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文档简介

1、第一章导数及其应用导数的概念1.已知f(x)1 , W lim f(2x)f的值是()xx 0xA.11D.2B. 2C44变式1 :设fr rf34,则 lim -3hf3为()h 02hA.1B.2C.3D.1变式2:设fx在怡可导次V limf xxf x 3x等于x 0xA.2fX。B. fX。C. 3fXD. 4 f x0导数各种题型方法总结请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法:1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次,分析每种题型的本质,你会发现大部

2、分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充 分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值*围。最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步:令f(x)0得到两个根;第二步:画两图或列表;第三步:由图表可知;其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种:第一种:分离变量求最值用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0, 31 2x2有且仅有3个极值点,求a的取值例9、已知函数f(x)x33(aR,a 0) (1)求f (x)的单调区间;(2)令 g(x) =

3、-*4 + (* ) (* R)4*围.解:(1) f (x) ax2 x x(ax1)1 或x 0 ,令f (x)0解得aa11所以f(x)的递增区间为(,丄)(0,),递减区间为(丄,0).aa1i当a 0时,同理可得f(x)的递增区间为(0,丄),递减区间为(,0)(-,).aa1ai(2) g(x)X4X3X2有且仅有3个极值点4323222g (x) x ax x x(x ax 1) =0 有 3 个根,则 x 0或 xax 1 0, a 2方程x2 ax 1 0有两个非零实根,所以a2 4 0,a 2 或 a 2而当a 2或a 2时可证函数y g (x)有且仅有3个极值点其它例题:

4、1、(最值问题与主兀变更法的例子) .已知定义在R上的函数f (x) ax3 2ax2 b(a 0)在区间 2,1上的最大值是5,最小值是一 11.(I)求函数f (x)的解析式;(n)若t 1,1时,f (x) tx 0恒成立,*数x的取值*围. 解:(I) t f(x) ax3 2ax2 b, f (x) 3ax2 4ax ax(3x 4)4令 f (x)=0,得 x,0,x22,113因为a 0,所以可得下表:x2,000,1f (x)+0-f(x)/极大因此 f (0)必为最大值, f (0) 5 因此 b 5 , 丁 f(2) 163 5,f(1) a 5, f(1) f( 2),

5、即 f( 2)16a511, a 1, f(x) x32x25.2 2(n)vf (x) 3x24x,. f (x) tx 0等价于3x24xtx 0,2令g(t) xt 3x 4x,则问题就是g(t) 0在t 1,1上恒成立时,*数x的取值*围, 为此只需g(1)0, 即 3x25x 0,g(1)0x2x 0解得0x1,所以所*数x的取值*围是0 , 1.2、(根分布与线性规划例子)(1)已知函数f(x)2x3 ax2 bx c3(I )若函数f (x)在x 1时有极值且在函数图象上的点(0, 1)处的切线与直线 3x y 0平行,求f (x)的解析式;(n )当f (x)在x (0, 1)

6、取得极大值且在x (1, 2)取得极小值时,设点M (b 2, a 1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解:(I ).由 f (x)22x 2ax b,函数f (x)在x 1时有极值,2ab 2 0/ f(0)1 c 1又T f(x)在(0,1)处的切线与直线3x y 0平行, f (0) b 3 故 a -231x2 3x 12(n )解法f (x)22x 2ax b 及f (x)在x (0,1)取得极大值且在(1,2)取得极小值,易得A(0)(1)2a b4a b令 M(x, y), 2y2 4y0 故点所在平面区域S为如图 ABC,2,

7、0), B( 2,1),C(2,2),D(0,1), E(0, 3)S ABC 2同时DEABC的中位线,S1SS DEC3 S四边形 ABED11所求一条直线L的方程为:x 011另一种情况设不垂直于*轴的直线L也将S分为面积比为由ykx得点F的横坐标为:Xf22yx202k 1由ykx得点G的横坐标为:Xg64yx604k 1别交于F、G,则k 0 , S四边形DEGF 161乐边形DEGF1 3S OGE S OFDA 0/ *-28-1)1:3的两部分,设直线L方程为y kx,它与AC,BC分2 2 4k 122k 121 即 16k 2k 5011解得:k或25 (舍去)故这时直线方

8、程为:y -x8 2综上,所求直线方程为:x 0或y -x2.12分f (x)在x (0,1)取得极大值且在(1,2)取得极小值,f (0)0b0f (1)0即2ab20f04ab80y 1.x20a2yx20故点点Mbx 24yx60(n)解法二:由b及f (x)2ax2x2所在平面区域 S为如图 ABC,易得 A( 2,0) , B( 2,令 M (x, y),贝Uy a 131), C(2,2), D(0, 1), E(0,2),S ABC同时DE ABC的中位线,另一种情况由于直线1. y -x由22y x 2-S ABC 2 ,1 、S DECS四边形ABED 所求一条直线L的方程为

9、:x 030S0或y所求直线方程为(根的个数问题)f(x)ax3 bx2(c 3a2b)x d (a0)的图象如图所示。已知函数3、(i)求的解析式;川)若解:由题知:c、d的值;n)若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3x y 110 ,求函数fXo 5,方程f(x) 8a有三个不同的根,*数a的取值*亂f (x) 3ax2 2bx+c-3a-2b(I)由图可知函数 f ( * )的图像过点(0,3 ),且f 1 = 0d 33a 2b c3a2b(n)依题意 f 2 = - 3 且 f ( 2 ) = 512a 4b 3a 2b8a 4b 6a 4b 33 解得 a = 1

10、 , b = - 65所以 f ( * ) = *3 - 6*2 + 9* + 332(川)依题意 f ( * ) = a* + b* - ( 3a + 2b )* + 3 ( a0 )2f x = 3a* + 2b*3a - 2b 由 f 5 = 0 b = - 9a若方程f ( * ) = 8a有三个不同的根,当且仅当满足 f ( 5 ) v 8a f ( 1 )x2(2,1)1(x)一(x)8a 92、a求a的值及f(x)的单调区间;1由得 -25a + 3 8a 7a + 3 a 3111所以当丄 ac,d, f (xjgX)f (x)maxg(x)min ;【如图二】结论3:a,b,

11、X2c,d, f(Ggg)f (x)ming(x) min ;【如图三】结论 4:Xia,b,X2c,d, f(Xi)g(X2)f(x)max g(X)max ;【如图四】结论5:Xia,b,X2c,d, f(Xi)g(x2)f (x)的值域和g(x)的值域交集不为空;【如图五】232【例题 1 】:已知两个函数 f(x)8x 16x k, g(x) 2x 5x 4x,x 3,3, k R;(1) 若对x 3,3,都有f(x) g(x)成立,*数k的取值*围;(2) 若x 3,3,使得f(x) g(x)成立,*数k的取值*围;(3) 若对Xi,x2 3,3,都有f (X1) g(x2)成立,*

12、数k的取值*围;解:(1)设 h(x)g(x)f (x)2x3 3x212x k ,( 1)中的问题可转化为:x 3,3时,h(x) 0 恒成立,即h(x)min 0。h(x) 6x2 6x 126(x 2)(x 1).当X变化时,h(x), h(x)的变化情况列表如下:X-3(-3,-1)1(-1,2)2(2,3)3h (*)+00+h(*)k-45增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为 h( 1) k 7,h(2) k 20,所以,由上表可知h(x)min k 45,故 k-45 0,得 k45,即 k 45,+).小结:对于闭区间 I,不等式f(*)k对* I时恒成立f(*)ma*k对

13、* I时恒成立f(*)mink, * I.此题常见的错误解法:由f(*)ma* g(*)min 解出k的取值*围.这种解法的错误在于条件f(*)ma* 0在* -3,3时有解,故h(*)ma* 0.由(1)可知h(*)ma*= k+7,因此 k+70,即 k 7,+).(3) 根据题意可知,(3)中的问题等价于f(*)ma* 21 得 k 141,即 k 141,+).说明:这里的*1,*2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“*”恒成立,还是“ * ”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取

14、不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.:、相关类型题:一、a f(x)型;形如a f (x), a f (x)型不等式,是恒成立问题中最基本的类型,它的理论基础是“ a f (x)在x D上恒成立,则a f (x)max(x D); a f (x)在* D上恒成立,则a f(x)min(x D); ” 许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型例1 :已知二次函数 f(x) ax2 x,若 x 0,1时,恒有|f(x)| 1 , *数a的取值*围.解:| f (x)| 1 , -1 ax2X1 ;即1 X当x 0时,不等式显然成立, a R.当0 x 1时,由1 x ax21X得:1X a

15、0.又(2 1)XXmax2,-a二、f(xj f(x)f (X2)型例2已知函数f (x)值为2si n( x25;),若对X2ax 1x;111壬11-a _,而(v)min0XXXXX2, 2a 0,综上得a的*围是a2,0。R,都有f(X1)f(x)f (X2)成立,则|x X2I的最小解对任意* R,不等式f(%) f (x)f (x2)恒成立,二f(xj, f(X2)分别是f (x)的最小值和最大值.对于函数y sin x,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是n,即半个周期.x又函数f(x) 2sin()的周期为4, |x( X2I的最小值为2.25三、.f(xA)f(x1)f(

16、x2)型2 22例 3 :(2005*)在 y 2x, y log2 2x, y x , y cosx 这四个函数中,当 0 x-i x2 1 时,使f (x1 x2)丄凶 企几 恒成立的函数的个数是()2 2A.0B.1C.2D.3解:本题实质就是考察函数的凸凹性,即满足条件f(“ x2)丄凶 口的函数,应是凸函数的性质,2 2画草图即知y log 2 2x符合题意;四、.f(X1)f(X2)0型X1X2X1f (X)X2- f (1)已知函数t2 2at任取1f(X)定义域为1对所有X X1X21 ,1,1, f (1) 1,若 m,n 1,1, m n 0时,都有一凹1,1, a 1,1

17、恒成立,*数t取值*围.则 f(Xi) f(X2)f(xj f(X2)(眉x2),由已知0,X1X2f(xj f(X2)X1 X20,二 f (x1) f (x2) Of,即即 f(X)在1,二 x 1,1,恒有 f (X)1;1,1上为增函数要使f (x) t22at 1对所有X 1,1,a1,1恒成立,即要t22at 11恒成立,故t2 2at 0恒成立,令g (a)2 at t2,只须g( 1)0且g(1)解得t 2或t 0或t 2。评注:形如不等式” 一型0或”丄0恒成立,实际上是函数的单调性的另一种表现x1x2x1x2形式,在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息五、.f(x)g

18、(X) 型:例5:已知1f(X) 1lg(X 1),g(X) lg(2Xt),若当 X 0,1时,f (x) g (x)恒成立,*数t的取值*解:f (X)g(X)在 X0,1恒成立,即X 12x t 0在x 0,1恒成立 .x 1 2x t在0,1上的令 F(x).X 1 F(x)0,即 f (x)F(0)六、f (X1)最大值小于或等于零2x t,gX)型1 t 0,F(x)1 4” ,F(x)在0,1上单调递减,1。0,1F(0)是最大值例6:已知函数f (x)x2 3x43g(x)9 x c若对任意 X1, X2 2,2,都有 f(xj g(X2),2解:因为对任意的X1,x22,2,

19、都有 f (xj g(X2)成立,二f (X)maxg(x)min , f(x)X2 2x 3 ,令 f(x) 0 得 X 3, X1 * 3 或 * v -1 ; f (x)0 得1 x 3 ; f(x)在2, 1为增函数,在1,2为减函数18 c- f ( 1) 3, f(2)6 , f(x)max 3,.3, c 24。2七、| f(xj f(X2)| t ( t为常数)型;1例7 :已知函数f (x)x4 2x3,则对任意t1,t2 -,2 ( t1 t2)都有2|f(X1)f(X2)| 恒成立,当且仅当t1=_,t2=_时取等号解:因为 |f(X1) f (X2)| | f(X)ma

20、x f(x)min| 恒成立,1 32715由 f(x)X4 2x3,x -,2,易求得f(X)max f(), f (x) min f( 一), 2 216216| f(xjf(X2)| 2。例8 :已知函数y f (x)满足:(1)定义域为1,1;方程f(x) 0至少有两个实根1和1 ;过f(x)图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.(1) 证明 | f (0) | 1| ;证明:对任意 x1, x2 1,1,都有 |f(xj f (x2) | 1 .证明(1)略;(2) 由条件知f ( 1) f (1)0 ,不妨设 1 X, x21,由知 |f(xjf (x2) | X1X2 |X2 X1,又- | f(X1) f(X2)|f(X1)| f(X2)| f (X1)f(1)|f(X2)f(1)|X1 1 1 X2 2 (X2 X1) 2 | f(X1) f(X2)| ; | f (X1) f(X2)| 1 八、| f(X1) f(X2)| |X1 X2|型例9:已知函数f(x)

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