数学(理)人教A新设计大一轮讲义+习题：第二章第9节函数模型及其应用

1、第9节函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、幕函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.出识衍证体验回救教材.夯实基础知识梳理1.指数、对数、幕函数模型性质比较函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+00)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值及化而各有不同2.几种常见的函数模型

2、函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数，aw0)二次函数模型f(x)=ax+bx+c(a,b,c为常数,aw0)与指数函数相关模型f(x)=ba+c(a,b,c为常数，a>0且aw1,bw0)与对数函数相关模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，a>0且a*1,bw0)与幕函数相关模型f(x)=ax+b(a,b,n为常数，aw0)微点提醒1 .“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2 .充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关

3、键.3 .易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.基础自测疑误辨析1.判断下列结论正误(在括号内打或“x”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.()(3)不存在xo,使ax0<xO<logax0.()(4)在(0,+°°)±,随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.()9解析(1)9折出售的售价为100(1+10%)X=9

4、9兀.每件赔1元，(1)错.(2)中，当x=2时，2x=x2=4.不正确.,11(3)中，如a=x0=2，n=4,不等式成立，因此(3)错.答案(1)x(2)x(3)x，教材衍化2 .(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是（）A.y=2xB.y=x21C.y=2x2D.y=log2x解析根据x=0.50,y=0.99,代入计算，可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算，可以排除B,C;将各数据代入函数V=10g2x,可知满足题意.答案D3 .

5、(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年解析设经过n年资金开始超过200万元，即130(1+12%)n>200.两边取对数，得nlg1.12>lg2-lg1.3,lg2-lg1.30.300.1119'n>lg1.12%一0.05二3,n>4?.从2021

6、年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.答案B考题体验、4 .(2018昆明诊断)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=%2+2x+20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A.36万件B.18万件C.22万件D.9万件12解析禾1J润L(x)=20xC(x)=2(x18)+142,当x=18万件时，L(x)有最大值.答案B5 .(2018黄冈检测)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当xC(4,+oo)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.

7、f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)x (4, +00)时，增长速度C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)解析在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当由大到小依次g(x)>f(x)>h(x).答案B6 .(2019北京海淀区月考)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元.销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为万元.alog48+b=1,a=2,解析依题意i解得i

8、Ialog464+b=4.b=2,y=210g4x2,令210g4x2=8,得x=45=1024.答案1024I考点聚焦突破分类洪缚.以例求法考点一利用函数的图象刻画实际问题【例11(2017全国田卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客

9、量在减少，则A选项错误.答案A规律方法1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.【训练11高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象是()解析v=f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.答案B考点二已知函数模型求解实际问题【例2】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用

10、20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=、上3XI5(0<x<10,k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.求k的值及f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.解(1)当x=0时，C=8,*=40,-40,C(x)=3xx+5(0&xwI。)，20X40800-f(x)=6x+ixr5=6x+3x(0&x<10).(2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+38005-

11、10.3xI5令3x+5=t,te5,35,则y=2t+8001080010=70(当且仅当2t=800,即t=20时等号成立)，此时x=5,因此f(x)的最小值为70.隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.规律方法1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验【训练2】已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每1260件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)=x+1,0<x<2

12、0,该服装厂所获得的最大效益是多少元?解设该服装厂所获效益为f(x)元,则f(x)=100xq(x)=90-3V5Vx,20<x<180,126000x八cc工r，0<x<20,700x(903加而，20<x<180.当0vx020时，f(x)=126000x=126000126000f(x)在区间(0,20上单调递11八JILQ,、八/x_|_1mxI15V/1"1J|-J增，所以当x=20时，f(x)有最大值120000.当20<x<180时，f(x)=9000x-30075x,贝Uf'x)=9000-45O/5R令f

13、9;x)=0,.x=80.当20<x<80时,f'x)>0,f(x)单调递增,当800XW180时,f'x)00,f(x)单调递减,所以当x=80时，f(x)有极大值，也是最大值240000.由于120000<240000.故该服装厂所获得的最大效益是240000元.考点三构造函数模型求解实际问题-多维探究角度1二次函数、分段函数模型【例3-1】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，

14、v的值为2千克/年；当4<x020时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.当0<x020时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解由题意得当0<x04时，v=2,当4<x020时，设丫=2乂+b(aw0),显然v=ax+b在(4,20内是减函数,20a+b = 0,1 a=-8,4a+ b= 2,解得 ib=5.所以v=1x+5.8220<x<4,故函数v=15I- 8x+2?4<x<20.(2)设年生长量为f(x)千克/立

15、方米，依题意,2x,0<x<4,由(1)得f(x)=1258x+2x,4<x<20.当0<x04时，f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=4X2=8；当4<X020时，f(x)=8x2+2乂=8(X220X)=8(x10)2+竽，f(x)max=f(10)=12.5.所以当0<x020时，f(x)的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.角度2构建指数(对数)型函数模型【例3-2】一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间

16、是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1,已知到今年为止，森林剩余面积为原来的半.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1x)10=2a,即(1x)10=2,解得x= 1 1 102故每年砍伐面积的百分比为1,2102.-2(2)设经过m年剩余面积为原来的看,12110贝Ua(1x)m=12a,把x=1(2J代入,即1=2，解得m=5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.规律方法1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型,将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确

17、进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点:分段要简洁合理，不重不漏；分段函数的最值是各段的最大（或最小）值中的最大（或最小）值.【训练3】（1）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元收费；用水超过10m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）A.13 m33B.14 mC.18 m3D.26 m3（2017北京卷）根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M

18、约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数n约为1080.则下列各数中与M最接近的是（）（参考数据：lg3=0.48）33A.1053B.1073C.1093D.10解析（1）设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,mx(0<x<10),由题意得y10m+(x10)2m(x>10),36180M 3'，N1080，则10m+(x10)2m=16m,解得x=13.(2)M=3361,N=10'3361 lg1080= 361lg 3-80 - 93.M3361则lgNlg荷0=lg1093N10.答案(1)A(2)D©反思与感悟思维升华解函数应用

19、问题的步骤审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；解模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下：易错防范1 .解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼（如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.2 .在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.3 .解决完数学模型

20、后，注意转化为实际问题写出总结答案.I分层限时训练霰重墨僵震襄尊遂提升能力噩基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1 .一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为图中的（）解析由题意得关系式为h=205t（0&t&4）.图象应为B项.答案B2 .设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）.公司决定从原有员工中分流x（0<x<100,xCN）人去进行新开发的产品B的生产.分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.

21、若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.18解析由题意，分流前每年创造的产值为100t（万元），分流x人后，每年创造的0<x<100,xCN*,产值为（100x）（1+1.2x%）t,则由3（100x）（1+1.2x%）t>100t,解得0<x<50.3因为xCN*,所以x的最大值为16.答案B3 .某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位:万元）为y1=4.1x0.1x2,在B地的销售利润（单位：万元）为y2=2x,其中x为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获

22、得的最大利润是（）A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16-x)辆，所以可彳4禾I润y=4.1x0.1x2+2(16x)=0.1x2+2.1x+32=0.110或11时，总利润取得最2212口g、一+0.1x77+32.因为x0,16且xCN,所以当x=大值43万元.答案C4 .我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB）,对于一个强度为I的声波，其音量的大小”可由如下公式计算：“=101gt（其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度），则70dB的声音的声波强

23、度I1是60dB的声音的声波强度I2的（）A/B.107倍C.10倍D.1n7倍解析由4=10lgI0得I=IoIQO,所以Ii=Io107,I2=Io106,所以石=10,所以70dB的声音的声波强度Ii是60dB的声音的声波强度I2的10倍.答案C5 .当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（）A.8B.9C.10D.11解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经

24、过n个“半衰期”后的nn含量为g），由以益，得.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期答案C、填空题6.（2017江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是解析一年的总运费与总存储费用之和为y=6*等+4x=3600+4x>詈X4x=240,当且仅当3600=4x,即x=30时，y有最小值240.答案307 .“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a#A

25、（a为常数），广告效应为D=aAA.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为州常数a表示）.一.l.oori?io1解析令t=>/A（t>0）,则A=t2,所以D=at12=*2aj+4a2.所以当t=a,即A=：a2时，D取得最大值.答案4a28 .一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt（cm3）,经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析当t=8时，y=ae8b=2a,所以e-8b=2.容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y=ae-bt=1a,

26、e-忖=1=生8b）3=e88-24b,则t=24.所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案16三、解答题9.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=、+10（x6）2,其中3<x<6,a为常数.x3已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解因为x=5时，y=11,所以垓+10=11,a=2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为丫=三十10仅一6)2,X3所以商场每日销售

27、该商品所获得的利润为f(x)=(x3)号+10(X6)2|=2+10(X-3)(x-6)2,3<x<6.从而，f'xl=10(x-6)2+2(x3)(x6)=30(x4)(x-6),于是，当x变化时，f'x),f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f'x)十0一f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x=4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.10 .候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现

28、，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3岛(其中a,b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a,b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s,此时耗氧量为30个单位，故有a+blog310=0,90.一即a+b=0;当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s,故有a+blogs：1,整理得a+2b=1.a+ b = 0解方程组a + 2b= 1得a= 1、b=1.(2)由知，v=1+

29、喻3专0.所以要使飞行速度不低于2m/s,则有v>2,即一1+log3>2,即10g33,解得Q>270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组(建议用时：20分钟)11 .将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的a水只有4L,则m的值为()A.5B.8C.9D.10解析V5min后甲桶和乙桶的水量相等，函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=2a,一11115可行n=51n2，.f(t)=a(2j,a因此，当kmin后甲桶中的水只有aL时，kk1 51日门15_1f(k)=a2J=4a,即j=4,.k=10,由题可知m=k5=5