与圆有关的阴影面积的计算

1、辅导材料:与圆有关的阴影面积的计算准备阶段:1.圆的面积公式: .其中为圆的半径.2.半圆的面积公式: .3.扇形的面积公式: .其中为扇形的半径,为扇形的半径.4.扇形的面积公式（另）: .其中为扇形的半径,为扇形的弧长.证明: , .5.关于旋转:（1）复习旋转的性质.（2）会画出一个图形旋转后的图形.（3）旋转的作用: 通过旋转,有时候我们可以把分散的几何条件集中起来,使题目呈现出整体上的特点. 该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算.6.重点介绍: 转化思想在解决数学问题时,把复杂问题简单化,把一般问题特殊化,把抽象问题具体化等的思想方法,叫做转化思想.7.怎样求与圆有关的阴影的面积?

2、（1）利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式.（2）利用整体与部分之间的关系.（3）采用整体思想 求不规则图形的面积,一般将其转化为规则图形的和差来解决,具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化.实战阶段:1.（2015.河南）如图（1）所示,在扇形AOB中,AOB=90°,点C为OA的中点,CEOA交弧AB于点E.以点O为圆心,OC的长为半径作弧CD交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为_. 解析: 图（1）中阴影所在图形为不规则图形,可以利用整体与部分之间的关系的方法求解,即采用整体和差的方法.解:连结OE.OA=OB=OECEOACOE为直角三角形点C为OA的中点在RtCO

3、E中, CEO=30°EOC=60°AOB=90°BOE=30°在RtCOE中,由勾股定理得: 2.（2015.贵州遵义）如图（2）所示,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2 cm,C为弧AB的中点,D、E分别是OA、OB的中点,则图中阴影部分的面积是_.解:连结OC,并作CMOA于点M.点C为弧AB的中点, AOB=90°AOC=BOC=AOB=45°COM为等腰直角三角形OM=CMOC=2cmCM=OCcmD、E分别是OA、OB的中点OD=OE=1 cmDM=OMOD=cm cm2.注意: 若题目对结果无特殊要求

4、,则结果保留,不取具体值.3.(2015.开封二模)如图（3）所示,在ABC中,CA=CB,ACB=90°,AB=2.点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上,则图中阴影部分的面积为_.解析: 本题问题的解决要用到三角形全等的知识,请复习:（1）三角形全等的判定定理有哪些?（2）全等三角形具有怎样的性质? 对于第二个问题,全等三角形的面积相等,我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.解:连结CD.设DE与AC交于点M,DF与BC交于点N.ACB=90°CDE1=90°CA=CB,点D为AB的中点CDAB（等腰三角形

5、“三线合一”）CDE2=90°1=2DCN=ACB=45°DAM=DCNACB=90°DE=CD=1在ADM和CDN中ADMCDN(ASA)SADM=SCDNS四边形DMCN=SCDM+SDCNSACD=SCDM+SADMS四边形DMCN= SACD 在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要 大多数扇形的圆心角题目会直接给出,但有时却需要我们自己求解.见第5题.4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示,在扇形OAB中,AOB=90°,半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在弧AB上点D处,折痕交OA于点C,则图中阴影部分的面积为_.解析:

6、 本题,题目所给条件不难求出扇形OAB的面积,但BOC的面积不易求得.如果连结OD,那么OB=OD,再根据对折,得OB=BD,从而OB=OD=BD,即BOD为等边三角形.至此,问题便很容易解决.解: 连结OD.OB=ODBOCBDC（由翻折可得）OB=BD,OBC=DBCOB=OD=BDBOD为等边三角形OBD=60°OBC=DBC=30°在RtBOC中,OBC=30°OC= 5.（2015.焦作一模）如图（5）所示,在矩形ABCD中,AB=,AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转得到矩形ABCD,点C落在AB的延长线上,则图中阴影部分的面积是_.解: 在RtABC中

7、,由勾股定理得:AC=2BCBAC=30°由旋转的性质得:=BAB=30° 6.（2014.河南）如图,在菱形ABCD中,AB=1,DAB=60°.把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形ABCD,其中点C的运动路径为弧CC,则图中阴影部分的面积为_.解: 由题意可知:A、D、C三点共线,A、B、C三点共线,如图所示,设BC与CD相交于点E. 容易得知:BED=CEE=90°. 设DE=,则BE=,CD=（为什么?）CE=在RtDCE中,由勾股定理得:解之得:（舍去）DECE=由菱形的性质并结合勾股定理不难求得:AC= 7.（2015.新乡

8、一模）如图（7）所示,在RtAOB中,AOB=30°,A=90°,AB=1,将RtAOB绕点O顺时针旋转90°得到RtCOD,则在旋转过程中线段AB扫过的面积为_.解析: 本题中阴影部分是由相关图形的旋转形成的,阴影部分的面积与两个扇形的面积之间的关系为:解: 在RtAOB中,AOB=30°OB=2AB=2由勾股定理得: 8.（2014.许昌一模）如图（8）所示,在平面直角坐标系中,已知D经过原点O,与轴、轴分别交于A、B两点,B点的坐标为,OC与D相交于点C,OCA=30°,则图中阴影部分的面积为_.解析: 本题将圆的知识点与平面直角坐标系相

9、结合,使得问题的解决更加灵活.实际上,平面直角坐标系是研究几何或解析几何的有力工具. 解: 连结AB.AOB=90°AB是D的直径OCA=30°OBA=30°BOB=设OA=,则AB=在RtAOB中,由勾股定理得:解之得:（舍去）OA=2, AB=4 在求扇形的面积时确定扇形的半径很重要9.如图（9）所示,在扇形OAB中,AOB=60°,扇形半径为4,点C在弧AB上,CDOA,垂足为点D,当OCD的面积最大时,图中阴影部分的面积为_.解析: 本题涉及到三角形面积最大的问题.当直角COD满足什么条件时,其面积最大,弄清楚这个问题是解决本题问题的关键.解:

10、在RtCOD中,由勾股定理得:显然,当OD=CD时,取=号,此时COD是等腰直角三角形,其面积最大,最大值为COD=45° 10.（2015.郑州外国语中学）如图（10）所示,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AOB绕点B逆时针旋转60°得到BOB,AB与弧OO相交于点E,若AD=2,则图中阴影部分的面积是_.解: 由题意可知:ABB=60°,EBO=15°在RtABD中,由勾股定理得:由正方形的性质得:OB= 11.（2013.湖北潜江模拟）如图（11）,在RtABC中,C=90°,A=30°,AC=6 cm, CDA

11、B于D,以C为圆心,CD为半径画弧,交BC于E,则图中阴影部分的面积为 【 】（A）cm2（B）cm2（C）cm2（D）cm212.(2013.洛阳模拟)如图所示,AB是O的切线,OA=1,AOB=60°,则图中阴影部分的面积是 【 】（A） （B）（C） （D）13.（2015.新乡二模）如图所示,在菱形ABCD中,B=60°,AB=2,扇形AEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是_.14.（2013.郑州二模）如图所示,直径AB为6的半圆,将其绕A点旋转60°,此时点B到了点B处,则图中阴影部分的面积是_.15.（2013.许昌一模）

12、如图所示,在正方形ABCD中,AB=4,O为对角线BD的中点,分别以OB、OD为直径作O1、O2,则图中阴影部分的面积为_（结果保留）.16.（2015.自贡）如图,AB是O的直径,CDAB,CDB=30°,CD=,则阴影部分的面积为_.17.(2015.省实验中学)如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2, AB=4, A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连结CE,则阴影部分的面积是_.（结果保留）18.如图,在ABC中,AB=BC=2,若ABC=90°,则图中阴影部分的面积是_.19.如图所示,ABC中,OA=OB=4,A=30°,AB与O相切于点C,则图中阴影部分的面积是_.20.如图所示是两个半圆,点O为大半圆的圆心,AB是大半圆的弦且与小半圆相切,且AB=24,则图中阴影部分的面积为_