第十讲常微分方程

1、第十讲 常微分方程一、 考试要求1、 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。 2、 掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法。会解伯努力方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。会用降阶法解下列形式的微分方程：y(n)=f(x),y/=f(x,y/)和y/=f(y,y/).3、 掌握(会解)二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。4、 理解(了解)线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 。5、 了解差分与差分方程及其通解

2、与特解等概念。 6、 掌握一阶常系数线性差分方程的解法。 7、 会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。 8、 会解欧拉方程。9、 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、内容提要 （一）、一阶微分方程 1 可分离变量微分方程 或 直接积分： 2 齐次方程 , 3 一阶线性微分方程 或 4 贝努里方程 , 5 全微分方程 6 可用简单变量代换求解的微分方程 （二）、可降阶的高阶微分方程 1 , 连续积分n次 2 , 3 , （三）、高阶线性微分方程 1、 (1) (2) 解的性质、结构 2、常系数线性齐次方程 (1) 特征方程，特征根三种情况： (2) 3、二阶常系数线性非齐次方程 (

3、1) , 特解： (2) , 特解： (3) , 特解：4、 欧拉方程 令 三、 典型题型与例题 题型一、一阶微分方程的求解 解题步骤： 例1、 (98 1) 已知函数y=y(x)在任意点x处的增量, 且当时，a是的高阶无穷小量，, 则y(1)= . 例2、求。例3、求的通解。例4、（0734）微分方程满足的特解为 解 当x1时，由 可见 .若补充定义：，则得上的连续函数 ，满足题中所要求的全部条件.例5、 求微分方程的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.例6、解微分方程 ; 例7、; 例8、例9、 题型二、可降

4、阶的高阶微分方程例10、(001) 微分方程的通解为_,例11、 (99 1) 设函数y(x)(x0)二阶可导且 过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1, 区间0,x上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2. 并设,求此曲线的方程. 解 切线： , 与x轴交点, 由题设Y(x)0. , 由 .例12、题型三、高阶常系数线性微分方程的求解1、二阶常系数齐次线性微分方程的解2、二阶常系数非齐次线性微分方程的解方法：例13、例14、例15、例16、 (002选)具有特解的3阶常系数齐次线性微分方程是_, 例17、 设都是某

5、二阶常系数齐次线性微分方程的解，则此二阶常系数齐次线性微分方程为 .解在解中，故不是方程的独立解，而常数，知1和是方程的两个线性无关的解. 1，对应特征根分别为0和1，对应特征方程为，即，此特征方程对应微分方程为例18、(综合题) 设在(-1,+)上具有连续的一阶导数，且满足f(0)=1及 求,并证明：当x0时，有 证 (1) (x-1) (2) 又令.题型四、 微分方程的应用应用题求解步骤：1） 几何应用例19、 设有一小山，其表面形如，z表示水平投影点(x,y)处对应的山高. 今在小山丘上有一小石头（看成一点），空间坐标为(2,1,3)，求：1）在重力作用下，该石下落的曲线在xoy平面上的

6、投影曲线方程；2）该石下落的空间曲线方程.解 1）设该小石下落的曲线在xoy平面上的投影曲线方程为：y=y(x). 该投影曲线的切线方向向量为，则z沿着的方向导数为负值，且达最大. 即与gradz同向，而 ，于是即有 ，而 2）该石下落的空间曲线方程为 注：下落曲线沿梯度方向使z减少最快. 2） 物理上的应用例20、当冰雹由高空落下时，它除了受地球重力的作用之外，还受到空气阻力的作用，阻力的大小与速度成正比，试求冰雹的下落速度和最大可能的速度.解 以y表示高度，表示下落的速度（），阻力为（k0），根据牛顿第二定律，有 令 ，则 ，解得，即 . 最大可能的速度为 （注意方向！）3） 积分方程的应用例21、 已知函数f(x)连续可导，且满足 ，(1)求f(x)的表达式; (2) 求极限 4） 其他应用例22、 （变化率问题）一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例系数K0. 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状. 已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？解 设半球在融化过程中其半径为r（r随时间变化），体积为V,