数学(理)二轮复习通用讲义：专题六第二讲小题考法——基本初等函数、函数与方程

1、第二讲小题考法一一基本初等函数、函数与方程考点(一)基本初等函数的图象与性质主要考查指数函数、对数函数、哥函数的图象辨析以及指数式、对数式的比较大小问典例感悟2x,x<1,典例(1)(2018武汉华中师大附中诊断)已知函数f(x)=j1>1则f(1x)的大致图象是()ABCD(2)(2018全国卷m)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b2x,x<1,解析(1)画出函数f(x)=j1的图象(图略)，可知f(1x)的图象与函数f(x)的图

2、象关于直线x=2对称，利用对称性即可求得选项D正确.(2)a=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3<log21=0,-ab<0.a+b11ab=£+b=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,1=lOg0.30.3>lOg0.30.4>lOg0.31=0,0<<1,ab<a+b<0.ab'答案(1)D(2)B方法技巧3招破解指数、对数、哥函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的备函数值用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较.(3)底数不

3、同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.演练冲关1. (2017北京高考)已知函数f(x)=3xg：则f(x)()A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数解析：选A 因为f(x) = 3x 3x且定义域为R,所以f(x)=3-xgrx=(j3x=3xgjL-f(x),即函数f(x)是奇函数.又y=3x在R上是增函数，y=gj在R上是减函数，所以f(x)=3x在R上是增函数.2. (2018洛阳模拟)设a=log36,b=log5l0,c=log7l4,则()A.c>b&

4、gt;aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c解析：选D因为a=logs6=log33+log32=1+log32,b=log5l0=log55+logs2=1+log52,c=log714=log77+log72=1+log72,因为loga2>log52>log72,所以a>b>c,故选D.3.已知函数 f(x)= 口' 2x ! x3, m,n为实数，则下列结论中正确的是A.若一3Wm<n,则f(m)<f(n)B.若m<n<0,则f(m)<f(n)C.若f(m)<f(n),则m2&

5、lt;n2f(-x)=D.若f(m)<f(n),则m3<n3解析：选C(制的定义域为R,其定义域关于原点对称,!2x2x；g=f(x),.函数f(x)是偶函数，又x>0时，2x去与x3是增函数，且函数值为正,f(x)在(一8, 0)函数f(x)=7x$jx3在(0,+8)上是增函数，由偶函数的性质知，函数上是减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值越小,函数值就越小，反之也成立.对于选项A,无法判断m,n离原点的远近，故A错误；对于选项B,|m|>|n|,f(m)>f(n),故B错误；对于选项C,由f(m)<f(n),一定可得

6、出m2<n2,故C正确；对于选项D,由f(m)<f(n),可得出|m|<|n|,但不能得出m3<n3,故D错误.综上可知，选C.4.(2018西安八校联考)如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A,B和函数y=log2x图象上的点C,线段AC平行于y轴，当ABC为正三角形时，点B的横坐标为解析：依题意，当AC曲轴，MBC为正三角形时，|AC|=log24x-log2x=2,点B到直线AC的距离为g设点B(X0,2+log2X0),则点A(x0+g3+log2X0).由点A在函数y=log24x的图象上，得log24(x0+陋)=3+log2x0=log28x0,

7、则4(x0+V3)=8x0,X0=也即点B的横坐标是V3.考点(二)主要考查利用函数零点存在性定理或数形函数的零点结合法确定函数零点的个数或其存在范围，以及应用零点求参数的值(或范围)典例感悟典例(1)(2018惠州模拟)函数f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x>0时，f(x) =夕111, 0<x<2, fex-2 ) x>2，则函数g(x) = xf(x)1在6, + 8)上的所有零点之和为()A. 8B. 32C.2D. 0(2)(2018全国卷出0, nt的零点个数为(2018沈阳教学质量监测)已知函数f(x) =卜x(x> 2若方程f(x)= ax+

8、1恰有 l2(1< x<2 )答案：3一个解，则实数a的取值范围是解析(1)令g(x)=xf(x)1=0,则XW0,所以函数g(x)的零点之和等价于函数y=f(x)的图象和y=1的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0时，y=f(x)和y=1的大致图象,xx如图所示,，一一1,由于丫=")和y=-的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在6,6上的所有零点之和x,一，一1为0,而当x=8时，f(x)=",即两函数的图象刚好有1个交点，8一，一1,且当XC(8,+8)时y=的图象都在y=f(x)的图象的上万,x因此g(x)在6,+8)上的所有零点之和为8.选A

9、.兀兀,(2)当3x+6=kTt+2(kCZ)时,f(x)=0.xe0,当3x+6W值为$3,52%,f(x)=0,即函数f(x)=cos3x+6为0,nt的零点个数为3.一.一一.1(3)如图，当直线y=ax+1过点B(2,2)时，a=2,万程有两个解；当直线y=ax+1与f(x)=2、/x1(x>2)的图象相切时，a=1+552,方程有两个解；当直线y=ax+1过点A(1,2)时，a=1,方程恰有一个解.故实数a的取值范围为0答案(1)A(2)3(3)10,2自11；一,11方法技巧1.判断函数零点个数的3种方法直接法直接求零点，令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数定理法

10、利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2.利用函数零点的情况求参数的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.演练冲关1,函数y=|log2x|I：的零点个数是()A.0B.1C. 2D.4解析：选c令y=|iog2x|(，=0,即|iogzx|=(在同一平面直角坐标系中作出y1 x,=|log2x

11、|和y=5X的图象(图略卜由图象可知这两个函数的图象有两个交点，即所求零点个数为2.飞,x<0,g(x) = f(x) + x+ a.若 g(x)存在 2 个零点,2 .(2018全国卷I)已知函数f(x)=inx,x>0,B. 0, +8 )D. 1, +oo )则a的取值范围是()A.-1,0)C.1,+°0)解析：选C令h(x)=-x-a,则g(x)=f(x)h(x).在同一坐标系中画出y=f(x),y=h(x)的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点，平移y=h(x)的图象，可知当直线y=xa过点(0,1)时，

12、有2个交点，此时1=0a,a=1.当y=xa在y=x+1上方，即a<1时，仅有1个交点，不符合题意.当y=-x-a在y=x+1下方，即a>1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为1,+8).故选C.3 .(2018石家庄模拟)已知M是函数f(x)=|2x3|-8sinx轨CR)的所有零点之和，则M的值为()A. 3B. 6C. 9D. 12解析：选D将函数f(x)=|2x3|8sind的零点转化为函数h(x)=|2x3|与g(x)=8sinx图象交点的横坐标.在同一直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与3g(x)的图象都关于直线x=3对称，

13、两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有3零点之和M=8*2=12,故选D.4.已知关于x的方程|2x10|=a有两个不同的实根xi,x2,且x2=2xi,则实数a=2x-10,x>log2l0,解析：构造函数f(x)=|2x10|=SxE. -2x,x<log210,由已知得102x1=2x210.又x2=2x1,代入整理得22x1+2x1-20=0,解得x1=2,所以a=|22-10|=6.答案：6必备知能自主补缺依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干主干知识要记牢值域R单调性0Vav1时，在R上是减函数；a>1时，在R上是增函数0<

14、;a<1时，在(0,+8)上是减函数；a>1时，在(0,+8)上是增函数两图象的对称性关直线yx对称2.方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根？函数y=f(x)的图象与x轴有交点？函数y=f(x)有零点.(2)函数零点的存在性定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在cC(a,b),使得f(c)=0,这个c也就

15、是方程f(x)=0的实数根.针对练1在下列区间中，函数f(x)=ex+4x3的零点所在的区间为()A.B.0 4)C 1 1C. 4 , 2D.解析：选C 因为f111 i= e4 +4x4-3=e4 -2<0, f1i > e1+4x 2-3=e12 -1>0,f!4!fgj<0,所以f(x)=ex+4x3的零点所在的区间为g2；易错易混要明了1 .不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如讨论函数y=ax(a>0,a1)的单调性时忽视字母a的取值范围，忽视ax>0；研究对数函数y=logax(a>0,aw1)时忽视真数与底数的限制条件.2 .易混淆函

16、数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.3,函数f(x)=ax2+bx+c有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零.针对练2函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围为1 , 一一 一.解析：当m= 0时，f(x)=2x+1,则x = 2为函数的零点.当 mw0时，右 A= 4 4m=0,即当 m= 1时，x= 1是函数唯一的零点.若 A= 44mw0,即 mw 1时，显然 x= 0不是函数的零点.这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)= mx22x+1有一个1 正根一个负根.因此 m<0.则m<

17、;0.综上知实数 m的取值范围是(一8, 0瓜1.答案：( 8, 0U1课时跟检测A级一一12 + 4提速练、选择题1. (2018 河北监测)设 a=log32, b=ln 2,1c= 52,则(A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a解析：选C1因为c= 5 2 =古<2'ln 2a=log32=|n3<ln 2 = b,1 -a= log32>log3V3=-2，所以c<a<b,故选C.2. (2018郑州质量预测)已知函数f(x)=g：Xcosx,则f(x)在0,2n4：的零点

18、个数为()A.1B.2C.3D.4解析：选C作出g(x)=gj与h(x)=cosx的图象(图略)，可以看到其在0,2nrB的交点个数为3,所以函数f(x)在0,2周的零点个数为3,故选C.22x+m-3,若函数f(x)=(x+1)2x_1是奇函数，则m的值是()A.-1B.1C.-2D.222x+m2解析：选B设g(x)=x+1,h(x)=-x,易知g(x)=x+1是偶函数，则依题意可得2-12x+m2x+m2x+mh(x)=是奇函数，故h(-x)=-h(x)=-，化简得2x+m=m2x+1,2x-12-12x-1解得m=1.选B.4 .若函数f(x)=m+log2x(x>1)存在零点，

19、则实数m的取值范围是()A.(8,0B.0,+OO)C.(8,0)D.(0,)解析：选A:函数f(x)=m+log2x(x>1)存在零点，方程m+log2X=0在x>1时有解,m=log2x<log2l=0.5 .已知实数a=log23,b=j,c=log130，则它们的大小关系为()3A. a>c>bC. a>b>c解析：选B 由对数函数的性质知B. c>a>bD. b>c>a1<a= log23<2,11c= log1 30>log 1 27 =3>2,又 b=21=%<1,从而c>a&g

20、t;b.故选B.96 .若函数y=loga(x2ax+1)有最小值，则a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1)U(1,2)C.(1,2)D,2,+oo)解析：选C当a>1时，若y有最小值，则说明x2-ax+1有最小值，故x2-ax+1=0中A<0,即a24<0,2>a>1.当1>a>0时，若y有最小值，则说明x2ax+1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去.综上可知，选C.7,若a=2x,b=10glx,则a>b”是爻>1"的()2A.充分不必要条件B.必要不充分条件B 4,6D. (4,6)C.充要条件D.既不充分也不必

21、要条件解析：选B如图，x=x°时，a=b,.若a>b,则得到x>x°,且x0<1,a>b不一定得到x>1,充分性不成立；若x>1,则由图象得到a>b,必要性成立.a>b”是x>1”的必要不充分条件.故选b.8. (2018广东汕头模拟)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数X,恒有f(x)-f(-x)=0,当xC1,0时，f(x)=x2,若g(x)=f(x)-logax在x(0,+00)上有三个零点，则a的取值范围为()A.3,5C.(3,5)解析：选Cf(x)f(x)=0,f(x)=f(x),.(x

22、)是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f(x)的图象如图所示:ENG1 2 3 4 5 6 sg(x)=f(x)-logax在(0,+8)上有三个零点,.,y=f(x)和y=logax的图象在(0,+OO)上有三个交点，作出函数y=logax的图象，如图,rloga3<1,loga5>1,解得3<a<5.故选C.La>1,9. (2018郑州模拟股mCN,若函数f(x)=2xm/10x+10存在整数零点，则符合条件的m的个数为()B. 3D. 5A.2C.4解析：选C 由f(x)= 0得2x+ 1010-x>0,m= /.又mC N,因此有*10-x解

23、得一 2x+10>0,5<x<10,xCZ,.x=-5,4,3,，1,2,3,，8,9,将它们分别代入m=,110-x验证得，符合条件的m的取值为0,4,11,28,共4个，故选C.10. (2018唐山市拟)奇函数f(x),偶函数g(x)的图象分别如图(1),(2)所示，函数f(g(x),A. 3C. 10g(f(x)的零点个数分别为)B.7-1图D.14解析：选C 由题中函数图象知f(土) = 0,f(0)=0, g=0, g(0)=0, g(±)=1, g(=-1,所以f(g(±)=f(1)=0,f(g(±)=f(1)=0,f。f(0)=0

24、,f(g(0)=f(0)=0,所以f(g(x)有7个零点,即m=7.又g(f(0)=g(0)=0,g(f()=g(0)=0,所以g(f(x)有3个零点，即n=3.所以m+n=10,选C.11. (2018成都模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且当xC1,2时,f(x)=lnx.则直线x-5y+3=0与曲线y=f(x)的交点个数为(参考数据：ln2=0.69,ln3H0)()A.3B.4C.5D.6解析：选B由f(1x)=f(1+x)知，函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又当x1,2时，f(x)=lnx,则当xC0,1时，f(x)=ln(2-x),由f(x)是定

25、义在R上的偶函数，得f(-x)=f(x),所以f(x+2)=f(x+1)+1=f1-(x+1)=f(-x)=f(x),于是f(x)是周期为2的周期函数，值域为0,ln2,从而可以画出函数f(x)的大致图象(如图所示)，-3 -L P jr=f(x)-2 -131,一然后回出直线y=g(x)=gx+5.当x=3时，f(-3)=f(3)=f(1)=0,g(-3)=5X(-3)+3=0,此时有个交点；当x=0时，f(0)=f(2)=ln2=0.69,g(0)=0.6,g(0)<f(0);当55x=2时，f(2)=ln2=0.69,g(2)=1,g(2)>f(2),于是根据图象，直线x5y

26、+3=0与曲线y=f(x)的交点个数为4,故选B.12. (2019届高三福州四校联考)已知函数m有两个零点Xi, x2,则Xi x2的取值范围是(A. 42ln 2, i )B.C ( 8, 42ln 2D.ln x, x> 1,解析：选D 因为函数f(x)= i x1 2, x<1,ln x, x> 1,f(x)=j x若 F(x) = ff(x)+1 +|J-2, x<1,)(e, +°° )(巴 Ve)ln(ln x+ 1)+ m, x> 1,所以F(x)=S / x由ln,2 ;+ m, x<1 ,F(x)=0 得，x1 = e

27、e m 1, X2=4 2e m,由彳x1> 1,X2<123得m<ln2.设t= e m,则t>3,所以32x1x2=2et/(2t),设g(t)=2et1(2-t),则g(t)=2et1(1-t),因为t>2,所以g(t)=2et1(1-t)<0,即函数 g(t)=2et-1(2 t)在区间3十 °°)是减函数，所以 g(t)<gg = ee,故选D.二、填空题则心/+ 60中6产W),x"13. (2018南宁、柳州模拟)已知函数f(x)=log1x,x>02解析：由题可知Ci=log14=2,因为晦6<

28、0,所以f(log2()=g°g26=2log26=6,2故fC)+018.答案：814. (2018福建模拟)已知函数f(x)=("xa5x>1,有两个零点，则实数a的取值范Un(1x)x<1围是.解析：当x<1时，令ln(1-x)=0,解得x=0,故f(x)在(8,1)上有1个零点，.f(x)在1,+8)上有1个零点.当x>1时，令<Xa=0,得a=/x>1.实数a的取值范围是1,+8).答案：1,+00)15. .已知函数f(x)为偶函数且f(x)=f(x4),又在区间0,2上f(x)=2x2x+5,0、x、1,函数g(x)=g+a

29、,若f(x)="x)g(x)恰有2个零点，则a必2x,1<xW2,2=.解析：由题意可知f(x)是周期为4的偶函数，画出函数f(x)与g(x)人y=f(x)的大致图象，如图，由图可知若F(x)=f(x)g(x)恰有2个零点，则有g(1)=f(1),解得a=2.答案：216.(2018贵州模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgAo,其中A是被测地震的最大振幅，Ao是“标

30、准地震”的振幅.已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.解析：根据题意有lgA=lgAo+lg10M=lg(Ao10M),所以A=Ao10M，则£05=100.答案：100B级难度小题强化练1. (2018武汉模拟)已知x,yCR,且x>y>0,若a>b>1,则一定有()abA.->_B.sinax>sinbyxyC.logax>logbyD.ax>by解析：选D对于A选项，不妨令x=8,y=3,a=5,b=4,显然，:：；：,A选项错误；,，一，、人兀3,3%对于B选项，不妨令x=兀，y=2,

31、a=2,b=2,此时sinax=sin2方0,sinby=sin-2=2,显然sinax<sinby,B选项错反；对于C选项，不妨令x=5,y=4,a=3,b=2,此时logax=log35,logby=log24=2,显然logax<logby,C选项错误；对于D选项，a>b>1,当x>0时，ax>bx,又x>y>0,当b>1时，bx>by,ax>by,D选项正确.综上，选D.2. (2018南昌调研)已知函数f(x)=ex1+4x-4,g(x)=lnx-,若f(x“=g(x=0,则x()A.0<g(X1)<f(X

32、2)B.f(X2)<g(X1)<0C.f(X2)<0<g(X1)D.g(X1)<0<f(X2)解析：选D易知f(x)=ex1+4x4g(x)=Inx1在各自的定义域内是增函数，而f(0)x=e1+0-4=1-4<0,f(1)=e0+4X14=1>0,g(1)=ln1-=-1<0,g(2)=In2-=e122In亍>ln1=0.又f(X1)=g(X2)=0,所以0<X1<1,1<X2<2,所以f(X2)>f(1)>0,g(x1)<g(1)<0,故eg(X1)<0<f(X2).pog1(x+1),xC0,1卜3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=i1lj-|x-3|,xC1,+oo),则关于x的函数f(x)=f(x)a(0<a<1)的所有零点之和为()A.2a-1B.2a-1C.1-2aD.12a解析：选D因为f(x)为R上的奇函数，所以当x<0时，f(x)=-f(-x)=-log1(x+1)xC(1,0)2画出函数y=f(x)的图象和直线y=a(0<a<1),如图.i1+|x3|,xC(一00,1,由图可知，函数y=f(x)与直线y=a(0<