非线性控制系统理论

1、第七章 非线性控制系统理论 71非线性控制系统的概述 一、引 言在前面各章中，研究线性系统的分析和设计问题。事实上，大多数工程实际系统，严格地说来均不属于线性系统，系统中或多或少总存在一些非线性因素。当所研究的实际系统中非线性因素影响并不是十分严重（可略去不计），或在某一个特定范围内，某一限制条件下可以看作线性时，那么用线性理论来研究控制系统是很有实际价值的。实践证明，这样做是成功的，也许这正是线性系统广泛应用的重要原因。但对于一些所谓“本质”非线性系统，则不能进行线性化。理由很简单，线性化以后所得到的系统不能反映真实系统的运动，或者说，所得到的结论完全不符合实际系统。例如，最常见的自激振荡就

2、是线性理论无法理解的现象之一。这就说明，必须考虑非线性因素的影响，从而促使非线性理论的发展。因此，必须进一步研究分析和处理非线性系统的方法。非线性是指元、部件的静特性不是按线性规律变化而言的。例如，图71所示的放大器静特性就是一种非线性特性。图中横坐标为放大器的输入电压，纵坐标为放大器的输出电压。如果放大器工作在区段，则放大器输入与输出电压之间可近似为线性关系，因此可以把放大器作为一个线性元件来处理。但如果放大器工作在范围内，那么放大器便不能再作为线性元件来处理了，因为其静特性具有明显的非线性。如果，在一个自动控制系统中包含一个或一个以上具有非线性特性的元、部件，则把这样的系统称为非线性系统。

3、因此，凡是不能直接进行线性化处理，不能用线性微分方程描述的系统，称为非线性系统，或称为本质非线性系统。二、非线性控制系统的特点非线性控制系统与线性控制系统相比，有其明显的特点。（1）线性系统可用线性微分方程来描述，故具有线性性质，可以应用叠加原理。如果系统分别在或作用下输出为或，那么当和同时作用于系统时，系统输出等于、两个输出之和。而非线性系统则要用非线性微分方程来描述。求解非线性微分方程不能应用叠加原理，而对应非线性微分方程右项（与输入有关的项）的每一种形式均需完全重新求解。因此，没有一个通用的方法处理所有非线性问题。（2）在线性系统中，系统的动态过程和稳定性，只决定于系统特征根的分布，即只

4、决定于系统的结构形式和参量，而与系统的外作用（或系统的初始条件）无关。但非线性系统的稳定性和动态过程，除与系统的结构形式和参量有关外，还与系统外作用大小（或系统的初始条件）有关。对于同一个结构形式和参数的非线性系统，在外作用大小不同的条件下，运动的最终状态可能完全不同。如在外作用较小条件下，系统是稳定的，而当在外作用较大条件下系统则变为不稳定的了。反之，也可能系统在较大输入下为稳定，而在较小输入下为不稳定，甚至会有更复杂的运动形式。例如一个三阶系统如图72（a）所示。系统中放大器的静特性是线性的，放大系数为与其输入大小无关。系统运动特性可根据根轨迹（如图72（b）所示）来进行分析。由图可见，当

5、时，系统是稳定的；当时，系统为不稳定；当时，系统处于临界稳定状态。由于系统是线性系统，当系统一旦选定，参数、和也就被确定，系统的运动状态也随之而定。因此，系统的动态过程只能是上述三种运动状态之一种，并且与外作用大小无关。如果系统稳定，那么不论扰动有多大，动态过程总是收敛的；如果系统不稳定，不论扰动是多么小，动态过程总是发散的；临界稳定状态实际上是不能持久的。这就是线性系统运动的特点。但对于非线性系统（如图73所示），它与图72（a）系统相比较，在结构形式上除放大器特性不同外，其余完全相同。系统中采用了具有饱和特性的非线性放大器，其静特性如图74(a)所示。由图可见，当时，；当时，放大器输出保持

6、常值不再变化。所以放大器的等效增益随输入的增大而减小，如图74（b）所示。饱和特性对系统动态性能的影响是多种多样的，随系统结构不同而不同，也随饱和特性参数不同而不同，下面以图73所示非线性系统为例作简要说明。很明显，图73所示系统，当时，。若系统中放大器无饱和限制，则系统稳定，其阶跃响应为振荡收敛（或单调收敛），如图75中曲线1所示；当系统输入较大幅值的阶跃函数时，放大器工作在饱和区，则系统具有非线性特性，其阶跃响应如图75中曲线2所示。显然饱和特性使系统动态过程的振幅下降了。这是由于系统受到饱和特性的限制，相当于在大的误差信号时开环增益下降，系统中两个闭环复极点沿实轴方向靠近的缘故。又如当图

7、73系统中的放大器具有如图76（a）所示特性时。当时，,若放大器静特性是线性的,则系统是不稳定的，其阶跃响应为振荡发散的过程，如图76（b）中曲线1所示。若放大器具有饱和特性，则不论系统输入阶跃函数幅值是多么小，其响应将从振荡发散最终到达等幅振荡，如图76（b）中曲线2所示。而且这种等幅振荡与线性系统中的临界稳定的等幅振荡完全不同。在线性系统中，只有参数时，系统才有可能出现等幅振荡，而这种状态是不能持久的，只要系统参数稍微有变动，立即会遭到破坏而变为收敛发散。但在非线性系统中除了收敛或发散运动外，往往还会发生等幅振荡，即使没有外作用存在，系统本身也会产生具有一定振幅和频率的振荡，而且这种振荡具

8、有一定的稳定性，一般称为自持振荡（或自振）。这是非线性系统所独具的现象。由上分析可见，非线性系统的运动，在同一系统中，可能出现多种运动状态。运动状态与外作用大小、初始条件等有关。（3）和线性系统相比，非线性系统输出的稳态分量，一般和输入量并不具有相同的函数形式。在线性系统中，当输入是正弦函数时，其输出的稳态分量是同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上有所不同。因此可以用频率特性来描述系统的固有特性。但在非线性系统中，输入是正弦函数时，输出则包含有高次谐波分量的非正弦周期函数。因此，不能应用频率特性、传递函数这些线性系统常用的方法来分析和处理非线性系统。综上所述，非线性系统的运动比线性系统的运动

9、要复杂得多。因此，非线性系统的分析也比线性系统复杂。目前，对非线性微分方程还没有比较成熟通用的解法，在工程实践中较多的采用的是一些近似解法。应当指出，对于非线性系统来说，在许多实际问题中，并不需要求解其输出过程，而通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定；系统是否产生自持振荡，如果产生，其振幅和频率各等于多少，以及怎样消除自持振荡等有关稳定性问题的分析上。因此，需建立一些判别和保证系统稳定性的准则。目前在工程上广泛应用的分析方法有基于时域分析的相平面法，点变换法和李雅普诺夫第二法。有基于频率域分析的描述函数法和波波夫法。在本章中，将分别介绍相平面法和描述函数法来分析非线性系统的特性。下面介绍一下

10、控制系统中常见的比较典型的非线性特性。三、典型非线性特性1、饱和特性 所有元、部件的线性段都不是无限长的，只是范围有大有小而已。例如，放大器输入信号较小时，输出与输入是线性关系；当输入大于一定数值后，其输出将保持不变，出现所谓饱和现象，如图71和74（a）所示。这种特性称饱和特性，是一种典型的非线性特性。当然，饱和特性并非都只会给系统带来不利影响，在有些系统中，饱和特性是作为有利因素加以利用的，如功率限制、行程限制等等。这些特性保证系统或元、部件能在额定和安全情况下运行。2、死区（不灵敏区）特性 死区非线性的静特性如图77所示。图中e表示死区宽度；K表示线性输出特性的斜率。这类特性表示输入信号

11、在零值附近变化时，元件或环节无信号输出。只有当输入信号大于某一数值（死区范围）后，输出信号才与输入信号呈线性关系。例如，伺服发电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏区，干摩擦元件的特性等都属于死区非线性特性。自动控制系统中，由于死区特性的存在，将使系统产生静态误差，特别是测量元件的不灵敏区影响最为突出。系统的干摩擦死区特性将造成系统低速运动的不平滑性，这种低速不平滑性往往导致雷达、火炮等装备系统在运行过程中不能准确地跟踪目标，甚至会丢失目标。3、间隙特性 图78（a）所示非线性特性称间隙特性。图中，2b为间隙宽度，为输出特性斜率。形成此特性的原因可以用图78（b）所示的简化模型来说明。假

12、设输入轴开始停止在叉子的正中，与两边的间隙为b，这时在静特性上相当于坐标原点O。如输入轴顺时针转动，且<b时，输出轴不转，=，直到=b时，输入轴和输出轴上叉子的一侧相遇（0，对应静特性段）。如输入轴再继续转动，输出轴就跟随输入轴转动，此时，二者是线性关系（线段1），如果输入轴转到=停止转动，假设输出轴无惯性，则输出轴也将停止转动。此时，如果输入轴反时针转动，由于存在间隙，且宽度为，故输出将保持不动（线段2），直到输入轴靠上叉子的另一边时，输出轴才又跟着输入轴反方向转动（线段3）。从而形成了图78（a）所示的间隙特性。齿轮传动的齿隙特性，液压传动的油隙特性等均属于这类特性。控制系统中有间隙

13、特性存在时，将使系统输出信号在相位上产生迟后，从而使系统的稳定裕量减小，动态特性变差。间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。4、继电特性 这类特性，由于继电器的吸合电压和释放电压往往不同，因此输入-输出特性不仅包含有死区特性和饱和特性，而且出现滞环特性。如图7-9所示。如果继电器吸合电压和释放电压均为零值切换，如静特性图中（a），称这种特性为理想继电特性。如果继电器吸合电压和释放电压相等，如图中（b）所示静特性，称这种特性为具有死区的单值继电特性。图中（c），称为具有死区滞环的继电特性。图中（b）称为具有滞环的继电特性。由于继电元件在控制系统中常常用来作为改善系统性能的切换元件，因此继电特性在非线性系统的分析中将占有重要地位。四、分析方法非线性系统的分析方法很多，这里仅介绍两种最常用的方法，即相平面法和描述函数法。相平面法是一种图解分析法，适用于一阶、二阶非线性系统的分析。方法的要点是将二阶非线性微分方程改写为以输出量及输出量