高一数学教学资料 1.1.2《弧度制》

1、1.1.2 弧度制弧度制 一、角的大小度量一、角的大小度量1、角度制：角度制：1度的角度的角是怎样定义的呢？是怎样定义的呢？ 周角的周角的 为为1度的角。度的角。 1360今天我们来学习另一种在数学和其他学科中今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度常用的度量角的制度弧度制弧度制。 2. 圆心角、弧长和半径之间的关系：圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的转的过程中射线上的点点必然形成一条必然形成一条圆弧圆弧。 ABA Brr=定值定值， 结论：结论：可以用圆的可以用圆的半径半径作单作单位去位去

2、度量角度量角。规定规定：长度等于半径长的圆弧：长度等于半径长的圆弧所对的圆心所对的圆心角叫做角叫做1弧度的角弧度的角，弧度记作，弧度记作rad。这种以弧。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做度为单位来度量角的制度叫做弧度制弧度制。 注：今后在用弧度制表注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字示角的时候，弧度二字或或rad可以可以略去不写略去不写。 4. 弧度制与角度制相比：弧度制与角度制相比：(1) 弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”为为单位单位的度量角的单的度量角的单位制，角度制是以位制，角度制是以“度度”为单位来度量角的为单位来度量角的单位制；单位制；1弧度弧度1 ； （2）1弧度弧度是弧长等

3、于半径长的圆弧所对的圆是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而心角的大小，而1度是圆周度是圆周 的所对的圆心的所对的圆心角的大小；角的大小； 1360（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；数表示，而角度制是六十进制； 5. 弧度制与角度制的换算弧度制与角度制的换算平角平角= rad、周角、周角=2 rad、直角、直角= /2 rad 1 =rad0.01745rad18018057.3057181 rad二、弧长与扇形的面积二、弧长与扇形的面积1. 用弧度制表示用弧度制表示弧长弧长及及扇形面积扇形面积公式：公式： 弧长弧长等

4、于弧所对的圆心角（的弧度数）等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积的绝对值与半径的积. 弧长公式：弧长公式：lrlr或2、扇形面积公式、扇形面积公式 21122SlRR其中其中l是扇形弧长，是扇形弧长，R是圆的半径。是圆的半径。证明：设扇形所对的圆心角为证明：设扇形所对的圆心角为n(rad)，则，则2213602nSRR又又 R=l，所以，所以lRS21例例3. 填写下表：填写下表：角度030456090120弧度角度角度270300315330360弧度026432233456327654435374116例例4. 扇形扇形AOB中，中， 所

5、对的圆心角是所对的圆心角是60，半径是半径是50米，求米，求 的长的长l（精确到（精确到0.1米）。米）。ABAB解：因为解：因为60= ,所以所以3l=r= 5052.5 .3答：答： 的长约为的长约为52.5米米.AB例例5. 在半径为在半径为R的圆中，的圆中，240 的中心角所对的的中心角所对的弧长为弧长为 ，面积为，面积为2R2的扇形的的扇形的中心角等于中心角等于 弧度。弧度。解：（解：（1）240= ，根据，根据l=R，得，得4343lR（2）根据）根据S= lR= R2，且，且S=2R2.2121所以所以 =4.1825的终边相同，且绝对值最小的角的度的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。数是，合弧度。 解：解：1825=536025， 所以与角所以与角1825的终边相同，且绝对值的终边相同，且绝对值最小的角是最小的角是25.合合536例例7. 已知一半径为已知一半径为R的扇形，它的周长等于的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长解：周长=2