厦门大学2013级高等数学经管类A期中试卷含答案_第1页
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文档简介

1、厦门大学一元微积分（A）课程期中试卷学院系年级专业经管类高数A期中试卷 试卷类型：（A卷）一、解答题（共76分）1、计算下列各题：（每题6分，共30分）（1）;解：因为，即.而 ，故 .（2）设，求常数与使得当时与是等价无穷小.解 因为当时，故，故，于是，.（3）求函数的导数。解 ，于是， .（4）求函数由参数方程所确定，求及。解：，故；，故.（5）设，求.解：，则 .2、(8分)求函数的间断点，并判断其类型（说明理由）。解：因为，故为函数的第二类间断点（无穷间断点）；由于，所以，为函数的第一类间断点（跳跃间断点）；而，故为函数的第一类间断点（可去间断点）.3、(6分)设是由方程所确定的隐函数

2、，求曲线在点处的切线方程和法线方程。解 对方程两边关于求导数，则有 ，令，则有，于是所求切线斜率.于是，所求切线方程为，即，法线方程为，即.4、（8分）设, 试问（1）为何值时，在内连续？（2）在处是否可导?解 只须考虑在处的连续性和可导性.（1）为使在处连续，则有 ，即 .（2）， .故在处不可导.5、（8分）讨论函数的单调性，并求出该函数在实数范围内的极值和最值.解 ，令，得或.00极小值极大值函数在及上单调减少，在上单调增加. 于是，函数在处取得极小值，极小值为，在处取得极大值，极大值为. 由于，而，因此，函数没有最大值，在处取得最小值0.6、（8分）设函数在处连续，且，求：（1）；（2

3、）.解：因为函数在处连续，故.（1）；（2） .7、（8分）设，（），证明数列收敛，并求极限；解1：.先用归纳法证明：且事实上，且.假设结论对时成立，即，那么时， ，且，即.故数列单调增加，且有上界，于是极限存在，设. 由两边取极限，得，解得，因为，所以，.解2：显然对任意的正整数，且，即有界。此数列的递归函数，故单调，所以单调有界，故存在，不妨记此极限为，由两边取极限，得，解得，因为，所以，.二、应用题（第一小题8分，第二小题10分，共18分）1、设商品需求量是价格的单调减函数，其需求价格弹性的绝对值，（1）设为总收益函数，证明：；（2）求时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。解 （1）因为商品需求量是价格的单调减函数，于是，即，因此，.由可得.（2）总收益对价格的弹性为，于是当时，总收益对价格的弹性为.其经济意义是：当时，价格上涨时，总收益增加0.5385%.2、在椭圆的第一象限部分上求一点，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小。解：过椭圆上任意点的切线斜率满足，则，切线方程为. 分别令与，求得轴上的截距为：，于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积为：其中，代入得.问题是求：的最小值，此问题又与求函数在闭区间上最大值等价。由，得，即 （舍去），注意到，故是在上最大值点，因此即为所求的点.三、证明题（6分） 设是二阶可导的函数, 令

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