二元一次不等式组与简单的线性规划知识点和典型题高一数学2份

1、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC>0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC>0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域.2.线性

2、规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最

3、小值. (2)不等式x2y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.()1.不等式组表示的平面区域是下图中的阴影部分.(×)2.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A.(0,0)B.(1,1) C.(1,3)D.(2，3)3.若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A.3B.C.2D.24.(2013·湖南)若变量x，y满足约束条件则x2y的最大值是()A.B.0C.D.答案C解析画出可行域如图.设zx2y，平行移动直线yxz，当直线yx过点M时，z取最大值，所以(x2y)max.5.

4、(2013·浙江)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.答案2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0k<时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当k<0时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2，符合题意.综上可知，k2.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域练习:如图，在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐 标分别为A(0,1)，B(2,2)，C(2,6)，试写出ABC及其内部区域所对应的二元一次

5、不等式组.解由已知得直线AB、BC、CA的方程分别为直线AB：x2y20，直线BC：xy40，直线CA：5x2y20，原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为.题型二求线性目标函数的最值例2设x，y满足约束条件：，求zxy的最大值与最小值.思维启迪作可行域后，通过平移直线l0：xy0来寻找最优解，求出目标函数的最值.解先作可行域，如图所示中ABC的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，)，作出直线l0：xy0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使zxy达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使zxy达到最大值.故zmin

6、2，zmax7.思维升华(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系.(1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z·的最大值为()A.3B.4C.3D.4(2)(2013·课标全国)已知a>0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a等于()A.B.C.1D.2答案(1)B(2)B解析(1)由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z·xy，将其化为yx

7、z，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，、z最大，将点(，2)的坐标代入zxy得z的最大值为4.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a，故选B.题型四求非线性目标函数的最值例4(1)设实数x，y满足则的最大值为_.(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|的最小值是_.思维启迪与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.答案(1)(2)解析(1)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，)

8、处取到最大值.(2)依题意得，(x1，y)，|可视为点(x，y)与点(1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线xy2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1,0)的距离最小，因此|的最小值是.思维升华常见代数式的几何意义有(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域2是与1关于直线3x4y90对称的区域，对于1中的任意一点A与2中

9、的任意一点B，|AB|的最小值等于()A.B.4C.D.2答案B解析由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域1中的点到直线3x4y90的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线3x4y90的距离最小，故|AB|的最小值为2×4，选B.方法与技巧1.平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线).2.求最值：求二元一次函数zaxby (ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取得.3.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线

10、性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.失误与防范1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.A组专项基础训练一、选择题1.在直角坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为，则t的值为()A.或B.3或1C.1D.答案C解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由解得交点B(t，t1)，在yx1中，令x0得y1， 即直线yx1与y轴的交点为C(0,

11、1)，由平面区域的面积S，得t22t30，解得t1或t3(不合题意，舍去)，故选C.2.直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A.0个B.1个C.2个D.无数个答案B解析在坐标平面内画出直线2xy100与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1个.3.(2013·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为()A.7B.4C.1D.2答案A解析可行域如图阴影部分(含边界)令z0，得直线l0：y2x0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z取得最小值.由得A(5,3).zmin32×57，选A.4.O为坐标原点，点M的坐标为(1,1)，

12、若点N(x，y)的坐标满足则·的最大值为()A.B.2C.D.2答案B解析如图，点N在图中阴影区域内，当O、M、N共线时，·最大，此时N(，)，·(1,1)·(，)2，故选B.5.(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上 一动点，则直线OM斜率的最小值为()A.2B.1C.D.解析画出图形，数形结合得出答案.如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影部分.由得A(3，1).当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM.二、填空题6.已知z2xy，式中变量x，y满足约束条件则z的最大值为_.答案5解析在坐标平面内画出题中的

13、不等式表示的平面区域及直线2xy0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，1)时，相应直线在x轴上的截距最大，此时z2xy取得最大值，最大值是z2×2(1)5.7.设z2xy， x，y满足，若z的最大值为6，则k的值为_，z的最小值为_.答案22解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2xy6，结合图形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直线yk必过直线2xy6与xy0的交点，即必过点(2,2)，于是有k2；平移直线2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z2xy取得最小值，最小值是z2×(2)22.三、

14、解答题10.已知x，y满足条件，求4x3y的最大值和最小值.解不等式组表示的区域如图所示.可观察出4x3y在A点取到最大值，在B点取到最小值.解方程组，得，则A(1，6).解方程组，得.则B(3,2)，因此4x3y的最大值和最小值分别为14，18.B组专项能力提升1.(2012·课标全国)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是()A.(1，2)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,1)答案A解析如图，根据题意得C(1，2).作直线xy0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1，2)时，zxy取范围的边界值，即(1)2<z<13，zxy的取值范围是(1，2).3.已知变量x，y满足条件若目标函数zaxy(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值