制动器试验台的控制方法分析

1、2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则

2、的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：华南理工大学参赛队员(打印并签名) ：1.刘军 2.张伟罡 3.张雄锋指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：2013年 8月27日

3、赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：制动器试验台的控制方法分析摘 要：本文研究制动器试验台的控制方法。在试验台上测试制动器与路试不同，需要电动机补偿由于机械惯量不足而缺少的能量（或抵消机械惯量过大而多余的能量）。控制方法的关键在于，依据所观测到的数据（瞬时转速与瞬时扭矩），确定驱动电动机的电流值，从而实现对制动器的模拟实验。关于问题一，基于车辆平动动能应该等于

4、试验台上飞轮和主轴等机构的转动动能的原则，推导出等效转动惯量的表达式，求得等效转动惯量为。关于问题二，根据物理上转动惯量的定义，使用微元法积分求解不同飞轮的转动惯量，求得三个飞轮的转动惯量分别为、，可以组合成,这八种机械惯量，在依据电动机补偿能量的范围，求得电动机补偿的惯量为或。关于问题三，根据物理上扭矩与角加速度、转动惯量的关系，建立补偿扭矩与可观测量的关系，再计算出补偿电流。当补偿的电惯量为时候，电流为174.8A，当补偿的电惯量为时候，电流为-261.9A。关于问题四，基于能量误差的大小来评价控制方法的优劣，通过始末状态计算得到能量相对误差为6.88052%，通过离散区间计算得到能量相对

5、误差为2.50600%。关于问题五，我们根据前面时间段观测到的瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，直到制动结束，对试验台进行控制，计算出能量相对误差为。关于问题六，基于问题五的控制方法，最大化地减小误差的积累效应，从而设计出更加完善的控制方法，计算出能量相对误差为。关键词：制动器试验台 等效惯量 补偿 能量误差一、 问题重述汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，为了检测制动器的综合性能，需要在各种

6、不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。一般假设试验台采用的电动机的

7、驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。现在要求你们解答以

8、下问题：1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为6230N，求等效的转动惯量。2. 飞轮组由3个外直径1m、内直径0.2m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392m、0.0784m、0.1568m，钢材密度为7810，基础惯量为10，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量

9、为，机械惯量为，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。二、 问题分析对于问题一，等效转动惯量是指车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)。由于

10、在实验中飞轮惯量与之和与基础惯量组成的机械惯量不足而缺少的能量，就需要电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。计算等效惯量的方法，为保证是“等效”的转化，必须遵守以下原则：动能相等原则转化件的等效转动惯量所具有的动能应与原机械的总动能相等，即 ，我们通过动能相等来计算等效惯量。对于问题二，飞轮组的机械惯量与电动机补偿的惯量计算方法按照问题一中的方法计算。对于问题三，通过建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型利用相关数据来计算驱动电流。我们通过对运动控制系统的分析建立电动机驱动电流的电惯量系统的运动方程与原系统的运动方程，以及题目中所给

11、出的驱动电流与扭矩的比例关系来建立数学模型。通过数学模型带入数据来计算驱动电流。对于问题四，已知某种控制方法试验得到的数据，对该方法执行的结果进行评价, 评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。我们通过建立试验台制动器消耗的能量与路试消耗的能量之差的数学模型来进行评估。具体而言，制动器无论是在路试还是在实验台上制动，一个完整的过程中制动扭矩的变化是一样的。因此，可以利用模拟实验得到的数据，计算出理想情况下路试的转速，继而通过始末状态

12、计算能量差（或者在离散区间上计算能量差），最终求解出能量误差。对于问题五，按照问题三导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法。对于问题六，通过分析数据发现，使用问题五给出的控制方法进行制动，误差已经非常小了，而要进一步设计出误差更小的控制方法，核心是基于问题五的控制方法，最大化地减小误差的积累效应，从而设计出更加完善的控制方法。三、符号说明 - 汽车轮胎质量（单位：） - 路试汽车平动速度（单位：） - 等效惯量（单位：） - 飞轮的转动惯量（单位：） - 基础惯量（单位：） - 机械惯量（单位：） - 电惯量（单位：） - 主轴角

13、速度（单位：） - 主轴角加速度（单位：） - 主轴初角速度（单位：） - 主轴末角速度（单位：） - 试验台主轴转速（单位：） - 主轴初转速（单位：） - 主轴末转速（单位：） - 扭矩（单位：） - 发动机输出扭矩（单位：） - 制动扭矩（单位：） - 电扭矩（单位：） - 补偿电流（单位:） - 能量（单位：） - 能量相对误差（单位：%）t 时间（单位：） 初时刻（单位：） 末时刻（单位：）四、模型假设1、飞轮转动的角速度与主轴始终保持一致2、在路试时与试验台上制动扭矩相同3、不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差五、模型的建立与求解分析5.1求解问题一 为保证是“等效

14、”的转化，必须遵守以下原则：动能相等原则,转化件的等效转动惯量所具有的动能应与原机械的总动能相等。 按动能相等的原则，列出转化件与一般机械的动能等式载荷为6230N的汽车的平动动能为： （1）因此，若将其等效为转动动能，则有： （2）解得等效转动惯量： （3）5.2 求解问题二下面推导环柱体关于对称轴的转动惯量公式。 （4）其中a为环柱体的内半径，b为环柱体的外半径，h为环柱体的高，为环柱体的密度。将问题二所给的数据一一带入，可以得到各个飞轮的转动惯量分别为：因此，可以组成的机械惯量为：,这八种。问题1中所需要的转动惯量为，因此可以选择的机械惯量配合的电惯量，或者是的机械惯量配合的电惯量。5.

15、3 求解问题三 当发动机驱动的时，汽车其他部分是它的负载，用电惯量进行模拟加载时，要求电惯量的速度与真实汽车的有耐性曲线一致，当两个系统的速度与加速度都一致的时，说明电惯量测试系统可以取代机械惯量测试系统。由制动器试验台的工作原理1我们可以得到如下的方程：原系统的运动方程： （5）电惯量系统的运动方程 （6）由于在制动的过程中，发动机已经停止运行了，因此没有输出扭矩，也就是说：为0.因此上面的公式变成为： （7） （8）根据前面的分析要求两个系统等效式中必须一致，由以上两个公式我们可以得到,由以上两个公式我们可以得到： （9）或 （10）又电流跟电扭矩的关系为： （11）其中k为比例系数，在这

16、里由于假设飞轮做匀减速转动，因此： （12）所以当补偿的电惯量为12时候，电流为： （13）当补偿的电惯量为-18的时候，电流为： （14）5.4 求解问题四5.4.1 模型一（通过始末状态求解能量误差）通过查阅相关资料2了解到，制动器试验台在模拟制动过程中测量的扭矩为制动扭矩。能量变化与扭矩、角速度以及时间的关系为： （15）那么，在模拟制动过程中，连续的时间离散化，制动扭矩对应的能量变化满足： （16）依据附表的数据，带入公式，直接在Excel 2012中计算得到结果为：在路试过程中，制动器的能量变化应该为： （17） （18）5.4.2 模型二（通过离散区间求解能量误差）制动器无论是在路

17、试过程中还是在实验台上制动，一个完整的过程中制动扭矩的变化是一样的，因此： （19）角速度与转速的关系为： （20）根据式(19）和（20）计算得到理想情况下路试转速的情况如下图：图 5-4-1 路试理想角速度与实验角速度对比图在每一个离散的区间内有： （21） （22） （23） （24）那么总的能量相对误差为： （25）5.5 求解问题五现在按照问题三导出的数学模型，根据前一个时间段观测到的瞬时扭矩，设计本时间段电流值，直到制动结束。根据式(19)可得： （26）求解在该控制方法下模拟的角速度的值，其中，需要根据前一个时间段观测到的瞬时扭矩来计算，根据式(10)可得： （27）再依据式(1

18、1)计算出电流值。这样，就实现了通过前一个时间段制动扭矩设计本时段电流值。电流随时间变化的情况见下图：图 5-5-1 补偿电流随时间变化图那么在这种控制方法下，总的能量相对误差为： （28）这说明，通过前一个时间段制动扭矩设计本时段电流值的方法对试验台进行控制，模拟的误差非常小。5.6 求解问题六5.6.1 分析问题五给出的控制方法的不足进一步分析问题五给出的控制方法，我们引入实时能量误差的概念，分别计算每一个离散区间的能量误差。在t时刻的实时能量误差表达式为： （29）通过计算，得到实时能量误差随时间的变化图像：图 5-6-1 实时能量误差随时间变化图分析图像发现，在离散区间内，实时能量误差

19、先增大，到达一定时间后开始震荡。这说明，问题五给出的方法有一定的不足。因为问题五给出的控制方法是利用前一时间段的观测数据计算出本时间段的电流从而实现控制，这一过程本来就存在误差。随着制动的进行，这个误差会不断积累，正如图5-6-1所示，一开始，在离散的区间内能量误差很小，随着制动的进行，在离散的区间内能量误差开始增大。5.6.2重新设计控制方法5.重新设计控制方法的基本思路通过分析数据发现，使用问题五给出的控制方法进行制动，误差已经非常小了，而要进一步设计出误差更小的控制方法，核心是基于问题五的控制方法，最大化地减小误差的积累效应，从而设计出更加完善的控制方法。5.6.2.2 分析制动扭矩的变化由于计算电扭矩的大小非常关键，而依据又是制动扭矩，因此，分析制动扭矩的变化至关重要。根据数据画出制动扭矩随时间的变化图如下：图 5-6-2 制动扭矩随时间变化图我们发现制动扭矩随时间变化的图像与实时能量误差随时间变化的图像非常类似，都是先增大，后震荡。5.6.2.3更加完善的控制方法根据制动这种特性，我们可以