二阶RLC谐振电路的研究

1、（1）下图所示为二阶RLC串联电路，当外加正弦电压源的为某一个频率时，端口阻抗呈现为纯电阻性，称电路对外加信号频率谐振。谐振角频率为。,理论值：v=1V， i=1/R,，vL=j10k×0.001×i，vC=-vL，vR=iRR=5时，vL=12.56V,vC=-12.56V,vR=1VR=10时，vL=6.28V,vC=-6.28V,vR=1VR=20时，vL=3，14V,vC=-3.14V,vR=1VvL=90º，vC=-90º，vR=0º仿真：（2）谐振时，电感或电容上的电压有效值与电阻有效值的比值等于Q称为电路的品质因数，又称为Q值。Q

2、值有明显的物理意义，它反映了电路在谐振时存储能量与消耗能量的比值。试用下述定义计算谐振时电路Q值。推导过程如下：（3）分析此二阶电路固有响应形式与Q值关系：Q>1/2：欠阻尼；Q=1/2:临界阻尼；Q<1/2:过阻尼仿真电路如图：下图为R=5，10，20情况下, VR的阶跃响应：（4）正弦稳态电路的频率特性用输出相量与输入相量的比值来表示，称为网络函数。例如，对图中电阻电压输出，可以写出电压比当信号频率变化时，网络函数的幅度和相位随之变化，分别称为电路的幅度频率特性和相位频率特性。该电路的AC频率特性是带通特性，使一部分频率的信号通过而抑制了其他频率的信号。 下图为带通特性曲线。，

3、（5）在幅度频率特性曲线中，幅度下降为最大值的倍对应的两个频率之间的频率差称为通带宽度。R值ff0/fQ值58366Hz1.1912.59109159Hz1.096.292010077Hz0.993.15由仿真数据可知，随着R的增加，带宽增加而Q值下降.Q值越大，电路的频率选择性越好。（6）设输入电压中有两个频率成分 f1=10kHz和f2=20kHz，有效值均为1V，在上述给定电路中：(a) 要求输出电压中f2 频率成分有效值小于0.1V ，则R的最大值是10.489.计算过程：此时输出电压的频率应与f1=10kHz相等，即T=0.1ms.仿真电路如图：EWB仿真波形图如下（R=10）：(b

4、) 若R值不变, 要求输出电压中f1成分被抑制掉，应该如何获取输出电压？因为电路要求滤掉谐振频率，所以设计该输出的AC频率特性为带阻特性。此时输出电压的频率应与f2=20kHz相同，即T=0.05ms.仿真电路如图：得到的波形图如下：RLC串联电路如图-1所示。改变电源频率或在特定条件下改变电路参数，可使XL=XC,这时电路发生串联谐振。谐振频率为0= ,它由电路参数L和C决定。如果电源的频率一定，可以通过调节L或C的大小来实现谐振。谐振后的RLC串联电路中的：阻抗是最小的：Z=R   (XL=XC0)；     

5、    电流是最大的：I0= , I0称为谐振电流；电流与电压同相位：=arctg=0。周绍敏主编的职业高中电工基础教材中对以上诸点都做了详细的论述。但对谐振电压是否为电压极大值的问题并未涉及。因此容易将学生带入一个误区认为不论电路参数如何，只要RLC电路处于谐振状态时，电感、电容两端的电压就是极大值。笔者对此问题略有薄见。其实RLC串联电路谐振时，电感、电容两端的电压达到最大值的频率是偏离了谐振点频率的。这是因为谐振时：   XL = XC，于是有：UL = UC = I0XC = I0XL  

6、0; 且  U = I0Z = I0R = UR即电路的总电压等于电阻R上的电压降。如果电路参数满足XL=XC R 的条件，则各元件两端电压的关系是：UL = UC  UR = U于是出现电路的局部电压大于电源电压U的现象，甚至大出许多倍。RLC串联电路谐振时电感和电容两端的电压有效值分别为：UL0 = I0XL =0L = . = .UC0 = I0XC = . = . = 令Q = . ,则UL0 = UC0 = QU 。    上式表明、RLC串联电路谐振时，电感与电容两端电压的有效值相等，且为总电

7、压有效值的Q倍。Q值由电路参数R、L、C决定，称为RLC串联电路的品质因素。一般Q可达100左右。Q的意义在于表示谐振时L或C元件上的电压是电源电压的多少倍。它是谐振电路的一个重要指标。由于Q =  =  =  (其中为谐振角频率)所以线圈的电阻R越小,电路消耗的能量也越少,则表示电路品质好,品质因数高；若线圈的电感L越大，储存的能量也就越多，而损耗一定时，同样也说明电路品质好，品质因数高。Q值越大，关于i的曲线就越尖锐，谐振电路的选频性能就越好。那么RLC串联电路谐振时，电感与电容两端电压到底在什么情况下获极大值呢？可从以下几个方面

8、进行分析:一、电路参数R、L、C一定，调节电源角频率：我们知道RLC串联电路的：阻抗为： Z =  =   电流的有效值为：I =  = 电感两端的电压为：UL = IXL =  .(1)看来UL是的函数。用求极值的方法，可求出UL的极大值。令=0，则有：=  = 0可得：=L=>0即电感元件两端的电压在谐振点之后获得极大值。    进一步的计算可得 < 0，所以 UL在=L时取的是极大值。由L = 可知： 当1->0，即Q&g

9、t;,且=L时，电感两端的电压达极大值。将L代入（1）式可得极大值ULm为：         ULm =  = 同理电容两端的电压为:Uc = IXc = . .(2)Uc是的函数.将Uc对求导,并令=0,由此可得到使Uc为最大值的角频率为:C  = 0  <0，即电容元件两端的电压在谐振点之前获得极大值。进一步的计算可得 < 0，所以 UC在=C时取的是极大值。由C  = 0  可知： 当1-

10、>0，即Q>,且=L时，电容两端的电压达极大值。将C代入（2）式可得极大值UCm为：         UCm=二、电源角频率0、电路参数R、C一定，调节电感使UL最大：由式UL = IXL = 可知 ，UL 也是电感L的函数，将UL对L求导，并令=0，则有：=  = 0可得使UL为最大值的电感量为：L =  = R2C +  而谐振时，由于L=，故可得谐振电感为LQ=。显然L>LQ，说明电感元件两端的电压在谐振点之后获得极大值。

11、与调节角频率得到的结论相符。三、电源角频率0、电路参数R、L一定，调节电容使Uc最大：由式Uc = IXc = . 可知，Uc是C的函数，将Uc对C求导，并令=0，可得使Uc为最大值的电容量为：C = 而谐振时，由于L=，故可得谐振电容为CQ = 。显然C<CQ ，说明电容元件两端的电压在谐振点之前获得极大值。与调节角频率得到的结论相符。由以上分析可以得出结论：1.在RLC串联电路中，如果Q >，则电感元件两端电压在角频率L=>0时，即在谐振点之后获极大值为：ULm= > QU 。2.在RLC串联电路中，如果Q >，则电容元件两端电压          在角频率C=0 < 0时，,即在谐振点之前获极大值为：UCm =  > QU 。3.在L=，C=0 的表达式中，如果电路&