数列求和的基本方法和技巧与大题

1、数列求和的基本方法和技巧一、分组法求和1、已知an=3n1+2n,求前n项和Sn.nSn.1r2、已知an=n+I,求刖n项和2二、裂项法求和（1）an1n(n1)an11,11二二一(一一n(nk)knnk, 的前n项和.，一.11、求数列，1,22.312n-22、在数列an中，an=+，又bn=,求数列bn的刖n项的和.n-1n1n1anan1,1113、求和1-12123123n4、已知在等差数列an中,a3 = 5,S4 = 16。1(1)求an的通项公式；(2)记bn=,求bn的前n项和。anan1三、错位相减法求和1、已知an=n3n,求前n项和Sn.一2462、求数列2,4,-

2、622223，生，前n项的和.,2n3、已知an=(2n-1)3n,求前n项和Sn.四、倒序相加法求和1、求sin21+sin22'+sin23'+sin288+sin289-的值五、利用常用求和公式求和1、已知log3x=-1log2323n,求x+x+x+x+的刖n项和.Sn2、设S=1+2+3+n,n=N，求f(n)=的最大值.(n32)&13、求1+11+111+111:1之和.n个1数列大题专题训练1、设an是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4.(i)求an的通项公式；(n)设bn是首项为1,公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn.2、

3、设等差数列an满足a3=5,a10=-9。(I)求an的通项公式；(n)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。3、已知等差数列an中，ai=1,a3=3。(i)求数列an的通项公式；(n)若数列an的前k项和3=35,求k的值。4、成等差数列的三个正数的和为15,且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b、b、b。(I)求数列bn的通项公式；5(II)数列bn的前n项和为Sn,求证：数列，Sn+5是等比数列。45、等比数列an的各项均为正数，且2ai+3a2=1,a32=9a2%.(i)求数列an的通项公式；.，一.1,(n)设bn=log3ai+log3a2+log3a

4、n,求数列i一,的刖n项和.bn6、设等比数列an的前n项和为Sn,已知a?=6,6al*a3=30,求an和Sn。137、已知等比数列an的公比q=3,前3项和&=3(i)求数列an的通项公式;(n)若函数f(x)=Asin(2x+邛)(A>0,0<中n)在x=二处取得最大值，且最大值为气,求函数6f(x)的解析式.8、已知等差数列an满足a2=0,a6+a8=10。(I)求数列an的通项公式；(II)求数列La三；的前n项和.参考答案1、解：(I)设等比数列的公比为q,q>0,由已知得2q2=2q+4,即q=2或q=1(舍去)，所以数列aj的通项公式为i=2n；(

5、n)Sn=2n*+n22。2、解：(I)由an=a+(n1)d及a3=5,即=9得a1=9,d=2；所以数列Qn的通项公式为an=11-2n(n)Sn=10nn2=(n5)2+25,所以n=5时Sn取得最大值。3、解：(I)由a1=1,a3=3得d=-2,所以an=32n;(n)Sk=kk(k1)=_35,解得k=7o4、解：(I)设成等差数列的三个正数分别为ad,a,a+d;则ad+a+a+d=15=a=5;数列bn中的b、b、b依次为7d,10,18十d,则(7d)(18+d)=100;得d=2或d=13(舍)，于是b3=5,b4=10=bn=52nJ3S5,55&152n(II)

6、数列bn的前n项和Sn=52n,即Sn+=52=4=一三=244Q552Sn,45因此数列lSn+5是公比为2的等比数歹U。415、解：(I)设数列an的公比为q,由a2=9a2a6得a；=9a42所以q2=一。91由条件可知a>0,故q=一。31由2a1+3a2=1倚2al33a2q=1,所以a1=。3故数列an的通项式为an=-1n。3(nbn =log3a log3a2 log3an = -(1 2 IH n)=n(n 1)2,121故一=-2(bnn(n1)n11+ +b1b211111:2(1； (2一3)(1)=2nn 1所以数列1一的刖n项和为2nn - 16、解：设等比数

7、列an的公比为q,由题1 a = 3,1 a 2,解得广,或广,q = 2, q = 3.aq=6,6ala1q2=30,所以如果a1=3,则an=a1qnJL=3x2nJ1.Sn=a1(1-q)=3父2n-3i-q如果aL=2,则an=aLqn=2父3"&二砚(1-q)=3n-11-q-131_n27、斛：(i)由q=3,S3=一得a<i=,所以an=3；33(11)由(1)得益=3,因为函数f(x)最大值为3,所以A=3,JTJTJT又当x=L时函数f(x)取得最大值，所以sin(二十邛)=1,因为0<华<n，故邛=，636所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+工)。6a1d=0,8、解：(I)设等差数列an的公差为d,由已知条件可得12a112d=-10,a1=1,.、解得1故数列an的通项公式为an=2n.5分d-1.(II)设数列3的前n项和为Sn,即Sn=a+点+111+券，故§=1,»上川堂所以，当时,