必修2第1章第一节 空间几何体3 中心投影、平行投影和直观图画法（学案含答案）

1、.高中数学中心投影、平行投影和直观图画法一、考点打破知识点课标要求题型说明中心投影、平行投影和直观图画法1. 理解中心投影和平行投影的区别和联络，掌握三视图的画法。2. 会由三视图复原成实物图。3. 理解斜二测画法的概念。4. 会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图。填空三视图是高考的热点，以中低档题出现，而画出空间几何体的直观图是学好立体几何的前提和根底，是解决学生识图难及画图难的关键，故本节课在整个立体几何教学中有着不可替代的作用。二、重难点提示重点：画出简单组合体的三视图；程度放置的平面图形直观图画法。难点：识别三视图所表示的空间几何体；用斜二测画法画空间几何体的直观图。考

2、点一：中心投影与平行投影1投影、投影面投影是光线投影线通过物体，向选定的面投影面投射，并在该面上得到图形的方法。【要点诠释】一个物体的投影与投影线的方向及投影面的位置有关，投影包括中心投影和平行投影。2中心投影 投影线交于一点的投影称为中心投影，如下图，它的本质是一个点光源把一个图形投影到一个面上，这个图形的影子就是它在这个面上的中心投影。 性质：a. 中心投影的投射线交于一点；b. 点光源间隔 物体越远，投影形成的影子越小。3平行投影投影线互相平行的投影面。平行投影按投影方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影，投影方向正对着投影面时叫做正投影如图，否那么叫做斜投影如图。性质：a. 平行投

3、影的投射线互相平行；b. 直线或线段的平行投影是直线或线段或点；c. 两平行直线的平行投影是平行直线或重合的直线或点；d. 与投影面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形全等；e. 在同一条直线或平行直线上直线不与投影线平行，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比。【核心打破】平行投影与中心投影的区别1平行投影和中心投影都是空间图形的根本画法，平行投影包括斜二测画法和三视图。2平行投影的投射线都互相平行；中心投影的投射线是由同一点发出的。3在平行投影下，与投影面平行的平面物体投影后得到的是与原物体等大小、等形状的投影。中心投影对物体投影后得到的是比原物体大的、形状与原物体的正投影相似的投影。考

4、点二：空间几何体的三视图1视图、三视图的概念 视图：将物体按正投影向投影面投射所得到的图形称为视图。 三视图：光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上而下投射所得的投影称为俯视图，自左向右投射所得的投影称为左视图，用这三种图刻画空间几何体的构造，我们称之为三视图。2由几何体画三视图的方法与步骤 确定正前方，确定投影面，正前方应垂直于投影面，然后画出这时的投影主视图。 在正前方确定的情况下，自左向右的方向也随之确定，然后确定这时的投影面，自左向右的方向垂直于投影面，画出这时的投影左视图。 自上向下的方向是固定不变的，在物体下方确定一个程度面作为投影面，画出投影俯视图。【核心归纳

5、】1. 常见几何体的三视图 程度放置的圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆； 程度放置的圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆； 程度放置的圆台的主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图是带圆心的圆； 球的三视图都是圆。2. 主视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，左视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，将根据这种对应关系得到画三视图的规那么：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等。3. 画三视图时，以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方，主视图、俯视图、左视图三者之间互相对齐，不能错位。考点三：直观图画法斜二测画

6、法的规那么1在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使xOz90，且yOz90。2画直观图时把它们画成对应的x轴、y轴和z轴，它们相交于O，并使xOy45或135，xOz90，x轴和y轴所确定的平面表示程度面。3图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段。4图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。【要点诠释】1. 画程度放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点。确定点的位置，可采用直角坐标系。建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴

7、上或与坐标轴平行的直线上。2. 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面xOy垂直的轴Oz，且平行于轴Oz的线段长度不变，其他同平面图形的画法。3. 对“一斜“二测的理解，应把握以下两点：1互相垂直的Ox、Oy轴画成Ox、Oy轴，使xOy45或135。2平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半。4. 斜二测画法中的直观图与原图面积的关系。【随堂练习】正三棱锥的主视图、俯视图如下图，其中，那么由该三棱锥得到的左视图的面积为 。答案：所求为思路分析：由三视图与原几何体之间的关系可知，该几何体的左视图是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角

8、形如下图2所示。由所给数据知原几何体的高为且，从而可求出左视图面积。技巧点拨：此题属易错题，容易误以为几何体的左视图是一个等腰三角形，且此等腰三角形的底面边长为2，高为正三棱锥的高，由于该三棱锥侧棱长是2，底面边长为，故其高为，从而得出其左视图的面积的错误结论。例题1 由几何体的直观图画三视图把以下图中的物体用三视图表达出来思路分析：1画主视图，按主视图的投影方向，从前往后看，物体上的实形可见，主视图应反映的真实形状，而平面都积聚为直线，与平面的轮廓重合，所以物体的主视图就是的轮廓形状。2画俯视图，从左往右看，平面实形可见，平面积聚为直线，平面与程度面有一定的倾斜角度，在俯视图上是缩小的等边数

9、图形，画俯视图时，左右的长度和方向都应对正。3画左视图。从左往右看，平面实形可见，平面积聚为直线，平面倾斜。根据主、左视图高平齐和俯、左视图宽相等，对应画出左视图。答案：技巧点拨：此题考察了同学们的空间想象才能，应在找准投射方向的前提下分析投影形状，注意“长对正，高平齐，宽相等。例题2 由三视图复原实物图根据以下图中所示物体的三视图阴影部分为空洞描绘出物体的大致形状。思路分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔，从而知道这两个面都有一个圆柱形的孔。答案：该物体大致形状如图：技巧点拨：此题在求解的时候根据三视图得出该几何体的大致形状，并画出其图形后，需检验所得几何体的三视图是否与所给一致，不一致的细节要进展适当修改。忽略斜二测画法的画法规那么致误例析 用斜二测画法画出图中程度放置的四边形OABC的直观图。错解：1画x轴和y轴，使xOy45；2在Ox轴取OBOB4，OD3。在Oy轴上取OC，使OCOC，过D作DAOx。使DADA如图；3连接OA，AB，BC，所得四边形OABC就是四边形OABC的直观图。错因分析：上述解法的错误在于过D作DAOx，进而利用DADA来确定点A的位置。防范措施：根据斜二测