光滑曲线的弧长

1、§1.3 光滑曲线的弧长一、 空间曲线的弧长计算公式设是一条光滑曲线。 点与分别是的起点和终点。问题是曲线的长度如何求出。解法如下：我们按照的定向，在上依次取个点 ， （1）它们把曲线分为个小弧段。用线段的长度作为弧段“弧长”的一个近似值。用直线段把相邻的分点连结起来，即得一条折线，它的长是 。并把条线段的长度之和作为的“弧长”的一个近似值。如果设点对应着参数值。那么 ， （2） 这说明曲线上的一个分割（1），导致了参数区间上的分割（2）；反之亦然。这时。利用微分中值定理，我们有其中由此可知， 把分割（2）记为。由于与都是上的连续函数，它们在上有界。所以存在一个常数，使，其中；由此可

2、得 。这表明，将参数区间无限加细时，将导致分割（1）把曲线无限加细。我们有，（3）当时，如果（3）的极限存在，那么取这个极限作为的弧长的定义是十分合理的。当时，（3）的右边是否有极限？因为虽然在内，但未必彼此相等。定理 8.1 设在上有连续的导函数，那么我们有 ，（4） 证明：设，由三角不等式，可知在上一致连续。因为在上连续，所以在上连续，所以在上可积；对分割，有，； 由三角不等式及在上一致连续，可得（），于是，成立 。这就是说，对于光滑曲线，可以定义的弧长为 ，或者用向量的记号 。平面曲线：的弧长 。 定理 设在上连续，在上连续，且，（）；对的任意分割，记，。任取，则有 。证明 取 ，则有，

3、由于一致连续和在上一致连续，可得（），于是，成立 。此定理的类似思想结果有用处。例 1. 求半径为的圆的周长。解：，。例 2. 求旋轮线（摆线）：,的一拱的弧长。解： ,，因此，旋轮线的一拱的弧长是 。二、 平面曲线弧长计算公式平面曲线：， 。（1） 曲线：， 。（2） 曲线： 所以。三光滑曲线弧长参数曲线方程的弧长参数表示 设曲线：，是一条光滑曲线。（即在上连续，且，。）考察参数的函数，它表示的是从曲线的起点沿着该曲线算到曲线上任一点这一段弧长。弧长微分， 。因为，所以是的严格递增的函数，因此可以将作为的函数反解出来，得到，这也是一个严格递增的函数。于是曲线可表示为，它是的向量值函数。所以，

4、我们可以把向量方程直接记为，这里参数是从某一点算起的一段弧的弧长。（此表示有很大的方便好处和实际意义。 例如设置在一条道路上的一个个里程碑牌子，方便于各种使用，例如报告在道路上的位置；卷尺子上的刻度，把一个软尺任意弯曲，构成一条曲线，此曲线自带弧长参数。在一条曲线上刻上刻度或附上有刻度的软绳线，就得自然参数表示了。）设曲线：（）是一条光滑曲线，这里参数是弧长参数。我们把称为曲线的自然参数。此时，显然有，于是，从而，即得切向量是单位向量。 对曲线方程的一般参数形式，；设是，这一段的弧长，则有 ，。例4 考虑圆的参数方程,。由于，所以有弧长参数表示，。显然 ，。例，；与，。表示同一条曲线， 此曲线

5、的弧长参数表示为， 。曲线弧长计算举例例 1.试求的弧长.解 的定义域为,对函数求导,得,故弧长 .例3. 求阿基米德螺线,最初一圈的弧长.解 .例4.试求曲线的弧长.解 由确定的变化范围,解不等式,得, 于是. 例5. 试证:曲线的弧长等于椭圆的周长. 证明: , 椭圆的参数方程为 ,;,故有 . 例6 求双曲螺线 从计算起的弧长。其中 ， 。解 ，从计算起的弧长为 。证明：内切于一给定正方形的所有椭圆中，以圆的周长为最大.证明：根据题设条件可知，内切椭圆的两个轴一定分别在正方形的两条对角线上.设正方形的边长为。以正方形的中心为坐标原点，两对角线分别为轴轴，建立直角坐标系。设椭圆的方程为，正方形一条边所在的直线