贺凯芬-将混沌理论应用于非线性波动系统的几点思考

1、贺凯芬一、时空流形上的奇异性二、与参数有关的参照系三、场的自组织行为四、与空间结构相关的不动点五、复分量的相空间六、哪些奇异性导致湍流运动七、伴随分岔出现的对称性改变八、非线性本征频率和相同步问题从可积系统看：常微分方程：拓展到复时间平面，有Painleve判据检验方程的可积性。推广到偏微分方程：将解在形式上展开为罗朗级数：(x,t)=(x,t)uj(x,t)jj如果展开是成功的（找到相容的递推关系等），方程的所有可动奇点都是极点，方程可积。奇异性将沿(x,t)=0的流形发生。这提示非线性波动系统的奇异性发生在依赖于时间和空间的流形上。岔），在波动系统中就要讨论依赖于时间和空间的流形（对应时空

2、结构或波动解）随参数出现的拓扑改变。例：非线性偏微分方程一般不允许简谐波解，最简单的波动解例如是孤立波类型(周期边界)的解：(x,t)=0(xvt)这是一个以一定速度V运动的振幅和形状都不变的波包列，因此，我们需要讨论控制参数变化时波包列可能出现怎样的分岔，以及此后还可能发生怎样的临界突变。（孤立波样的）空间结构0(xvt)以一定的=在什么参照系中观察的问题；随波坐标系是恰当的参照系，在这个参照系中，空间结构的形状不随时间改变；无论保守的波动系统还是耗散的波动系统，孤立波样解的运动速度都可能与参数有关。如在保守系统找孤立波解时，它的速度可能与方程系数以及积分常数满足一定的关系。因此，在讨论非线

3、性波的动力学时，随参数改变们将面临不止一个惯性参照系系统动力学现象时，参照系不随参数改变；在所有惯性坐标系中有相同的物理规律，但坐标系运动会引起多普勒效应，这给（为预报等目的）观察和分析实际波动系统的动力学现象的研究工作提出了挑战：例如，在测量获得湍流运动频率后，应该作怎样的多普勒移动才能得到有用的信息？我们不知道失稳前的定态波解，也就不知道该在哪个坐标系中观察。组织出各种类型的时空结构，我们应该以粒子的观点还是场的观点来看待这种自组织现象？粒子的观点：把介质看作是由粒子组成的，通过（近邻和非近邻）粒子的相互作用，出现了自组织行为；场的观点：把介质看作由不同尺度的模式组成，由于这些模式之间的非

4、线性相互作用，出现了时空自组织。展开这里(x,t)=kk(x,t)k(x,t)是波数为k的分波，对于周期L边界条件，k=2n/L,(n=1,2,)研究表明，对于非线性波动，自组织发生在不同尺度的场量之间。例如，观察到不同尺度模式的位相之间出现同步、锁频等典型的非线性现象，这支持场的自组织观点。在随波坐标系中，孤立波样结构的各个分波振幅和位相都是时间的常数，因此它是（用(Ak,k)构建的）相空间中的一个不动点。0(xvt)=kAkeik+k反过来说，对于波动系统，相空间中的不动点对应一个不变的空间结构。和时序系统一样，我们需要讨论对不动点的扰动，这时，这个不动点对应的空间结构就会像一个势阱那样散

5、射对它的扰动。这个空间结构对扰动起散射作用，就像量子力学势阱那样，可以用一个散射矩阵描写，x1y1#=#xNyN#%#x1y2#xNyN散射改变了扰动的本征频率和本征矢量，改变的大小和方向依赖于势阱的状态。因此，扰动的本征空间是被势阱散射过的矢量空间，这是扰动的线性空间。这些不同尺度的扰动之间也有非线性相互作用，也会出现自组织。一个相空间，这是一个复空间量（模式）都有振幅和位相，可用复数表达。例如展开（周期2）：(,)=kk(,)=kbk()eik+k()傅立叶第k个模式有两种表示方式：用振幅和位相(bk,k)用投影(xk,yk)xk=bkcoskyk=bksink模型方程2 =y+x(x+y

6、)x2 =x+y(x+y)y22中的(x,y)可以被看作是一个复矢量在相互垂直的两个方向上的投影，r(t)e方程化为i(t)=x(t)+iy(t)2 =r(r)r =这是一个位相以不变频率旋转，振幅非线性变化的复振子。因此，这个模型讨论的实际上是复振子的本征频率在什么条件下失稳的问题。波动系统有无穷多这样的复振子，可以说明，此时Hopf分岔正是两个振子出现非线性共振引起的。我们观察到与时空混沌发生有关的运动流形的奇异性有两类：与时序系统情形一样，相空间不动点经过一系列Hopf分岔会变成高维环形拓扑，当不变环出现拓扑奇点时，轨道可能穿过奇点，破坏环形拓扑，引起波动系统出现阵发湍流现象。二维环出现

7、拓扑奇点的示意图右边的类似于球形拓扑，在奇点处轨道没有确定的方向。环形拓扑球形拓扑高维环在有二维环骨架时，可能在某一维上出现拓扑奇点，轨道穿过奇点运动，破坏环形拓扑，引起阵发的无序波动。E 0.2 0.0 10000 0.8 0.6 0.4 波动能量的平稳 和阵发运动 0.8 (a) =0.65, =0.192 0.6 0.4 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 (b) =0.65, =0.19294 X Axis Title E 0.2 0.0 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45

8、000 50000 t 平稳相的有规波动 (a) =0.65, =0.19294 laminar period 阵发相的时空无序波动 (b) =0.65, =0.19294 bursty period 0.5 0.0 -0.5 0 1 2 3 4 5 6 20000 20015 20010 20005 0.0 -0.5 -1.0 0 1 2 3 4 5 6 35250 35265 35260 35255 x t x t 空间坐标的引入带来了时间和空间对称性的问题在随波坐标系中不动点对应一个不变的空间结构，时间和空间组成一个坐标xvt，在定态波发生分岔时，过去和未来不再相同，时间和空间的对称性被打破了。对于行波，出现了与运动方向有关的对称性问题。伴随局域分岔和全局分岔，都出现了对称性质改变的现象。在不动点出现：未扰的定态波向一定方向运动，扰动模式的本征运可能出现动向前和向后强度不对称；在波动系统中，根据这种不对称性可定义出正能模式和负能模式；已观察到的两种局域分岔现象，鞍结点分岔和Hopf分岔，在趋向临界点时显示幂率。振子，不仅它们的本征频率因势阱的散射作用-发生改变，而且每个振子的瞬时频率这些振子通过相互作用协调它们的运动频率和位相。在非线性波中常见的现象有:大量突变现象都是非线性共振引起的鞍结点失