清华信号与系统卓晴chapter

1、5.4 Z变换基本性质z变换的基本性质z便让的主要性质（定理）表2006-10-2315.4.0本节内容n z变换的基本性质q 线性q 位移性（z域微分）（z域尺度变换）q 序列线性q 序列指数q 初值定理q 终值定理q 时域卷积定理q 序列相乘（z域卷积定理）2006-10-2325.4.1z变换的基本性质-线性n 线性已知：Z x(n) = X (z)Z y(n) = Y (z)(Rx1 (Ry1 Rx 2 ) Ry 2 )zz则： Z ax(n) + by(n) = aX (z) + bY (z)(R1 a )( zz - a1Y (z) = y(n)z-n = an z-nn=0n=1

2、a= a )( zz - a所以：Z anu(n) - anu(n) = X (z) - Y (z) = 12006-10-2355.4.1z变换的基本性质-线性例：求双曲余弦和双曲正弦的z变换：x(n) = cosh(nw0 )u(n)x(n) = sinh(nw0 )u(n)zz - ew0w ew0解：Zu(n)=ne( z)0zz - e-w0w e-w0Z-nu(n)=e( z)02006-10-2365.4.1z变换的基本性质-线性根据z的线性特性和双曲函数的定义可得： enw0+ e- nw0Z cosh(nw0 )u(n) = Z u(n)2= 1 Z enw0 u(n) +

3、1 Z e-nw0 u(n)22zz(z - cosh w0 )z=+=2(z - ew02(z - e-w0- 2z cosh w +1z2)0z sinh w0- 2z cosh w同理可得：Z sinh(nw )u(n) =0+1z202006-10-2375.4.1z变换的基本性质-位移性(1) 双边z变换的位移特性：如果序列x(n)的双边z变换为：n 位移性Z x(n) = X (z)则序列右移后，它的双边z变换为：Z x(n - m) = z-m X (z)(2) 单边z变换的位移特性如果双边序列x(n)的单边z变换为：x(n)u(n) = X (z)序列左移后，它的单边z变换为：

4、m-1Z x(n + m)u(n) = zmX (z) - kx(k )zk =0序列右移后，它的单边z变换为：-x(k )z-k 1Z x(n - m)u(n) = z-mX (z) +k =-m2006-10-2385.4.1z变换的基本性质-位移性证明双边z变换的位移特性：由z变换的定义可得：Z x(n - m) = x(n - m)z-nn=- x(n - m)z-(n-m)= z-mn=- x(k )z-k = z-m X (z)= z-mk =-同理可得：Z x(n + m) = zm X (z)2006-10-2395.4.1z变换的基本性质-位移性证明单边z变换的位移特性：先证

5、单边变换的左移特性，根据单边z变换的定义可得：Z x(n + m)u(n) = x(n + m)z-n= zm x(n + m)z-nn=0n=0= zm m-1x(k )z-k = zmx(k )z-k - kx(k )z k =0k =mk =0m-1= zmX (z) - kx(k )zk =0同理可以证明单边变换的右移特性；2006-10-23105.4.1z变换的基本性质-位移性注意：-1如果x(n)是因果序列， x(k )z-k各项。k =-m则右移序列特性为:Z x(n - m)u(n) = z-m X (z)而左移序列特性仍为:m-1Z x(n + m)u(n) = zmX (

6、z) -kx(k )zk =02006-10-23115.4.1z变换的基本性质-位移性注意：Z x(n +1)u(n) = zX (z) - zx(0)Z x(n + 2)u(n) = z2 X (z) - z2 (0) - zx(1)Z x(n -1)u(n) = z-1X (z) + x(-1)Z x(n - 2)u(n) = z-2 X (z) + z-1(x -1) + x(-2)2006-10-23125.4.1z变换的基本性质-位移性例：已知差分方程：y(n) - 0.9 y(n -1) = 0.05u(n)边界条件：y(-1) = 0, 使用z变换的方法求解y(n)。解：对方程

7、两边进行z变换，应用位移定理：Y (z) - 0.9z-1 y(z) = 0.05zz -10.05z2Y (z) =(z - 0.9)(z -1)2006-10-23135.4.1z变换的基本性质-位移性Y (z) =A1A2+利用部分分式展开：z - 0.9z -1z= 0.05z = -0.48Az -1 1z =0.9= 0.05z= 0.5A z - 0.9 2z =1Y (z) = -0.45z + 0.5z则：z - 0.9z -1y(n) = -0.45 (0.9)n + 0.5 u(n)2006-10-23145.4.1z变换的基本性质-位移性n 利用z变换求解差分方程会在5

8、.5后面进一步介绍。2006-10-23155.4.1z变换的基本性质-序列线性（z域微分）n 序列线性如果：X (z) = Z x(n)d则：Z nx(n) = -zX (z)dzd 2 X (z)dX (z)n2 x n =Z + z2( )zdz2d mdzZ nm x(n) = -zX (z)dz d md ddd其中-zdt = -z-z-z -zX (z) dzdzdzdz2006-10-23165.4.1z变换的基本性质-序列线性证明z变换的序列线性性质：根据z变换的定义：X (z) = x(n)z-nn=0两边同时对z进行求导：dX (z) = d = x(n) d z-nx(

9、n)z-ndzdzdzn=0n=0= -z-1 nx(n)z-n = -z-1Z nx(n)n=0d所以： Z nx(n) = -zX (z) dz2006-10-23175.4.1z变换的基本性质-序列线性n 采用项类似的方法可以证明对于序列采用n2,nm的公式.2006-10-23185.4.1z变换的基本性质-序列线性z例：如果已知Z u(n) =nu(n)的z变换。, 求斜变序列z -1d解：Z nu(n) = -z= -zZ u(n)dz =dzzdz z -1 (z -1)22006-10-23195.4.1z变换的基本性质-序列指数（z域尺度变换）n 序列指数已知：X (z) =

10、 Z x(n) Rx 2 )(Rx1zzzaZ a x(n)= X Rn(R)则： a x1x 2Z a-n x(n) = X (az )Z (-1)n x(n) = X (-z) az R(R)x1x 2 1)( zz +12006-10-23215.4.1z变换的基本性质-序列指数例：如果x(n)的z变换为X (z)，请使用X (z)表示下面两个序列的z变换。x n n为偶数x (n) = 2 补零扩展10n为奇数x2 (n) = x(2n)抽点压缩2006-10-23225.4.1z变换的基本性质-序列指数解：X (z) = = n=-= x n z- nx (n)z-nx(k )z-2

11、k = X (z2 )1 112n=-k =- nX (z) = x (n)zn=-n=-n为偶数-n- n=x (2n)zx(n)z2222n=- n1= 1+ (-1)n x(n)z2n=- 21 - n2- n21111 x(n)z (-1)n x(n)z=+= X (z 2 ) + X (-z 2 )2 n=-2 n=-2 2006-10-23235.4.1z变换的基本性质-序列指数例：已知Z cos(nw0 )u(n), 求bcos(nw )u(n)的z变换：n0z(z - cosw0 )解： Z cos(nw )u(n) =- 2z cosw +10z20z z - coswb b

12、0 cos(nw )u(n) = Z b n0 z 2z- 2 b cosw0 +1 b 1- b zcosw-1zb= 1) 0(1- 2b z-1 cosw+ b 2 z-202006-10-23245.4.1z变换的基本性质-初值定理n 初值定理如果因果序列x(n)的z变换为：X (z) = Z x(n) = x(n)z-nn=0则： x(0) = lim X (z)z由 X (z) = x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2+证明:当z ,只有x(0)项存在，其余各项都趋于零，故初值定理得证。2006-10-23255.4.1z变换的基本性质-终值定理n 终值定理对因果序列x

13、(n)的z变换为：X (z) = Z x(n) = x(n)z-nn=0则： lim x(n) = lim(z -1) X (z)nz12006-10-23265.4.1z变换的基本性质-终值定理n 证明终值定理Z x(n +1) - x(n) = zX (z) - zx(0) - X (z)= (z -1) X (z) - zx(0)lim(z -1) X (z) = x(0) + limx(n +1) - x(n) z-nz1z1x(0) + x(2) - x(1)+x(3) - x(2) +x()2006-10-23275.4.1z变换的基本性质-终值定理n 终值定理应用条件X(z)的极

14、点必须处于圆内。z=1处如果有极点，其阶次必能超过1。2006-10-23285.4.1z变换的基本性质-时域卷积n 时域卷积定理已知两个序列x(n), h(n)它们的z变换为：X (z) = Z x(n)(Rx1 (Rh1 Rx 2 ) Rh 2 )zzH (z) = Z h(n)则： Zx(n) * h(n) = X (z)H (z)或写成： x(n)* h(n) = Z-1 X (z)H (z)收敛域变为：max(Rx1, Rh1 ) ( za )z - a zH (z) = b )( zz - bz2Y (z) = X (z)H (z)=(z - a)(z - b) max a , b

15、 )( z2006-10-23315.4.1z变换的基本性质-时域卷积对于上述结果部分分式：1azbzY (z) =-a - b z - az - b 则两个单边指数卷积的结果为：y(n) = x(n) * h(n) = Z-1 Y (z)1(an+1- bn+1 )u(n)=a - b2006-10-23325.4.1z变换的基本性质-时域卷积例：求下列两序列的卷积：x(n) = u(n)h(n) = anu(n) - an-1u(n -1)z解：X (z) = 1)( zz -1zz -1zH (z) =- z-1= a )( zz - az - az - a2006-10-23335.4

16、.1z变换的基本性质-时域卷积根据时域卷积定理可得：z z -1Y (z) = X (z)H (z) =z -1 z - a z=z - a a )( z则卷积结果为：y(n) = x(n) * h(n) = Z -1 Y (z)= anu(n)注意：发生零极点抵消，结果的收敛大了。2006-10-23345.4.1z变换的基本性质-时域卷积n 解卷积应用已知关系式Y (z) = X (z)H (z)，同时知道Y (z), H (z)求解X (z)，或者已知道Y (z), X (z)求解H (z)，可以使用X (z) = Y (z) , H (z) = Y (z)H (z)在经过逆z变换，便可

17、以进行解卷积。X (z)：分析收敛域比较，分母上的表达式的零点将变成极点，往往造成不收敛。2006-10-23355.4.1z变换的基本性质-时域卷积n 解卷积应用：习题8-20 同态滤波的解卷积运算。2006-10-23365.4.1z变换的基本性质-序列相乘n 序列相乘（z域卷积定理）已知两序列x(n), h(n)的z变换为：Z x(n) = X (z)Z h(n) = H (z)(Rx1 (Rh1 Rx 2 ) Rh 2 )zz12p jz则：Z x(n)h(n) =-v1XH (v)vdv v C112p jzvC=-1X (v)Hvdv v 22006-10-23375.4.1z变换

18、的基本性质-序列相乘n 序列相乘（z域卷积定理）C , C 分别是在X z 、H (v)或者X (v)H z v v 12收敛域重叠区域中的绕逆时针旋转的围线。Z x(n)h(n)的收敛域为X (v), H z 或者H (v) X z v v 的收敛域重叠部分：Rx1Rh1 Rx 2 Rh 2z2006-10-23385.4.1z变换的基本性质-序列相乘n 序列相乘性质证明Z x(n)h(n) = x(n)h(n)z-nn=-= 1n-1- nvX (v)vdvh(n)zn=- 2p jC2= 1vX (v)vn dv h(n)z-n2p jn=- vC2 z - n dv12p j X (v) h(n) vC= v v2n=-12p jz同理可证明另外一种形式的相乘性质。vC=-1X (v)Hvdv v 22006-10-23395.4.1z变换的基本性质-序列相乘X (v)收敛域和X (z)相同，H z 的收敛域和 v zvH (z)相同，即：R R ，R Rzx1x 2h1h 2那么Z x(n)h(n)的收敛域至少为： Rx 2 Rh 2Rx1Rh1z2006-10-23405.4.1z变换的基本性质-序列相乘如果取：v = re jq , z = re jq re jj