函数模型及其应用

1、函数模型及其应用一、构建函数模型的基本步骤：1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为，函数为，必要时引入其他相关辅助变量，并用、和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即所谓的数学模型；3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果；4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。二、常见函数模型：1、一次函数模型；2、二次函数模型；3、分段函数模型；4、指数函数模型；5、对数函数模型；6、对勾函数模型；7、分式函数模型。题型1：一次函数模型因一次函数（）的图象是一条直线，因而该模型又称为直线模型

2、，当时，函数值的增长特点是直线上升；当时，函数值则是直线下降。例1：某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器台和台。现销售给A地台，B地台。已知从甲地到A地、B地的运费分别是元和元，从乙地到A地、B地的运费分别是元和元，（1）设从乙地运台至A地，求总运费关于的函数解析式；（2）若总运费不超过元，共有几种调运方案；（3）求出总运费最低的方案和最低运费。题型2：二次函数模型二次函数（）为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。例2：渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当

3、的空闲量，已知鱼群的年增长量吨和实际养殖量吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为。（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求的取值范围。例3：某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？练习：某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐

4、月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）。题型3：分式函数模型求得的函数解析式中，分母含有自变量时，此类函数称为分式函数模型，由于分式函数的特征不是很明显，因而在过程中要注意转化。例4：某地区上年度电价为元，年

5、用电量为，本年度计划将电价降到元至元之间，而用户期望电价为元经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为）。该地区电力的成本为元。（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价的函数关系式；（2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？（注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价）练习：某地上年度电价为0.8元，年用量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55元0.75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量(亿度)与元成反比例，又当元时，（1）求与之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价为0.3，则电价调至多少时，本年度

6、电力部门的收益将比上年度增加20%？收益=用电量(实际电价成本价)题型4：分段函数模型在不同的背景前提下，两个变量之间的关系不一样时，需要我们针对自变量的范围进行分类，求得各种不同情况下的两个变量之间的关系即为分段函数，分段函数易将数学问题最优化。例5：某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.8元；当用水超过4吨时，超过部分每吨3元。某月甲、乙两户共交水费元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为和。（1）求关于的函数解析式；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，请分别求出甲乙两户该月的用水量和水费。练习：1、“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得

7、税是分段计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1000元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为全月总收入1000元，税率见下表：级数全月应纳税所得额税率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%45%9超过100000元部分（1）若应纳税额为，试用分段函数表示13级纳税额的计算公式.（2）某人2000年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？2、某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测知

8、，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）.（1）若该公司的年产量为（单位：百件）时，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量的函数.（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？题型5：指数函数模型形如（且，且）的函数模型称为指数函数模型，当时，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，我们常称为“指数爆炸”。例6：某电器公司生产型电脑，2006年这种电脑每台平均生产成本为5000元，并以纯利润确定出厂价，从2007年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低，到2010年，尽管型电脑出

9、厂价仅是2006年出厂价的，但却实现了纯利润的高效益。（1）求2010年每台型电脑的生产成本；（2）以2006年的生产成本为基数，求2006-2010年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01，以下数据可供参考：，）练习：1、某城市现有人口100万，如果20年后该城市人口总数不超过120万，年自然增长率应控制在多少以内？2、某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：）3、根据总的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从2000年到2020年间要翻两番，问这20年间，年平均增长率至

10、少要多少，才能完成这一阶段构想？4、按复利计算利率的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？题型6：对数函数模型自变量出现在对数函数模型中，当对数的底数时，其增长特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，我们称之为“蜗牛式增长”，由于对数函数与指数函数互为反函数，因而对数函数模型其实是建立在指数函数模型的基础上。题型7：对勾函数模型形如（）的函数模型，其图像的形状在第一象限犹如“”，利用奇函数图象的对称性，我们称之为“对勾”，在现实生活中有着广泛的应用，就目

11、前而言，常利用该函数的单调性来解决函数模型。例7：某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为（）层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，）课后作业1、某商场将空调先按原价提高40%，然后打出广告“大酬宾八折优惠”，结果每台空调比原来多赚了270元，则原来每台空调为_元。2、手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低，则现价为2560元的手机，两年后的价格为（）A.900元B.810元C.1440元D.160元3、某工

12、厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每成产一单位产品，成本增加10万元。又知总收入是单位产品数的函数：，则总利润的最大值为_。4、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）。若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为_。A.万元B.万元C.万元D.万元5、某人2000年7月1日存入一年期款元（年利率为，且到期自动转存），则到2007年7月1日本利全部取出可得（）A元B元C元D元6、某产品进货单价40元，按50元一个出售可卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个。（1）定价元时，日销售额最大为。（2）定价元时，日利润最大为。7、一种放射性元素，最初的质量为，按每年的速度衰减，则它的质量衰减到一半所需要的年数为（精确到，）8、一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没有注水部分与总量的比随时间（小量）变化的关系式为_。9、某自来水厂的蓄水池中有吨水，每天