机械工程控制基础(第四章系统的频率特性)Rev23end

1、第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析机械工程控制基础机械工程控制基础Email：Tel:讲：陈林林主讲：陈林林聊城大学机械与汽车工程学院聊城大学机械与汽车工程学院第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析目录一、频率特性概述一、频率特性概述二、频率特性的图示方法二、频率特性的图示方法三、三、频率特性的特征量频率特性的特征量 四、最小相位系统与非最小相位系统四、最小相位系统与非最小相位系统 六、设计实例：数控直线运动工作台位置控制系统六、设计实例：数控直线运动工作台位置控制系统五、利用五、利用MATLABMATLAB分析频率特性分析频率特性第四章第

2、四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析学习重点学习重点v 理解频率特性的基本概念，掌握其不同的表示方理解频率特性的基本概念，掌握其不同的表示方法；法；v 掌握典型环节的频率特性，熟练掌握系统频率特掌握典型环节的频率特性，熟练掌握系统频率特性的伯德图和奈氏图的绘制方法；性的伯德图和奈氏图的绘制方法；（重点掌握）（重点掌握） v 了解闭环系统频率特性及其和系统暂态特性的关了解闭环系统频率特性及其和系统暂态特性的关系。系。v 建立开环频率特性和系统性能指标之间的对应关建立开环频率特性和系统性能指标之间的对应关系，能够定性地分析系统的性能。系，能够定性地分析系统的性能。 第四章第四章 系统的频率特

3、性分析系统的频率特性分析引言引言 时间响应分析是根据系统的微分方程，以拉时间响应分析是根据系统的微分方程，以拉氏变换为数学工具，直接解出系统的时间响应，氏变换为数学工具，直接解出系统的时间响应，然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的性能，较为直观。但具有如下缺陷：的性能，较为直观。但具有如下缺陷：1 1、 时域分析的缺陷时域分析的缺陷 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 高阶系统的分析难以进行；高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；响； 当系统某些元件的传递函

4、数难以列写时，整个系当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行；统的分析工作将无法进行； 物理意义欠缺。物理意义欠缺。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析2 2、频域分析的优点、频域分析的优点 频率特性分析法是二十世纪三十年代发展起来的一频率特性分析法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法种经典工程实用方法, ,是一种利用是一种利用频率特性频率特性进行控制系统进行控制系统分析的分析的图解方法图解方法, ,可方便地用于控制工程中的系统分析与可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点优

5、点： 无需求解微分方程，无需求解微分方程，采用较为简单的采用较为简单的图解方法图解方法( (频率特频率特性图性图) )就可研究系统的稳定性就可研究系统的稳定性, ,间接揭示系统性能并指明间接揭示系统性能并指明改进性能的方向。由于频率响应法主要通过改进性能的方向。由于频率响应法主要通过开环频率特开环频率特性性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。少的特点。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 易于实验分析。易于实验分析。频率特性频率特性具有明确的物理意义具有明确的物理意义，它可以它可以用实验的方法来确定用实验的方法来确

6、定，这对于难以列写微分方，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 可推广应用于某些可推广应用于某些非线性系统非线性系统。频率响应法不仅频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含含有延迟环节的有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。系统和部分非线性系统的分析。 用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声的系统。声的系统。 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 频率特性分析是频率特性分析是经典控制理论经典控制理论中

7、研究与分析系统中研究与分析系统特性的主要方法。利用此方法特性的主要方法。利用此方法, ,将传递函数从将传递函数从复域复域引引到具有明确物理概念的到具有明确物理概念的频域频域来分析系统的特性来分析系统的特性, ,是极是极为有效的。为有效的。 频率特性分析可建立起系统的时间响应与其频谱频率特性分析可建立起系统的时间响应与其频谱以及单位脉冲响应与频率特性之间的直接关系，而且以及单位脉冲响应与频率特性之间的直接关系，而且可沟通在时域与在频域对系统的研究与分析。可沟通在时域与在频域对系统的研究与分析。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析p频域分析法：频域分析法：是一种是一种图解分析方法图解

8、分析方法，它依据系统的，它依据系统的又一种数学模型又一种数学模型频率特性频率特性，不必求解系统的微分，不必求解系统的微分方程就可以根据系统的开环频率特性分析闭环系统方程就可以根据系统的开环频率特性分析闭环系统的性能，并能方便的分析系统中的各参数对系统性的性能，并能方便的分析系统中的各参数对系统性能的影响，指明改进系统性能的途径。能的影响，指明改进系统性能的途径。是一种工程是一种工程上另一种广泛应用的方法上另一种广泛应用的方法。p研究的问题研究的问题仍然是系统的稳定性、瞬态性能、稳态仍然是系统的稳定性、瞬态性能、稳态性能。性能。时域分析时域分析：重点研究：重点研究过渡过程过渡过程，通过阶跃或脉冲

9、输入下，通过阶跃或脉冲输入下 的系统的系统瞬态时间响应瞬态时间响应来研究系统的性能。来研究系统的性能。频域分析频域分析：通过系统在不同频率：通过系统在不同频率的谐波（的谐波（正弦正弦）输入）输入 作用下的系统的作用下的系统的稳态响应稳态响应来研究系统的性能。来研究系统的性能。 为基本输入信号变量但在时域分析中：独立tt1, sin 为基本输入信号，变量而在频域分析中：独立t 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析一种工程上广为采用的分析和综合系统的方法: 系统的稳定性、快速性、准确性。在时域分析中：独立变量t，1(t) 为基本输入信号在频域分析中：独立变量，sint 为基本输入信号

10、: 又一种数学模型频率特性频率特性。: 通过系统的频率特性，用图解的方 法间接地分析闭环闭环系统的性能。：它不仅可通过解析的方 法得出，也可通过实验的方法得出（对稳定系统），因此工程上获得广泛应用。总结总结 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析、频率特性概述、频率特性概述 频率响应频率响应 1 1、频率响应与频率特性的概念、频率响应与频率特性的概念0 tuiRC tui tuo 22iissUtsintu 1Ts11RCs1sG 22os1Ts1sU 实例：RC滤波网络 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 22iissUtsintu 1Ts11RCs1sG 22o

11、s1Ts1sU 123221( )11occcU sTssjsjssT求出待定系数，拉氏逆变换、整理后有：求出待定系数，拉氏逆变换、整理后有： 122221( )sin(arctan)11tToTU tetTTT瞬态响应，随时间增加会衰减为瞬态响应，随时间增加会衰减为0稳态响应稳态响应第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 21sin1outarctg TT tsinA 定义：系统对谐波（正弦）输入的稳态响应称为定义：系统对谐波（正弦）输入的稳态响应称为频频率响应率响应。0 tuiRC tui tuo tuo第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析推广到一般的线性定常系统

12、：推广到一般的线性定常系统： iXs oXs sG sinoixtX At siniixtXt0t oXiX 线性定常系统对谐波输入的稳态响应（频率响应）为同频率的谐波函数。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析结论：结论：一个稳定的线性定常系统，输入正弦信号一个稳定的线性定常系统，输入正弦信号时，输出的稳态值也是时，输出的稳态值也是同频同频正弦信号，正弦信号，但幅值和但幅值和相角发生了变化，其变化取决于相角发生了变化，其变化取决于，并且并且输出信输出信号的振幅和相位均为输入信号频率的函数号的振幅和相位均为输入信号频率的函数。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析设系统

13、的传递函数为设系统的传递函数为 1TsKsG若输入信号为：若输入信号为： 即即 tXtxii sin 22 sXsXii 221ioiXKXsG s XsTss则则再进行再进行Laplace逆变换并整理，得逆变换并整理，得 TtTKXeTKTXtxiioTtarctansin112222第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 TtTKXtxioarctansin122与输入的幅值成正比线性定常系统对谐波输入的稳态响应线性定常系统对谐波输入的稳态响应( (频率响应频率响应) )为同频率的谐波函数为同频率的谐波函数. .与输入同频率22( )1ioX KXT( )arctanT 由此可

14、知，它是与输入同频率的谐波信号由此可知，它是与输入同频率的谐波信号，相位，相位显然，频率响应只是时间响应的一个特例。显然，频率响应只是时间响应的一个特例。幅值幅值可知此式中可知此式中 即为由输入引起的响应。其中，右边第一项是瞬态即为由输入引起的响应。其中，右边第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。分量，第二项是稳态分量。-1/T为为G(s)的极点或系统微分方程的特征的极点或系统微分方程的特征根根si，因，因si为负值，所以系统是为负值，所以系统是稳定稳定的，故随着时间的推移，即的，故随着时间的推移，即t时，时，瞬态分量迅速衰减至零，系统的输出瞬态分量迅速衰减至零，系统的输出 即为稳态分量，所以系

15、统的即为稳态分量，所以系统的稳态响应为稳态响应为( )ox t( )ox t（4.1.2） 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 频率特性频率特性 tXtxii sin TtTKXtxioarctansin12222( )1ioX KXT( )arctanT ，相位，相位幅值幅值( )( )oiXAX对例题对例题1它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值的衰减或增大特性。显然值的衰减或增大特性。显然 线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输

16、入信号的频率是输入信号的频率 的函数，称为系统的的函数，称为系统的幅频特性幅频特性，记为，记为 ， ( )A第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 稳态输出信号与输入信号的相位差稳态输出信号与输入信号的相位差 （或称相移）也（或称相移）也是是 的函的函数数, , 称为系统的称为系统的相频特性相频特性, , 它描述了在稳态情况它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频下，当系统输入不同频率的谐波信号时率的谐波信号时, , 其相位产生超前其相位产生超前 0 0或滞后或滞后 0 0的特性。的特性。 规定按规定按逆时针方向逆时针方向旋转为旋转为正值正值，按，按顺时针方向顺时针方向旋转为旋转为负

17、负值值。对于物理系统，相位一般是滞后的，即。对于物理系统，相位一般是滞后的，即 一般是一般是负值。负值。( ) ( ) ( ) ( ) ( )A( ) 幅频特性幅频特性和相频特性和相频特性总称为系统的总称为系统的频率特性频率特性，记作记作( )( )( )( ) jG jAAe第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析注意注意：频率特性：频率特性定义为定义为 的复变函数的复变函数，其幅值为其幅值为 ，相位为相位为 。( )A( ) 频率特性频率特性：当系统输入各个不同频率的正弦信号时，：当系统输入各个不同频率的正弦信号时，其稳态输出与输入的其稳态输出与输入的复数比复数比称为系统的频率特

18、性函数，称为系统的频率特性函数，简称系统的频率特性，记为简称系统的频率特性，记为G G(j(j ) ) 。设输入系统的正弦函数为设输入系统的正弦函数为)sin()(tXtxii 用用复数表示复数表示为：为：tjeXtxii )(第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析对于稳定的线性系统，各频率下其输出的稳态值为：对于稳定的线性系统，各频率下其输出的稳态值为：)(sin()( tXtxoo 用用复数表示复数表示为：为：)()()( tjeXtxoo 由定义：由定义：tjeXtjeXjGio )()()( ( )()( )( )( )jG jAeA 对于线性系统可写为：对于线性系统可写为

19、：第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析)( jG可见，系统的频率特性可见，系统的频率特性 是一个是一个复数复数 ，是，是频率的函数频率的函数。 )()()()( jGjGA相频特性相频特性幅频特性幅频特性第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 正弦输入时，系统的稳态输出量与输入量复数之比叫做系统的频率特性，包括幅频特性和相频特性。 频率特性频率特性()()( )()()()joiXjG jAeG jG jXj 输出的复数形式输入的复数形式幅频特性幅频特性相频特性相频特性 A()：稳态输出与输入的幅值比 ()：稳态输出与输入的相位差的非线性函数（揭示了系统的频率响应特性

20、）总结总结 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输人信号的幅值之比随输入频率的变比而变化的特性称为幅频特性幅频特性，它描述了系统对输入信号幅值的放大、衰减特性。 系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相位之差随输入频率的变化而变化的特性称为相频特性相频特性，它描述了系统输出信号相位对输入信号相位的超前、滞后特性。 幅频特性幅频特性相频特性相频特性第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析2 2、频率特性与传递函数之间的关系、频率特性与传递函数之间的关系设系统的传递函数为：设系统的传递函数为： 01110111asasasabsbsbs

21、bsXsXsGnnnnmmmmio输入信号及其输入信号及其LaplaceLaplace变换为：变换为： tXtxii sin 22 sXsXii 220111011 sXasasasabsbsbsbsXsGsXinnnnsmmmmio（4.1.4） （4.1.5） （4.1.6） 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析则有：则有： jsBjsBssAsXniiio1故故: : nitjtjtsioeBBeeAtxi1 对稳定系统，系统的稳态响应为：对稳定系统，系统的稳态响应为： tjtjoeBBetx jXejGjXjGjsXsGjsjsjsXsGBijGjijsijsi22 jX

22、ejGjXjGBijGji22 其中：其中： t若若系统稳定系统稳定，第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 jGtXjGjeeXjGtxijGtjjGtjiosin2（4.1.10） 根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：()Re ()Im ()( )( )G jG jG jujv式中，式中，( )u是频率特性的实部，称为是频率特性的实部，称为实频特性实频特性( )v是频率特性的虚部，称为是频率特性的虚部，称为虚频特性虚频特性（4.1.12） （4.1.11） ( )( )()( )()oiXAG jXG

23、j ()()()j G jG jG je( )G sj故故就是系统的频率特性，它是将就是系统的频率特性，它是将中的中的s用用取代后的结果，是取代后的结果，是 的复变函数。的复变函数。sin2jeejj第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 几点说明几点说明 q 频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。了系统的固有特性。 q 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递尽管频率特性是一种稳态响应

24、，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。系统动态过程的规律性也全寓于其中。 q 应用频率特性分析系统性能的应用频率特性分析系统性能的基本思路基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在

25、任意周期信号或非周期信号作用下号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。的运动情况。 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析q 频率特性的物理意义频率特性的物理意义：频率特性表征了系：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；q ( ( ) )大于零时称为大于零时称为相角超前相角超前，小于零时称，小于零时称 为为相角滞后相角滞后。t tx x( (t t), ), y y1 1( (t t), ), y y2 2( (t t) )x x( (t t) )y y1 1( (t t) )y y2 2( (t t)

26、 )0 0 1 1( ( ) ) 2 2( ( ) )第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析3 3、频率特性的求法、频率特性的求法 根据系统的频率响应来求取根据系统的频率响应来求取22)(sXsXii)()(2210sXsGLtxi从稳态响应中可得到频率响应的幅值和相位。从稳态响应中可得到频率响应的幅值和相位。 )arctansin(1)(22TtTKXtxio例例 221)()(TKXXAioTarctan)(第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 将传递函数中的将传递函数中的s 换为换为j（s=j）来求取）来求取系统的频率特性。因此，系统的频率特性。因此，G(j)也

27、称为也称为谐波传递函数谐波传递函数TjjseTKjTKsGjGarctan2211)()(221)()(TKXXAioTarctan)()arctansin(1)(sin)()(22TtTKXjGtjGXtxiio第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析补充： 频率特性的求取方法注意复数的运算：注意复数的运算： 两个复数积或商的模等于两个复数的模的积或商； 两个复数积或商的相位相位等于两个复数的相位的和或差。实频特性虚频特性 jV0jG U A jG第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 用试验方法求取用试验方法求取 这是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。根

28、据这是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。根据频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号 的频率的频率 ，并测出，并测出与此相应的输出幅值与此相应的输出幅值 与相移与相移 。然后，作出幅值比。然后，作出幅值比 对频率对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位 对频率对频率 的函数曲线，此即相频特性曲线。的函数曲线，此即相频特性曲线。 j tiX e( )oX( ) ( )/oiXX( ) 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 在系统的输入端加入一定幅值的正弦信号，稳定后系统的输出也是正弦信号，

29、记录不同频率的输入、输出的幅值和相位，即可求得系统的频率特性。正弦函数发生器iu被测系统0 tui tuo显示记录仪器Ou第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析由上可知，由上可知，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以用频率特性来描述。以用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图它们之间的相互关系如图4.1.24.1.2所示。将所示。将微分方程的微分算子微分方程的微分算子 换成换成s s后，由此方程就可获得传递函数；后，由此方程就可获得传递函数；而将传递函数中的而将传递函数中的s s再换成再换成 ，传递函数就变成了频率特性；，传递函

30、数就变成了频率特性；反之亦然。反之亦然。 ddtj第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析系统系统传递函数传递函数频率特性频率特性微分方程微分方程ssddtddtjj图4.1.2 系统的微分方程、传递函数和频率特性相互转换关系图jXjXjGio jssGjG )()( oiXsG sXs第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析传递函数和频率特性为TjjGTssG11)(,11)(幅频特性 221111)()(TTjjGATTjjGarctan11)()(相频特性 若输入为: tAtxiisin)()(sin()()(tjGAtxio则稳态输出为: 第四章第四章 系统的频率特

31、性分析系统的频率特性分析 频率特性的物理意义表明系统跟踪、复现不同频率 信号的能力。当频率低时，系统 能正确响应、跟踪、复现输入信 号；当频率高时，系统输出幅值 衰减近似为0，相位严重滞后， 系统不能跟踪、复现输入。 系统的频率特性随频率而变化的根本原因：系统有蓄能 元件、有惯性，对频率高的输入，系统来不及响应。系统的频率特性是系统的固有特性，取决于系统结构 和参数。时间常数一旦确定，频率特性随之而定，幅频 特性、相频特性也就确定，时间常数越大，系统能跟踪 复现的信号的频率越低。控制系统具有低通滤波器特性第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析4 4、频率特性表示方法、频率特性表示方

32、法 极坐标图（极坐标图（NyquistNyquist图）图）对数坐标图（对数坐标图（BodeBode图）图）对数幅相特性图（对数幅相特性图（NicholsNichols图图） 数学式表达方法数学式表达方法 图形表示方法图形表示方法第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析虚频特性虚频特性 数学式表达方式数学式表达方式1 1）直角坐标）直角坐标( (代数代数) )表达式（表达式（实频实频- -虚频虚频）101101( )mmmnnnb sbsbG sa sa sa设系统或环节的传递函数为设系统或环节的传递函数为令令s=js=j，可得系统或环节的频率特性，可得系统或环节的频率特性 1011

33、01()()()( )( )()()mmmnnnbjb jbG jUjVajajaU(U() )是频率特性的实部，称为实频特性，是频率特性的实部，称为实频特性， V()V()为频率特性的虚部，称为虚频特性。为频率特性的虚部，称为虚频特性。 其中：其中：实频特性实频特性第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析幅频特性幅频特性相频特性相频特性2 2）指数表达式（）指数表达式（幅频幅频- -相频相频） ojiXjG jAeXj oiXjA =Xj jXjXio A(A() )为复数频率特性的模或幅值，即幅频特性为复数频率特性的模或幅值，即幅频特性 ()()为复数频率特性的辐角或相位，即相频

34、特性为复数频率特性的辐角或相位，即相频特性其中：其中：第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 jV0 jG U A G j UVjGVUjGAarctan22 U =ReG j =A()cosV =ImG j =A()sin代数形式与指数形式之间的关系：代数形式与指数形式之间的关系：第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析( (1 1) ) 极坐标图（极坐标图（NyquistNyquist图）图） 图形表示方法图形表示方法jV ()U ()G (j1)G (j2)第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析（2 2）对数坐标图（）对数坐标图（BodeBode图）图）

35、对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。 22()()()( )( )( )jjG jUVeAe 对上式两边取对数，得对上式两边取对数，得 ( )lg()lg ( )lg ( )( )lglg ( )0.434 ( )jG jAeAjeAj 一般不考虑一般不考虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。这个系数，而只用相角位移本身。 ( )20lg( )( )( )LAdBrad ， 或通常将对数幅频特性绘在以通常将对数幅频特性绘在以1010为底的半对数坐标中，为底的半对数坐标中，对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性第四章第四章 系统的频率

36、特性分析系统的频率特性分析系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。对系统的单位脉冲响应函数进行Fourier变换，是求取频率特性的又一方法。频率特性分析则将通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应，以获得系统的动态特性。根据频率特性，可以较方便地判别系统的稳定性和稳定性储备，并可通过频率特性进行参数选择或对系统进行校正，选择系统工作的频率范围，或者根据系统工作的频率范围，设计具有合适的频率特性的系统，使系统尽可能达到预期的性能指标。若系统在输入信号的同时，在某些频带中带有严重的噪声干扰，则对系统采用频率特性分析法可设

37、计出合适的通频带，以抑制噪声的影响。第第1 1第第2 2第第3 3第第4 45 5、频率特性的特点和作用、频率特性的特点和作用 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析I1II2345频率响应与频率特性频率响应与频率特性频率特性与传递函数的关系频率特性与传递函数的关系 频率特性的求法频率特性的求法 频率特性的表示方法频率特性的表示方法频率特性的特点和作用频率特性的特点和作用知识内容小结知识内容小结重点重点难点难点第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析二、频率特性的图示方法二、频率特性的图示方法 频率特性频率特性G(jG(j) )以及以及幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性

38、都是频率都是频率的函数的函数，因而可以用曲线表示他们随频率变化的关系。常，因而可以用曲线表示他们随频率变化的关系。常用的频率特性的图示方法有用的频率特性的图示方法有极坐标图极坐标图和和对数坐标图对数坐标图。频率特性的极坐标图（Nyquist图）图）12频率特性的对数坐标图（Bode图）图）本节主要内容本节主要内容第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析频率特性的极坐标图（Nyquist图）图）1 G j 0 + G j Nyquist 频率响应是输入频率的复变函数，可在复平面上用复矢量表示，当从逐渐增长至时，作极坐标为一个矢量，其端点在复平面相应的轨迹就是频图率响应的，又称图。 jV

39、 jG UiAi G jiUiV( (1 1) ) 极坐标图的定义极坐标图的定义矢量第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析js)(jG0映射 1 A 1相角正向：逆时针为正)(RejG)(ImjG1)(1jG2)(2 jG3 )(3 jG4 )(4 jG 0 21Tj1Tj1jKjG 如如： 11 2221 TTKA 21arctgTarctgT2第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析()()()( )( )jG jG jeUjV 。 jV jG UiAi G jiUiV第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析( (2 2) ) 绘制绘制极坐标图的一般步骤极坐

40、标图的一般步骤由由G( j)求出求出其实频特性其实频特性ReG( j)、虚频特性虚频特性ImG( j)和和幅幅频特性频特性|G( j)|、相频特性相频特性G( j)的的表达式表达式；求出求出若干特征点若干特征点，如起点，如起点 =0 、终点、终点 =、与实轴的交点、与实轴的交点ImG( j)=0 、与虚轴的交点、与虚轴的交点ReG( j)=0等，并标注在极坐标等，并标注在极坐标图上；图上；补充必要的几点补充必要的几点，根据，根据G( j)、|G( j)|、ReG( j)、 ImG( j)的变化趋势以及的变化趋势以及G( j)所处的象限，作出所处的象限，作出Nyquist曲线曲线的的大致的图形大

41、致的图形。 重点重点第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析已知已知惯性环节惯性环节的传递函数的传递函数 11G sTs试绘制其试绘制其Nyquist图。图。 系统的系统的频率特性频率特性为为222211111TG jjjTTT显然显然实频特性实频特性 2211uT虚频特性虚频特性 221TvT幅频特性幅频特性2211G jT相频特性相频特性arctanG jT 由此有：由此有：当当 时，时，01,0G jG j当当 时，时，1/T1/2,45 G jG j当当 时，时， 0,90G jG j 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析可以证明，当可以证明，当 从从0趋于趋于

42、 时，惯性环时，惯性环节频率特性的节频率特性的Nyquist图为图图为图4.2.2，它，它表示正实轴下的一个半圆，圆心为表示正实轴下的一个半圆，圆心为(1/2, j0)，半径为，半径为1/2 。从图中可以看出，。从图中可以看出，惯惯性环节性环节频率特性的幅值随着频率频率特性的幅值随着频率的的增大而减小，因而具有增大而减小，因而具有低通滤波低通滤波的性的性能。它存在能。它存在相位滞后相位滞后，且滞后相位随，且滞后相位随频率的增大而增大，最大相位滞后为频率的增大而增大，最大相位滞后为90。图4.2.2 惯性环节的Nyquist 图第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析222( )2nn

43、nG sss21()(1)2G jj已知已知振荡环节振荡环节的传递函数的传递函数试绘制其试绘制其Nyquist图。图。 系统的系统的频率特性频率特性为为222()2nnnG jj将上式的分子、分母同除以将上式的分子、分母同除以 ，并令，并令 ，得，得2n/n 22 2222 22212(1)4(1)4j 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析当当 时，时，显然显然实频特性实频特性虚频特性虚频特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性由此有：由此有：当当 时，时，0,0即1,0G jG j1,902 G jG j0,180G jG j 当当 时，时，n1,即,即22 2221(1)4 2

44、2221()(1)4G j 2 2222(1)4 22arctan1G j 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 可见，当可见，当从从0趋于趋于(即即从从0趋于趋于)时，时，G(j)的幅值由的幅值由1趋于趋于0，相其位从相其位从0趋于趋于-180。振荡环节振荡环节频率特性的频率特性的Nyquist图始于点图始于点 (1, j0)而终点于而终点于(0, j0),曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率n，此，此时的幅值为时的幅值为 ，曲线在第三、四象限，如图，曲线在第三、四象限，如图4.2.3(a)所示。所示。 取值不取值不同，同，G(j)的

45、的Nyquist图的形状也就不同。图的形状也就不同。1/(2 )图4.2.3 振荡环节的Nyquist图及其幅频图第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 在阻尼比在阻尼比 T2 ， 故ReG(j)0， ImG(j)00ImRe)(21TTK图4.2.7 例5的Nyquist图第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析系统型，型，型，时，系统分别称为.I0,.2 , 1 , 0)()1 ()1 ( )1 ()()1 ()1)(1 ()(2121nmjTjTjTjjjjKjGvnm|若系统的频率特性为若系统的频率特性为重点重点第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析|

46、图4.2.2 惯性环节的Nyquist 图图4.2.5 例3的Nyquist图图4.2.6 例4 的Nyquist图第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 | G(j)= arctgT1 - 90- arctgT20ImRe)(21TTK图4.2.7 例5的Nyquist图第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析( (3 3) ) 典型环节的极坐标图典型环节的极坐标图 用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应时，是根据系统的时，是根据系统的开环频率特性开环频率特性进行的，而控制进行的，而控制系统的开环频率特性通常是由若干系统的开

47、环频率特性通常是由若干典型环节典型环节的频的频率特性组成的。率特性组成的。 介绍介绍六种六种常用的典型环节。常用的典型环节。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析ReImKKsG)()G jK( )AK0)(奈氏图：比例环节的极坐标奈氏图：比例环节的极坐标图为实轴上的图为实轴上的K点。点。 比例环节比例环节 ()jG jKUjVAe ( )UK( )0V第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 惯性环节惯性环节频率特性频率特性 11TssG222211111111TTVTUTTjTjTjG211TjGTjGarctan第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 0

48、1(0)0(0)1(0)00AUV时：，111( )( )4521111( )( )221ATTUVTTT时：，( )0( )90( )0( )0 AUV时：，0T1奈氏图：由于奈氏图：由于所以所以幅相特性曲线为一圆心在（幅相特性曲线为一圆心在（1/21/2，j0j0）半径为）半径为1/21/2的圆的圆。V0Vm时终点趋向于原点时终点趋向于原点0时起始于原点时起始于原点第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析2频率特性的对数坐标图（Bode图）图） 要精确地计算和绘制极坐标图，一般来说比较要精确地计算和绘制极坐标图，一般来说比较麻烦。因此采用频率特性的另一种图示法：麻烦。因此采用频率

49、特性的另一种图示法：对数坐对数坐标图（标图（Bode Bode 图）。图）。它不但计算简单，绘图容易，而它不但计算简单，绘图容易，而且一般且一般能直观地表明开环增益、时间常数等参数变能直观地表明开环增益、时间常数等参数变化对系统的影响化对系统的影响。 幅值与频率的关系：幅值与频率的关系：幅频特性曲线幅频特性曲线 相位与频率的关系：相位与频率的关系：相频特性曲线相频特性曲线第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析定义：定义：在工程实际中，常常将频率特性画成对数坐在工程实际中，常常将频率特性画成对数坐标图形式，这种对数频率特性曲线又称标图形式，这种对数频率特性曲线又称Bode图，由图，由

50、对数幅频特性和对数相频特性对数幅频特性和对数相频特性组成组成。Bode图的横坐标按图的横坐标按lg分度（分度（10为底的常用对数），为底的常用对数），即即对数分度对数分度，单位为弧度，单位为弧度/秒（秒（rad/s）。）。注意：注意：横坐标分度横坐标分度( (称为频率轴称为频率轴) ) 是以频率是以频率 的对数的对数值值lg进行线性分度的。进行线性分度的。但为了便于观察仍标以但为了便于观察仍标以的的值，因此对值，因此对 而言是非线性刻度。而言是非线性刻度。 每变化十倍，横每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为坐标变化一个单位长度，称为十倍频程十倍频程（或十倍频），（或十倍频），用用decde

51、c表示。表示。( (1 1) ) 对数频率特性对数频率特性BodeBode图图第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 对数分度和线性分度对数分度和线性分度 图图 对数分度和线性分度对数分度和线性分度第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析对数幅频曲线的纵坐标按对数幅频曲线的纵坐标按 线性分度线性分度，单位是分贝（，单位是分贝（dB）。）。直接将直接将 值值标注在纵坐标上标注在纵坐标上。( )20lg()20lg ( )LG jA20lg ( )A00.11101002040-20 jGLlg20单位：dB第四章第四章 系统

52、的频率特性分析系统的频率特性分析对数相频曲线纵坐标对数相频曲线纵坐标按按 ( ( ) )线性分度线性分度，单位是度。，单位是度。由此构成的坐标系称为由此构成的坐标系称为半对数坐标系半对数坐标系。通常用通常用L L( ( ) )简记对数幅频特性，也称简记对数幅频特性，也称L L( ( ) )为为增益增益；用用 ( )简记对数相频特性。简记对数相频特性。00.1110100 9018090180第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析00.11101002040-20 jGLlg20单位：dB00.1110100 9018090180十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程|G

53、j10010-1lg01220.3第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。用同一个横坐标（频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益。幅值和增益的关系为：20lg()增益幅值p 注意：注意： 横坐标以频率的对数值横坐标以频率的对数值 进行分度，但坐标进行分度，但坐标上显示的数值仍然是原来上显示的数值仍然是原来 值。值。lg第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析q 几点说明几点说明 在对数

54、频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此 =0 =0 不可能在横坐标上表示出来不可能在横坐标上表示出来（0 0没有对数）没有对数），横坐标上表横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定； 在对数频率特性图中，角频率在对数频率特性图中，角频率 变化的倍数往往比其变化的变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用数值更有意义。为此通常采用频率比频率比的概念：频率变化十倍的区的概念：频率变化十倍的区间称为一个间称为一个十倍频程十倍频程，记为，记为decadedecade或简写为或简写为 decdec；

55、频率变化两倍；频率变化两倍的区间称为一个的区间称为一个二倍频程二倍频程，记为，记为octaveoctave或简写为或简写为octoct。它们也用。它们也用作频率变化的单位。作频率变化的单位。可以注意到，频率变化可以注意到，频率变化1010倍，在对数坐标上是等距的，等于倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。一个单位。 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析p 使用对数坐标图的优点：使用对数坐标图的优点：可以展宽频带可以展宽频带采用对数坐标可以在图纸上扩大频率范围，采用对数坐标可以在图纸上扩大频率范围，高低频都可以保证；频率是以高低频都可以保证；频率是以1010倍频表示的，因此可以清

56、楚倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。便于作图便于作图可以将乘法、除法运算转化为加法、减法运算，可以将乘法、除法运算转化为加法、减法运算，可以分别作出各环节的可以分别作出各环节的BodeBode图，再用叠加法作图。所有的图，再用叠加法作图。所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示，典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示，用修正曲线修正，用修正曲线修正，大大简化作图过程。大大简化作图过程。对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近

57、似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称。线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析( (2 2) ) 典型环节的典型环节的BodeBode图图KsG)(KjG)(对数幅频特性和相频特性：对数幅频特性和相频特性： ()20 lg()0LK 图图 比例环节的比例环节的BodeBode图图幅频特性：幅频特性：0)(相频特性：相频特性：( )AK

58、比例环节比例环节第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 积分环节积分环节1()G jj1()Gss1, ( )0;10( )20LL ，( )2 dBL/ )()(9020402040110100110100 1A( )20lg( )2L 对数幅频特性为一条斜率为对数幅频特性为一条斜率为20dB/dec20dB/dec的直线，此线通的直线，此线通过过L L( ()=0)=0，=1=1的点的点 。第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析二重积分：二重积分：21()G jjn n重积分重积分? ?( )40lg( )L 对数幅频特性为一条斜率为对数幅频特性为一条斜率为40dB

59、/dec40dB/dec的直线，此线通的直线，此线通过过L L( ()=0)=0，=1=1的点。的点。对数幅频特性为一条斜率为对数幅频特性为一条斜率为2020n dB/decn dB/dec的直线，此线通的直线，此线通过过L L( ()=0)=0，=1=1的点。的点。dBL/ )()(9020402040110100110100-180第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析 惯性环节惯性环节1( )1G sTs1()1G jTj221( )1( )arctanATT 对数幅频特性和相频特性为对数幅频特性和相频特性为22221( )20lg20lg 11( )arctgLTTT q

60、低频段低频段( ( T T ， ) )lg20lg20T即高频段可近似为斜率为即高频段可近似为斜率为-20-20dB/dec dB/dec 的直线，称的直线，称为为高频渐近线高频渐近线。TTLlg201lg20)(22 90 TT 20lg23 45LdB 第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。惯性环节对数幅频特性曲线为图示的惯性环节对数幅频特性曲线为图示的渐近线渐近线。低低通通滤滤波波特特性！性！第四章第四章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析伯德图误差分析（实际频率特性和