坐标表示（1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数，使，把有序数对 叫做的坐标，记作：= ，其中 叫做在轴上的坐标， 叫做在轴上的坐标.（2）设，则向量的坐标就是 的坐标，即若=，则点的坐标为 ，反之亦成立（是坐标原点）.5、平面向量的坐标运算（1）加法、减法、数乘的运算：已知向量和实数，那么= ，= ，= .（2）向量坐标的求法：已知，则= ，即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标.6、平面向量共线的坐标表示（1）若则的充要条件是 .（2）线段中点坐标公式

3、及推广：设则的中点的坐标为 ；若，设，则= ， .二、激活思维1、已知点A（2，3），B（1，5），且，求点C的坐标 2、设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_3、已知2(3，1)，2(1，2)，求=_4、已知向量(cos，sin)，(cos，sin)，|，求cos()的值 5、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m(bc，cos C)，n(a，cos A)，mn，则cos A的值等于_三、例题分析题型一平面向量基本定理的应用例1、已知D为ABC的边BC上的中点，ABC所在平面内有一点P，满足0，则等于_.题型二平行(共线)垂直向量的坐标运算例

4、2、(1)已知向量且,求x的值;(2)在直角三角形ABC中，,求实数k的值.变式1、平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.例3、设坐标平面上有三点，分别是坐标平面上轴、轴正方向上的单位向量，若向量，那么是否存在实数，使三点共线。变式2、向量，且A，B，C三点共线，求k的值变式3、已知向量不共线,要使能成为平面内所有向量的一组基底,则实数的取值范围是 题型三向量的坐标运算例4、在直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，已知，若，则实数 .变式

5、4：已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(2cosC1，2)，n(cos C，cos C1).若mn，且ab10，则ABC周长的最小值为_四、当堂练习：1、已知向量，实数满足，则的最大值为 2、向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，），若a-2b与c共线，则k=_3、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，则_. 五、课后练习1、与平面向量=(12,5)平行的单位向量为 。2、在中，已知是边上一点，若，则 .、若三点 。4、的三个内角所对边的边长分别为，设向量，若，则角的大小为 .5、已知向量，则的最小值是 。6、已知两点点在直线上，且，则点的坐标是 。7、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x=_，y=_.8、已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是_9、已知直线xya与圆x2y24交于A、B两点，且| |，其中O为原点，则实数a的值为_ABOCNM10、如图，在中，点是的中点，过点的直线交于不同的两点，若，求的值。11、已知。（1）求； （2）当为何值时，与平行，平行时它们是同向还是反向？12、抛物线上两点满足，已知，求。13