概率论与数理统计 第2章最新版本ppt课件

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布v随机变量v离散型随机变量v随机变量的分布函数v连续型随机变量v随机变量的函数的分布 在第一章中，我们用在第一章中，我们用样本空间的子集样本空间的子集，即，即样本点样本点的集合来的集合来表示随机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试验表示随机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中，的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中，我们将用我们将用实数实数来表示随机试验的各种结果来表示随机试验的各种结果( (数量化数量化) )，即引入，即引入随随机变量机变量的概念。这样，不仅可以更

2、全面揭示随机试验的客观存的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随机试验。来讨论随机试验。 在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系即建立对应关系X，使其对试验的每个结果使其对试验的每个结果 ，都有一个实数都有一个实数X( )与之对应，与之对应， 试验的结果试验的结果实数实数X( )( )对应关系对应关系X 则则X的取值随着试验的重复而不同，的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量，且在是一个变

3、量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个是一个随机取值的变量。由此，我们很自然地称随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为为随机变量随机变量。 2.12.1随机变量随机变量定义定义1 1 设设E是一个随机试验，是一个随机试验，S是试验是试验E的样本空间的样本空间，如果对于，如果对于S中的每一个样本点中的每一个样本点 ，有一实数有一实数X( ( ) )与之对应，这个定义在与之对应，这个定义在S上的实值函数上的实值函数X( ( ) )就称就称为为随机变量随机变量。由定义可知，随机变量由定义可知，随机变量X( ( ) )是以样本空间

4、是以样本空间S为定为定义域义域的一个单值实值函数。的一个单值实值函数。有关随机变量定义的几点说明：有关随机变量定义的几点说明：(1)(1)随机变量随机变量X X不是自变量的函数而是样本点不是自变量的函数而是样本点 的函数，的函数，常用大写字母常用大写字母X X、Y Y、Z Z 或小写希腊字母或小写希腊字母 、 、 等表等表示。示。(2)(2)随机变量随机变量X X随着试验结果而取不同的值，因而在试验随着试验结果而取不同的值，因而在试验结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预知它取什么值，对任意实数区间知它取什么值，对任意实数区间( (a a,

5、 ,b b) )，“a a XbXb”的的概率是确定的；概率是确定的；(3)(3)随机变量随机变量X X( ( ) )的值域即为其一切可能取值的全体构的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合；成的集合；(4)(4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而且引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。 例例2.12.1 一批产品中任意抽取一批产品中任意抽取2020件作质量检件作质量检验，作为检验结果的合格品的件数用验，作为检验结果的合格品的件数用X表示，表示，则则X是随机变量。是随机变量。X的一切可能取值为的一切可能

6、取值为 0 0，1 1，2 2，2020 X=0=0表示事件表示事件“抽检的抽检的2020件产品中没有合件产品中没有合格品格品”； X=1=1表示事件表示事件“抽检的抽检的2020件产品中恰有件产品中恰有1 1件合格品件合格品”； X= =k 表示事件表示事件“抽检的抽检的2020件产品中恰有件产品中恰有k件合格品件合格品”。例例2.22.2 将一颗骰子投掷两次，观察所得的点数，以将一颗骰子投掷两次，观察所得的点数，以X表表示所得点数之和，则示所得点数之和，则X的可能取值为的可能取值为2 2，3 3，4 4，1212，而且，而且 X=2=(1,1),=2=(1,1), X=3=(1,2),(2

7、,1),=3=(1,2),(2,1), X=4=(1,3),(2,2),(3,1),=4=(1,3),(2,2),(3,1), X=12=(6,6)=12=(6,6)。随机变量随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：的取各个可能值的概率列于下表：X2 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212P1/361/362/362/363/363/364/364/365/365/366/366/365/365/364/364/363/363/362/362/361/361/36P( (X=2)=1/36=2)=1/36P( (X=3)=2/36=3)=2/36P( (X=4)=

8、3/36=4)=3/36P( (X=12)=1/36=12)=1/36例例2.32.3 一正整数一正整数n等可能地取等可能地取1,2,3,15共十五共十五个值，且设个值，且设X=X(n)是除得尽是除得尽n的正整数的个数，的正整数的个数，则则X是一个随机变量，且有下表：是一个随机变量，且有下表：即可得即可得X取各个可能值的概率为：取各个可能值的概率为：n123456789101112131415X(n)122324243426244X12346P1/156/152/155/151/15例例2.42.4 一个地铁车站，每隔一个地铁车站，每隔5 5分钟有一列地铁分钟有一列地铁通过该站。一位乘客不知列

9、车通过该站的时通过该站。一位乘客不知列车通过该站的时间，他在一个任意时刻到达该站，则他候车间，他在一个任意时刻到达该站，则他候车的时间的时间X是一个随机变量，而且是一个随机变量，而且X的取值范围的取值范围是是00，5 5 练练 习习 引入适当的随机变量描述下列事件：引入适当的随机变量描述下列事件：将将3 3个球随机地放入三个格子中，个球随机地放入三个格子中，事件事件A=有有1 1个空格个空格 ，事件事件B=有有2 2个空格个空格 ，事件事件C=全有球全有球 。进行进行5 5次试验，次试验，事件事件D=试验成功一次试验成功一次 ，事件事件F=试验至少成功一次试验至少成功一次 ，事件事件G=至多成

10、功至多成功3 3次次 . 关于随机变量关于随机变量( (及向量及向量) )的研究，是概率论的的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：以说：随机事件随机事件是从是从静态静态的观点来研究随机现的观点来研究随机现象，而象，而随机变量随机变量则是一种则是一种动态动态的观点，一如数的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数

11、学的基础概念同样，是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量个更高的理论体系，其基础概念是随机变量奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量2.2 2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 一、一、 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律1 1、离散型随机变量的概念、离散型随机变量的概念 若某个随机变量的所有可能取值是若某个随机变量的所有可能取值是有限有限多个或多个或可数无穷多个，则称这个随机变量为可数

12、无穷多个，则称这个随机变量为离散型随机变离散型随机变量量。 讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知的统计规律必须且只须知道道X的所有的所有可能取值可能取值以及以及X取每一个可能取每一个可能值的概率值的概率。 2 2、分布律、分布律 定义定义1 1 设离散型随机变量设离散型随机变量X，其所有可能其所有可能取值为取值为x1, x2, , xk, , 且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1, p2, , pk, , 即即则称则称P(X=xk)=pk(k=1, 2, ) 为随机变量为随机

13、变量X 的的概率分布概率分布律律或或称称分布律分布律，也称，也称概率函数概率函数。分布律可用表格形式表示为：分布律可用表格形式表示为：11)(kkkkpxXP1 1 P(X=xk)=pk, (k=1, 2, )而且满足而且满足（1 1）P(X=xk)=pk0，(k=1, 2, )（2）Xx1x2x3xkPp1p2p3pk32335,0,1,2kkC CP XkkC例例2.52.5 设袋中有设袋中有5 5只球，其中有只球，其中有2 2只白球，只白球，3 3只黑球。现从中任取只黑球。现从中任取3 3只球只球( (不放回不放回) )，求，求抽得的白球数抽得的白球数X为为k的概率。的概率。解解X=k的

14、所有可能的所有可能取值为取值为0 0，1 1，2 2X是一个随机变量是一个随机变量5123450()(1)P XP A A A A Ap12345123451(.)P XP A A A A AA A A A A55(1)0,1,.,5kkkP XkC ppk12345123452.)P XP A A A A AA A A A A3225)1 (ppC解解 设设Ai 第第i次射击时命中目标，次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5=1,2,3,4,5则则A1 1, , A2 2，A5 5相互独立，且相互独立，且P( (Ai)=)=p, ,i=1,2,=1,2,5,5。SX=0,1,2,3,4,5

15、,=0,1,2,3,4,5,例例2.62.6 某射手对目标独立射击某射手对目标独立射击5 5次，每次命中目标的次，每次命中目标的概率为概率为p，以以X表示命中目标的次数，求表示命中目标的次数，求X的分布律。的分布律。4)1 (5pp二、几个常用的离散型随机变量的概率分布二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律律1、 两点分布两点分布定义定义2 2 若一个随机变量若一个随机变量X只有两个可能取值，且其只有两个可能取值，且其分分布为：布为：PX=x1=p, PX=x2=1-p ，(0p1) 则称则称X服从服从x1, x2处处参数为参数为p的的两点分布两点分布。特别地，若特别地，若X服从服从x1=1

16、, x2=0处参数为处参数为p的两点分布，即的两点分布，即X1 10 0Pp1-1-p则称则称X服从参数服从参数为为p的的0-10-1分布分布, ,即随机变量只可能取即随机变量只可能取0 0，1 1两个值，且两个值，且P(X=1)=p， P(X=0)=1- -p， (0p1)。 若某个随机试验的结果若某个随机试验的结果只有两个只有两个，如产品，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为面等等，它们的样本空间为S=e1, ,e2,我们总我们总能定义一个服从能定义一个服从0-10-1分布的随机变量分布的随机变量 发生时发生时当当发

17、生时发生时当当2101eeX即它们都可用即它们都可用0-10-1分布来描述，只不过对不同分布来描述，只不过对不同的问题参数的问题参数p的值不同而已。的值不同而已。 2 2、二项分布二项分布(1)(1)伯努利伯努利( (Bernoulli)Bernoulli)试验模型（试验模型（P27P27） 设随机试验满足：设随机试验满足：1 1在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验；次重复试验；2 2每次试验只有两种可能结果，每次试验只有两种可能结果，A发生或发生或A不发生；不发生；3 3在每次试验中，在每次试验中，A发生的概率均一样，即发生的概率均一样，即P(A)= =p；4 4各次试验是相互独立的

18、，各次试验是相互独立的，则称这种试验为则称这种试验为伯努利概型伯努利概型或或n重伯努利试验重伯努利试验。 在在n重伯努利试验中，人们感兴趣的是重伯努利试验中，人们感兴趣的是事件事件A发生发生的次数的次数。 以随机变量以随机变量X表示表示n次试验中次试验中A发生的次数，发生的次数，X可能取值可能取值为为0,1,2,3,0,1,2,3, ,n。设每次试验中设每次试验中A发生的概率为发生的概率为p，发生的概率为发生的概率为1-1-p=q。AX=k表示事件表示事件“n重贝努里试验中重贝努里试验中A出现出现k次次”，即，即 个个个个个个个个个个个个kknknkknkAAAAAAAAAAAAAAAAAA1

19、1这里每一项表示这里每一项表示k次试验中出现次试验中出现A，而另外而另外n- -k次试验中出现次试验中出现，且每一项两两互不相容，一共有，且每一项两两互不相容，一共有Cnk项。项。A由由4 4独立性可知每一项的概率均为独立性可知每一项的概率均为pk(1-(1-p) )n-n-k，因此因此,0,1,2,kkn knPXkC p qkn此为此为n重贝努里试验中重贝努里试验中A出现出现k次的概率计算公式，记为次的概率计算公式，记为 ) )- -1 1( ( ; ;, ,; ;pqnkqpCpnkBknkkn, 2 , 1 , 0,)(（2 2）二项分布定义）二项分布定义若随机变量若随机变量X具有概率

20、分布律具有概率分布律 ,0,1,2,kkn knP XkC p (1- p)kn则称则称X服从参数为服从参数为n，p的的二项分布二项分布，记为，记为XB(n,p) 。可以证明：可以证明：0,1,2,0,kkn knP XkC p (1- p)kn(1)1p00nnkkn knnkkP XkC p (1- p)p)kkn knC p (1- p) 正好是二项式正好是二项式( (p+(1-p) )n展开式的一般项，展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当故称二项分布。特别地，当n=1=1时时P X=k=pk(1-p)1- -k( (k=0,1)=0,1)即为即为0-10-1分布。分布。 . .二项

21、分布的图形特点二项分布的图形特点(P38)：对于固定的对于固定的n及及p，当，当k增大时，概率增大时，概率PX=kPX=k先随之增大直至先随之增大直至达到最大值，随后单调减少，且达到最大值，随后单调减少，且当当(n+1)p(n+1)p不为整数时，二项概率不为整数时，二项概率PX=kPX=k在在k=(n+1)pk=(n+1)p时达时达 到最大值；到最大值；(2)(2)当当(n+1)p(n+1)p为整数时，二项概率为整数时，二项概率PX=kPX=k在在k=(n+1)pk=(n+1)p和和 k=(n+1)p-1 k=(n+1)p-1时达到最大值；时达到最大值；ppp例例2.72.7设有一大批产品，其

22、次品率为设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产。今从这批产品中随机地抽查品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分布件，试求所得次品件数的概率分布律。律。解解 设设 X=k 表示事件表示事件“100100件产品中有件产品中有k件次品件次品”，则，则X可能取值为可能取值为0 0，1 1，2 2，100100。本题可视作本题可视作100100重贝努里试验中恰有重贝努里试验中恰有k次发生次发生( (k件次品件次品) )，XB(100, ,0.002)。因此，所求分布律为因此，所求分布律为 1001000.002 0.998,0,1,2,100kkkP XkCk例例2.8 2.8 某厂

23、长有某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率是的概率是0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。率。解解 设设X表示事件表示事件“7 7个顾问中贡献正确意见的人数个顾问中贡献正确意见的人数”，则则X可能取值为可能取值为0 0，1 1，2 2，7 7。（视作（视作7 7重贝努里实验中恰有重贝努里实验中恰有k次发生，次发生，k个顾

24、问贡献出个顾问贡献出正确意见）正确意见）, ,XB(7,07,0.6)。因此因此X的分布律为的分布律为770.6 0.4,0,1,2,.,7kkkP XkCk所求概率为所求概率为44567P XP XP XP XP X7102. 0)4 . 0()6 . 0(7477kkkkC例例2.92.9 从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗, ,假设在假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立各个交通岗是否遇到红灯相互独立, ,并且遇到红灯的并且遇到红灯的概率都是概率都是1/31/3。(1)(1)设设X为汽车行驶途中遇到的红灯数为汽车行驶途中遇到的红灯数, ,求求X的分布律；的分

25、布律；(2)(2)求汽车行驶途中至少遇到求汽车行驶途中至少遇到5 5次红灯的概率。次红灯的概率。解解 (1)(1)由题意，由题意，XB(6,1/3)(6,1/3)，故故X的分布律为：的分布律为：66120,1,.,633kkkP XkCk (2)556P XP XP X729133132316556 C例例2.10 2.10 某人独立地射击，设每次射击的命中率某人独立地射击，设每次射击的命中率为为0.020.02，射击，射击400400次，求至少击中目标两次的概次，求至少击中目标两次的概率。率。 解解 每次射击看成一次试验，设击中次数为每次射击看成一次试验，设击中次数为X，则则 XB(400,

26、 ,0.02)，X的分布律为的分布律为 4004000.02 0.98,0,1,2,400kkkP XkCk所求概率为所求概率为 223400P XP XP XP X101P XP X 997. 098. 002. 040098. 01399400例例2.102.10告诉我们两个事实：告诉我们两个事实：1 1虽然每次射击的命中率很小虽然每次射击的命中率很小(0.02)(0.02)，但射击次，但射击次数足够大数足够大( (为为400400次次) )，则击中目标至少两次是几乎可以，则击中目标至少两次是几乎可以肯定的肯定的( (概率为概率为0.997)0.997)。 一个事件尽管在一次试验中发生的概

27、率很小，但一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中，这事件的发生几乎是必然在大量的独立重复试验中，这事件的发生几乎是必然的，也就是说的，也就是说小概率事件在大量独立重复试验中是不小概率事件在大量独立重复试验中是不可忽视的可忽视的。 2 2若射手在若射手在400400次独立射击中，击中目标的次数次独立射击中，击中目标的次数不到不到2 2次，则次，则P( (X2)=1-00，n是正整数，是正整数，若若npn= = ，则对任一固定的非负整数则对任一固定的非负整数k，有有 (1),0,1,2,.!kkkn knP XkC ppekk即当随机变量即当随机变量XB(n, p)，(n

28、0,1,2,0,1,2,)，且且n很大，很大，p很小时，记很小时，记 =np，则则ekppCkknnknknn!)1 (lim例例2.102.10可可用泊松定理计算。用泊松定理计算。取取 =np=400=4000.020.028,8, 近似地有近似地有PX 21 PX0PX1 1(18)e80.996981 3 3、泊松泊松( (Poisson)Poisson)分布分布 若随机变量若随机变量X所有可能取值为所有可能取值为0,1,2,0,1,2,，且，且其中其中 00是常数，则称是常数，则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分泊松分布布，记为，记为XP( )。,0,1,2,!kP Xkekk.泊松

29、分布产生的条件：随机事件流：在随机时刻相继出现的事件所形成的序列。若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松流。例如：某网站在一定时间内收到的点击次数；某超市收银台接待的顾客数；某机场降落的飞机数。 泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是二项分布的极泊松分布是二项分布的极限分布，限分布， 当当n很大，很大，p很小时，很小时，二项分布就可近似地二项分布就可近似地看成是参数看成是参数 =np的的泊松分布。泊松分布。例例2.112.11 某商店出售某种商品，具历史记录分析，每某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数月销售量服从参数 =5的泊松分布。问在月初进货时，的泊

30、松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以要库存多少件此种商品，才能以0.9990.999的概率充分满的概率充分满足顾客的需要？足顾客的需要？解解 用用X表示每月销量，则表示每月销量，则XP( )= P(5)。由题意，要由题意，要求求k，使得使得PXk0.999，即即50050.999!ikkiiP Xiei这里的计算通过查这里的计算通过查PoissonPoisson分布表分布表(p.292-294)得到，得到， =5 125050.09979810.999!iiei135050.9993020.999!iieik=12时时,k=13时时,k=13即月初进货库存即月初进货库存要要13

31、13件。件。例例2.122.12 设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布, ,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3 3e-2-2。求任选一对夫妇求任选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。 23) 1() 0(1),( eXPXPXPPX且且 )2() 1()0(1) 3(XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解 由题意由题意232eee.4、几何分布几何分布 设随机变量设随机变量X的可能取值是的可能取值是1,2,3,1,2,3,且且P(X=k)=(

32、1- -p)k- -1p=qk- -1p，k=1，2，3， ,其中其中0p1是参数，则称随机变量是参数，则称随机变量X服从参数服从参数p为的为的几何分布几何分布。几何分布背景：几何分布背景： 随机试验的可能结果只有随机试验的可能结果只有2 2种，种，A与与试验进行到试验进行到A发生为止的概率发生为止的概率P( (X=k) )，即即k次试次试验，验，前前k- -1次失败，第次失败，第k次成功次成功。A2.3 随机变量的分布函数 前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整地描述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个地描述。而对于非离散型

33、随机变量，由于其取值不可能一个一个列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：一个列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：在测试灯泡的寿命时，可以认为寿命在测试灯泡的寿命时，可以认为寿命X的取值充满了区间的取值充满了区间0,+)0,+)，事件，事件X=x0表示灯泡的寿命正好是表示灯泡的寿命正好是x0。在实际中，即。在实际中，即使测试数百万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好使测试数百万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是是x0，也就是说，事件也就是说，事件( (X=x0) )发生的频率在零附近波动，自发生的频率在零附近波动，自然可以认为然可以认为P( (X=x0)=0)=

34、0。 由于许多随机变量的概率分布情况由于许多随机变量的概率分布情况不能不能以其取某个值的以其取某个值的概率来表示，因此我们往往关心随机变量概率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在取值落在某区间某区间 ( (a, ,b 上的概率上的概率( (a b) )。 由于由于 axb=xb-xa,(,(ab) )，因此对任意因此对任意xR，只要知道事件只要知道事件 Xx 发生的概率，则发生的概率，则X落在落在( (a,b 的概率就立刻的概率就立刻可得。因此我们用可得。因此我们用P(Xx)来讨论随机变量来讨论随机变量X的概率分布情况。的概率分布情况。P(Xx）：“随机变量随机变量X取值不超过取值不超过

35、x的概率的概率”。 定义定义1 设设X是一是一随机变量，随机变量，x是任意实数是任意实数，则实值，则实值函数函数F(x)P X x， x(-(-，+)+)称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。 有了分布函数定义，任意有了分布函数定义，任意x1，x2R， x1x2，随随机变量机变量X落在落在( (x1, ,x2 里的概率可用分布函数来计算：里的概率可用分布函数来计算：P x1X x2PX x2PX x1 F(x2)F(x1).xX 在这个意义上可以说，在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性机变量的统计规律性，或者说，或者说，分布函数完整地表示

36、分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况了随机变量的概率分布情况。 一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2, 则则F(x1) F(x2)； 2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x) 1，且且 ; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx00lim ( )( )xxF xF x3、右连续性右连续性：反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质数的充分必要性质。

37、例例2.12.14 4 设随机变量设随机变量X具分布律具分布律如下表如下表解解 )(xFx0112)()(xXPxFX012P0.10.60.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。0,0,0.1,01,0.7,12,1,2.xxxx例例2.12.15 5 设一汽车在开往目的地的道路上需经过设一汽车在开往目的地的道路上需经过3 3盏信号灯。每盏信号灯。每盏信号灯以概率盏信号灯以概率1/21/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数( (各信号灯工作相互独各信号灯工作相互独立立) )。求。求

38、X的分布律、分布函数以及概率的分布律、分布函数以及概率),2523(),23(XPXP解解 X X的可能取值为的可能取值为0 0，1 1，2 2，3 3，且设，且设p=1/2,=1/2,则则 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故故X的分布律为：的分布律为：)32( XPX0123P1/21/41/81/8X的分布函数：的分布函数：12112411124811112488000112( )()233xxxF xP Xxxx 3132211000874321xxxxx所求概率为所求概率为43)23()23(FXP814387)23()25()2523(FFX

39、P)2()32()32(XPXPXP)2()2()3(XPFF4181871一般地，一般地，X是离散型随机变量，其概率分布律为是离散型随机变量，其概率分布律为P(X=xk)=pk, (k=1, 2, )则则X的分布函数的分布函数F(x)为为 xxxxkkkkpxXPxXPxF)()()(F(x)的图像：非降，右连续，且在的图像：非降，右连续，且在x1，x2 ，xk，处跳跃。处跳跃。3132211000)(874321xxxxxxF. .离散型随机变量离散型随机变量X X的分布函数的性质的分布函数的性质 (1)(1)分布函数是分段函数分布函数是分段函数, ,分段区间是由分段区间是由X X的取值的

40、取值点划分成的左闭右开区间点划分成的左闭右开区间; ; (2) (2)函数值从函数值从0 0到到1 1逐段递增逐段递增, ,图形上表现为图形上表现为阶梯阶梯形跳跃递增形跳跃递增; ; (3) (3)函数值在点函数值在点x=xix=xi处有跳跃，其处有跳跃，其跳跃高度恰为跳跃高度恰为xixi点对应的概率值点对应的概率值(P44);(P44); (4) (4)分布函数是分布函数是右连续右连续的的; ; (5) P(X=x (5) P(X=xi i)=F(x)=F(xi i)-F(x)-F(xi i-0)-0) 0.3xF(x)110例例2.162.16 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质

41、点，以X表示质点坐表示质点坐标标。假定。假定质点落在质点落在0,1区间任一子区间内的概率与区间任一子区间内的概率与区间长成正比区间长成正比，求，求X的分布函数。的分布函数。解解 F(x)=P(Xx) 1, 110,0, 0)()(xxxxxXPxF)(xFx101当当x1时时, ,F(x)=1当当0 x1时时, ,kxxXPxF)0()(特别特别, ,F(1)=P(0 x1)=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观，用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？a ab b?bXap2.4 连续型随机变量1 1、

42、定义定义1 1 设设F(x)是是随机变量随机变量X的分布函数，的分布函数，若若存在非负可积函数存在非负可积函数f(x)，(- - x+ + )，使对一切使对一切实数实数x，均均有有xdttfxXPxF)()()(则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量，且称，且称f(x)为随机变量为随机变量X的的概率密度函数概率密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数。一、连续型随机变量及其概率密度函数一、连续型随机变量及其概率密度函数X连续型随机变量，则连续型随机变量，则X的分布函数必是连续函数。的分布函数必是连续函数。 (1) 非负性非负性 f(x) 0，(- - x+ )；1)(dxx

43、f2、密度函数的性质、密度函数的性质(2),( ,baRbabadxxfaFbFbXaP)()()()(3) 归一性归一性1)()()()(lim)(lim)(FFaFbFdxxfdxxfabbaab事实上事实上(4) 若若f(x)在在x处连续，则有处连续，则有( )= ( )F xf x(5) f(x)在在x0处连续，处连续，且且h充分小时充分小时, ,有有 hxfhxXxP)()(000hxfdxxfhxXxPhxx)()()(00000f(x)称称为概率密度的原由。为概率密度的原由。 hhxXxPxf)()(000 xxfdttfdxd)()(密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为ba

44、dttfbXaP)()(密度函数曲线位于密度函数曲线位于Ox轴上方。轴上方。即即 y=f(x)，x=a，x=b，x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形面积面积。对任意实数对任意实数c，若若X的密度函数为的密度函数为f(x),(-(- x+0的的指数分布指数分布。其分布函数为其分布函数为)( xfxO0, 00,1)(xxexFx2、指数分布、指数分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X X具有概率密度具有概率密度例例2.22.20 0 电子元件的寿命电子元件的寿命X( (年年) )服从参数为服从参数为3的指数分布的指数分布(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2年的概率年的概率；(2)

45、已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用年，求它还能使用2年的年的概率为多少？概率为多少？解解330( )00,xexf xx,3)2() 1 (623edxeXPx363.531.53(3.5,1.5)(2) (3.5|1.5)(1.5)3xxedxP XXP XXeP Xedx指数分布Forever Young(无记忆性)例例2.22.21 1 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设设00，tt时段内过桥的汽车数时段内过桥的汽车数Xt服从参数为服从参数为 t的的泊松分布，求泊松分布，求T的概率密度。的概率密度。解解)()(tTPtF

46、当当t0时，时，F(t)=0；当当t0时，时，F(t)=P(Tt)=1- -P(Tt)= =1- -P( (在在t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥) )= =1- -P(X=0)=1- -e- -t于是于是000)( )(ttetFtft注：通常概率密度不能直接求得注：通常概率密度不能直接求得时，先求分布函数。时，先求分布函数。正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。别重要的地位。3、正态分布正态分布ABA，B间真实距离为间真实距离为 ，测量值为，测量值

47、为X。X的概率密度应该是什么形态？则称则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态分布正态分布,记为记为XN( , 2)。若随机变量若随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为（其中（其中 ， 为实数，为实数， 0）f(x)的图像为的图像为22()21( ),(,)2xf xex (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称，即f( + +x)=f( - -x)，x(- -,+)21正态分布密度函数正态分布密度函数f(x)的图形特征的图形特征(2)x= 时，时， f(x)取得最大值取得最大值f( )= ； (3)x= 处有拐点；处有拐点；(4) 的大小直接影响概率的分

48、布，的大小直接影响概率的分布， 越大，曲线越越大，曲线越平坦平坦， 越小，曲线越陡峭越小，曲线越陡峭。（如图）。（如图）正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯( (Gauss)Gauss)分布分布(5)曲线曲线f(x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。易知易知，0)(xf1)(dxxfxydyedxedxxfyx22)(2222121)(222 ( 49)yedyP且且事实上，令事实上，令1)(dxxf正态分布随机变量正态分布随机变量X的分布函数为的分布函数为xtdtexF222)(21)(其图像为其图像为O xF(x)1 标准正态分布标准正态分布 当参数当参数 0， 21时，称随机变量时，称随机变

49、量X服从服从标准正标准正态分布，记作态分布，记作XN(0, 1)。.,21)(22xexx分布函数表示为分布函数表示为xdtexXPxxt,21)(22其其密度函数密度函数表示为表示为O x211(x)标准正态分布的密标准正态分布的密度函数与分布函数度函数与分布函数的图像分别为的图像分别为可得可得)()(xx1)()(xx对于标准正态分布的分布函数对于标准正态分布的分布函数(x)的函数值，书后附有的函数值，书后附有标准正态分布表标准正态分布表(P295)(P295)。表中给出了。表中给出了x0的函数值。当的函数值。当x up)=p,则称则称up为标准正态分布的为标准正态分布的p分分位点。位点。

50、标准正态分布表标准正态分布表Up O x )(xp例例2.22.24 4 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资甲公司要求投资2.82.8亿元，但预算外开支波动较大，设亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用实际费用XN(2.8,0.52)。乙公司要求投资乙公司要求投资3 3亿元，但预亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用算外开支波动较小，设实际费用YN(3,0.22)。现假定工现假定工程资方掌握资金程资方掌握资金(1)3亿元，亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较情况下，不至造成资

51、金赤字，选择哪家公司来承包较为合理？为合理？解解 （1）工程资方掌握资金）工程资方掌握资金3亿元。亿元。若委托甲公司承包若委托甲公司承包)4 . 0(5 . 08 . 23)3()3(FXP若委托乙公司承包若委托乙公司承包50. 0)0(2 . 033)3()3( FYP标准正态分布表标准正态分布表=0.6554(2)请自己完成。请自己完成。委托甲公司承包较为合理。委托甲公司承包较为合理。正态随机变量的正态随机变量的3 3 原则原则(P52)(P52)：设设X N( , 2)在工程应用中，通常认为在工程应用中，通常认为P|X|31，忽略忽略|X|3的值。的值。 如在质量控制中，常用标准指标值如

52、在质量控制中，常用标准指标值3 3 作两条线，当生产过程作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。6826. 01) 1 (21)(XPXP9544. 01)2(22)2(XPXP9974. 01)3(23)3(XPXP在一次试验中，正态分布的随机变量在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以落在以 为中心，为中心，3 3 为半为半径的区间径的区间( ( - -3 , +3 )内的概率相当大内的概率相当大(0.9973)，即，即X几乎必然几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，落在上述区间内，或者说在一般情

53、形下，X在一次试验中落在在一次试验中落在( ( - -3 , +3 )以外的概率可以忽略不计。以外的概率可以忽略不计。 例例2.252.25 一种电子元件的使用寿命一种电子元件的使用寿命（小时）服从正（小时）服从正态分布态分布(100,152), ,某仪器上装有某仪器上装有3个这种元件，三个个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时小时内无一元件损坏的概率内无一元件损坏的概率. .解解 设设Y为使用的最初为使用的最初90小时内损坏的元件数，小时内损坏的元件数，则则YB(3,p)2514. 0)67. 0(1510090)90(XPp

54、故故4195. 0)1 ()0(3pYP其中其中标准正态分布表标准正态分布表一、一、离散型随机变量的函数的分布律离散型随机变量的函数的分布律 2.5 2.5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 XP(Xxk)pk, k1, 2, 则当则当Yg(X)的所有取值为的所有取值为yj(j1, 2, )时，时，随机变量随机变量Y有有如下分布律如下分布律：P(Yyj)qj, j1, 2, 其中其中qj是所有满足是所有满足g(xi)= yj的的xi对应的对应的X的概率的概率P(Xxi)pi的和，即的和，即()()()ijjig xyP YyP Xx例例

55、2.26 2.26 设离散型随机变量设离散型随机变量X有如下分布律，试求随有如下分布律，试求随机变量机变量Y=(X- -3)2+1的分布律的分布律 X1357P0.50.1 0.15 0.25解解 Y的所有可能取值为的所有可能取值为1，5，171 . 0)3() 11)3() 1(2XPXPYP65. 015. 05 . 0)5() 1()51)3()5(2XPXPXPYP25. 0)7()171)3()17(2XPXPYP故，故，Y的分布律为的分布律为Y1517P0.10.650.25二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布1 1、一般方法、一般方法 设连续型随机变量设连

56、续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为fX(x)，(- - x+ ), , Y=g(X)为随机变量为随机变量X的函数，则的函数，则Y的分布函的分布函数数为为 FY (y) P(Y y)P(g(X) y) yxgdxxf)()(dyydFyfYY)()(从而从而Y的概率密度函数的概率密度函数fY (y)为为此法也叫此法也叫“ 分布函数法分布函数法”其其它它, 0, 10,2)(xxxfXX例例2.272.27 设随机变量设随机变量求求Y=3X+5的概率密度。的概率密度。解解 先求先求Y=3X+5的分布函数的分布函数FY(y)35()53()()(yXPyXPyYPyFY35)(yXdxxf. 8, 1, 85,)5(91, 5, 02yyyy35035022yyxxdx035y1350y135yY的概率密度函数为的概率密度函数为其其它它. ., 0, 85),5(92)()(yyyFdydyfYY例例2.28 2.28 设设X U(-1,1), ,求求Y= =X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。 2)(01121xxgyxxfX其其它它1( )2yYyFydxy其它其它01021)( )(yyyFyfYY当当y0时，时，0)(yFY当当0y1时时当当y1