浙江大学经济学院博士生博弈论课程习题及答案

1、纳什均衡1在下表所示的战略式博弈中，找出重复删除劣战略的占优均衡表1.1S1S2LMRU4,35,16,2M2,18,43,6D3,09,62,8首先，找出S2的劣战略。对于S2，M策略严格劣于R策略，所以M为严格劣策略。删除后M再找出S1的劣战略，显然对于S1而言，M策略和D策略严格劣于U策略，所以M和D为严格劣策略。删除M与D后找占优均衡为（U,L）即，（4，3）。2求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡表1.2S1S2和S3X3Y3X2Y2X2Y2X10,0,06,5,44,6,50,0,0Y15,4,60,0,00,0,00,0,0首先看S1选择X策略。如果S2同样选择X策略，

2、那么S3一定选择Y策略；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择X策略，因此（X，X，Y）是一个纳什均衡；如果S2选择Y策略，那么S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择Y策略，因此，（X，Y，X）是一个纳什均衡。其次看S1选择Y策略。如果S2选择X策略，S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择X策略，因此（Y，X，X）是一个纳什么均衡。如果S2选择Y策略，S3选择Y策略是理性的，如果S3选择X，S2将选择X，这样（Y，Y，X）将不是一个纳什均衡；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择Y策略，因此（Y，Y，Y）是一个纳什均衡。所以该博弈式的纯战

3、略纳什均衡有4个：（X，X，Y）（X，Y，X）（Y，X，X）（Y，Y，Y）。3（投票博弈）假定有三个参与人（1、2和3）要在三个项目（A、B和C）中选中一个。三人同时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间Si=A，B，C。得票最多的项目被选中，如果没有任何项目得到多数票，项目A被选中。参与人的支付函数如下：U1(A)=U2(B)=U3(C)=2U1(B)=U2(C)=U3(A)=1U1(C)=U2(A)=U3(B)=0求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。首先：将上述博弈过程转换为战略式博弈矩阵。12和3A3B3C3A2B2C2A2B2C2A2B2C2A12,0,12,0,12,0,12,0

4、,11,2,02,0,12,0,12,0,10,1,2B22,0,11,2,02,0,11,2,01,2,01,2,02,0,11,2,00,1,2C12,0,12,0,10,1,22,0,11,2,00,1,20,1,20,1,20,1,2由上，若参与人1选择A策略。如果参与人2同样选择A策略，那么参与人3选择ABC策略是无差异的，但均衡策略只能是参与人3选择A策略，因此（A，A，A）是一个纳什均衡。如果参与人2选择B策略，参与人3选择AB策略是差异的，但均衡策略只能是其选择A，因此（A，B，A）是一个纳什均衡。如果参与人2选择C策略，参与人3将选择C策略；同样，如果参与3选择C策略，参与人

5、2也将选择C策略。因此，（A，C，C）是一个纳什均衡。若参与人1选择B策略。如果参与人2选择A策略，那么参与人3将选择A或C策略；但当参与人3选择C策略时，参与人2的最优策略是选择B，当其选择A策略时，参与人2将选择B策略，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人2选择B策略，参与人3将选择ABC是无差异的，但其选择A和C都不满足纳什均衡，因此当其选择A和C时，参与人1将选择A或C，因此有当参与人3选择B策略时，才存在纳什均衡（B，B，B）。如果参与人2选择C策略，参与人3也将选择C策略；但参与人3选择C策略时，参与人2将选择B策略，因此，这时不存在纳什均衡。若参与人1选择C策略。如果参与人2

6、选择A或B策略，那么参与人3将选择C策略；但当参与人3选择C策略时，参与人1的最优策略是选择B，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人2选择C策略，参与人3将选择C 策略；因为这时的AB策略都不满足纳什均衡，因此，存在一个纳什均衡（C，C，C）。所以，该博弈的所有纯战略纳什均衡有5个，分别是（A，A，A）（A，B，A）（A，C，C）（B，B，B）（C，C，C）。4求解以下战略式博弈的所有纳什均衡表1.3S1S2LMRT7，22，73，6B2，77，24，5首先考虑纯纳什均衡。如果S1选择T战略S2将选择M战略S1选择B战略S2将选择L战略S1选择T战略因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。所以我

7、们考虑寻找混合战略纳什均衡。因此，S1可以对T与B策略进行混合，而S2则可以对L、M、R中的任意至少两个策略进行选择，因此，设S1选择T策略的概率为，S2选择L策略的概率为，M策略的概率为，则可能有以下情况：（1）S2选择L、M和R的混合战略。对于S2而言，如果三种战略同时混合，必然满足三种战略的期望效用相同，因此，这一混合战略能否成立取决于是否满足以下两个方程：该方程组无解，所以S2无法同时采用L、M和R同时混合的战略（2）S2选择L和M混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，因此，需要满足以下方程：，解得：1/2。但是将1/2代入等式可得效用为9/2；同时，将1/2

8、代入可得其值等于11/2。9/2<11/2表明L和M的混合战略的期望效用小于R战略的期望效用，因此，这一混合战略也不满足纳什均衡。（3）S2选择L和R混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，因此，需要满足以下方程：，解得：1/3。同样，将1/3代入等式可得16/3；将1/3代入可得其值等于13/3。16/3>13/3表明L和R的混合战略的期望效用大于M战略的期望效用，因此，这一混合战略满足纳什均衡。另一方面，计算S1的混合战略，需要满足以下等式：，解得：1/2，因此这一混合战略的纳什均衡为。（4）S2选择M和R的混合战略。显然，这一战略不可能是纳什均衡战略，

9、对于S2来说，如果放弃了L战略，那么对S1而言T战略将是劣战略，其将直接选择B战略，这时S2只能选择R战略，S1的反应只可能是L战略，这显然与假设矛盾。5模型化下述划拳博弈：两个朋友在一些划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子、老虎、鸡和虫子。输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令，如果一个打败另一个人，赢者的效用为1，输者的效用为1；否则效用为0。给出以上博弈的战略式描述并求出所有的纳什均衡。（1）以上博弈的战略式表述为12杆子老虎鸡虫子杆子0，01，10，01，1老虎1，10，01，10，0鸡0，01，10，01，1虫子1，10，01，10，0（2）显然，这一博

10、弈战略并不存在纯纳什均衡。假定参与人1选择杆子，老虎，鸡和虫子四种战略的混合战略，其概率分别为a，b，c和d，且abcd1。如果这四种战略同时混合，必须使得这四种战略的期望效用相同，因此，必须满足以下四个方程：解得：abcd，所以abcd1/4。同理可得参与人2的战略，所以该博弈的唯一混合策略纳什均衡是参与者以1/4的概率随机选择各自的四个纯战略。6一群赌徒围成一圈赌博，每个人将自己的钱放在边上（每个人只知道自己有多少钱），突然一阵风吹来将所有的钱混在一起，使得他们无法分辨哪些钱是属于自己的，他们为此发生了争执，最后请来一位律师。律师宣布这样的规则，每个人将自己的钱数写在纸上，然后将纸条交给律

11、师，如果所有人要求的钱数加总不大于已有钱的总数，每个人得到自己要求的那部分，剩余部分归律师；如果所有人要求的钱加总大于已有钱的总数，则所有的钱归律师所有。写出这个博弈每个参与人的战略空间与支付函数，求出所有的纳什均衡。（假设钱的总数为M，M为共同知识）。博弈参与人的战略空间是，参与人i的支付函数是： ， 0， 因此，对于参与人i来说，只要采用都能实现自己的最大收益，也就是说，在该博弈中有着多个纳什均衡，所有使得，成立的战略组合都是该博弈的纯战略纳什均衡。7考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果

12、一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2<W2<2W1，则问： a写出以上博弈的战略式描述 b求出以上博弈的所有纳什均衡（1）该博弈的战略式描述为甲乙申请企业1申请企业2申请企业1W1，W2申请企业2W2，W1（2）若甲选择企业1，乙将选择企业2；若乙选择企业2，甲必然选择企业1，因此，（企业1，（企业2，企业1）是一个纯战略纳什均衡。若甲选择企业2，乙将选择企业1；若乙选择企业1，甲必然选择企业2，因此，（企业2，（企业2，企业1）也是一个纯战略纳什均衡。（3）假定甲选择企业1的概

13、率为，选择企业2的概率为；乙选择企业1的概率为，选择企业2的概率为，则甲选择企业1的期望收益为，选择企业2的期望收益为，由二者相等可得乙选择两个企业的概率分别为：，。同理可得甲选择两家企业的概率：，。因此，最后的混合均衡是两学生均以的概率决定向企业1与企业2提出申请。8考虑存在事前交流的性别战博弈。在丈夫决定去看足球还是芭蕾之前，丈夫有机会向妻子传递以下信息：我们在足球场见面，或者我们在芭蕾馆见面。当以上信息交流完成以后，两者同时决定去足球场还是去芭蕾馆。博弈支付如下：如果两者在足球场见面，则丈夫获得3，妻子获得1；如果两者在芭蕾馆见面，则丈夫获得1，妻子获得3；在其他条件下两者的支付都是0。

14、 a给出以上博弈的战略式描述 b求出所有的纯战略纳什均衡，并讨论哪个均衡更加合理假定丈夫向妻子传递了信息，由于他不一定必须遵守这个决定，因此，其战略可以有四种：。在此第一个大写字母表示丈夫给出的信息是去足球场，而实际上也是去了足球场，其他同理。而妻子的战略空间是：，其中第一个字母表示丈夫建议去足球场下妻子做出的决策，而第二个字母表示丈夫建议去芭蕾舞馆的情况下妻子做出的决策。因此战略式表述是：丈夫妻子3，13，10，00，00，00，01，11，13，10，03，10，00，01，10，01，1这个博弈的纯战略均衡有很多，比如，丈夫发出在足球场见面的信息，但是他去了芭蕾馆，而妻子则不管丈夫什么建

15、议都去了芭蕾馆；，丈夫发出去芭蕾馆见面的信息，但是他去了足球场，而妻子也去了足球场；，丈夫发出去足球场见面的信息，他也去了足球场，妻子也跟着去了足球场，即她跟着丈夫的建议而行动。这个均衡是一个聚点均衡，是更合理的均衡。9（库诺特博弈）假定有n个库诺特寡头企业，每家企业生产成本函数为cq，市场逆需求函数是P=a-Q，其中P是价格，Q=qi是总供给，a是大于c的常数。企业i的战略是选择自身产量qi最大化自己的利润，即其他企业的产量q-i；选择自身产量最大化自己的利润。求解以上博弈的纳什均衡，以及均衡产量和价格如何随n的变化而变化。根据已知条件可以设厂商i的利润函数为：。将代入上式可得：，因此一阶条

16、件为：，解得各厂商对其它厂商产量的反应函数为：。由n个厂商之间的对称性，可知q1q2qn，代入上述反应函数可解得：。因此，该博弈的纳什均衡是每个厂商都生产产量。所以随着n的增加，每个厂商的产量是下降的。另外，因为市场的总供给Q=，所以市场价格。 10（伯川德博弈）假定两个寡头企业之间进行价格竞争，两企业生产的产品是完全替代的，并且两家企业的生产成本函数为cq。市场逆需求函数是P=a-Q，Q=qi是总供给，a是大于c的常数。求出企业i所面临市场需求以及纳什均衡时的价格。假定消费者从价格低的厂商购买产品，如果两企业价格相同，就平分市场，如果企业i的价格高于另一企业，则企业i的需求量为0，反之，其它

17、企业的需求量为0。因此，企业i的需求函数由下式给出：从上述需求函数的可以看出，企业i绝不会将其价格定得高于其它企业；由于对称性，其它企业也不会将价格定的高于企业i，因此，博弈的均衡结果只可能是每家企业的价格都相同，即pipj。但是如果pipj>c那么每家企业的利润，因此，企业i只要将其价格略微低于其它企业就将获得整个市场的需求，而且利润也会上升至，。同样，其它企业也会采取相同的策略，如果此下去，直到每家厂商都不会选择降价策略，此时的均衡结果只可能是pipjc。此时，企业i的需求函数为。11（差异价格竞争）假定两个寡头企业进行价格竞争，但产品并不完全相同，企业i的市场需求，两家企业的生产成

18、本函数为cq，求两个寡头同时选择价格时的纳什均衡。企业i的利润函数为，由一阶条件可得企业i的反应函数为。考虑到对称性，同样方法可以得到企业j的反应函数为，联立此两方程可得两个寡头同时选择价格时的纳什均衡为：。12构造一个例子说明博弈中可能存在如下情况：一个参与人的选择空间越打大，他的处境越差。习题1中去掉R战略。13如果重复剔除严格劣战略只剩下唯一的战略组合，证明该组合必然是唯一的纳什均衡。证明：在n个博弈方的博弈G=S1,Sn;U1,Un中，如果使用重复剔除严格劣战略方法排除了（S1*,Sn*）以外的所有策略组合，则（S1*,Sn*）一定是G的唯一的纳什均衡。 首先，假设严格劣战略已经剔除了

19、除（S1*,Sn*）以外的所有策略组合，但（S1*,Sn*）却不是一个纳什均衡。表明至少存在某个博弈方i和他的某个策略空间Si中的策略si，使得ui(s1*,si-1*, si*, si+1*,. sn*)< ui(s1*,si-1*, si, si+1*,. sn*) （a） 但是，由于（S1*,Sn*）是经过严格劣战略反复剔除后唯一留下的策略组合，因此si必然属于被严格劣战略剔除的战略，即，在严格劣战略剔除过程中的某个阶段，必然存在某个当时还未被剔除的si/，使得ui(s1,si-1, si, si+1,. sn)< ui(s1,si-1, si/, si+1,. sn) （b

20、） 对由在此尚未被剔除的其他博弈方的策略构成的所有可能的策略组合(s1*,si-1*, si*, si+1*,. sn*)都成立，即ui(s1*,si-1*, si, si+1*,. sn*)< ui(s1*,si-1*, si/, si+1*,. sn*) （c） 如果si/就是si*，即si*是相对于si的严格非劣战略，则（a）和（c）相矛盾，从而（S1*,Sn*）不是纳什均衡的假设不能成立，如果si/和si*不同，则si/在劣战略的剔除过程中也必须被排除，可进一步推论肯定在某阶段存在si/是相对于si/的非劣战略，用si/ 和si/分别替代si 和si/，（b）和（c）式仍然必须成

21、立，如果si/就是si*，则与上相同也证明了命题，否则再进一步推论到类似的si/的存在。由于最终只能有si*在严格劣战略剔以后不被消除，且博弈方的策略是有限的，因此，不断重复上述过程，总会找到某个si（n）就是si*，从而证实在假设下必然导致（b）和（c）的矛盾，进而证明题目。子博弈精练纳什均衡1用战略式表示下图的扩展式博弈（Myerson书中习题2.4）12a2b2W1Y19，10/30，3W1Z120/3，16/32/3，4X1Y119/3，410/3，5X1Z14，64，62在市场进入模型中，市场逆需求函数为p13-Q，进入者和在位者生产的边际成本都为1，固定成本为0，潜在进入者的进入成

22、本为4。博弈时序为：在位者首先决定产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定是否进入；如果不进入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。求解以上博弈精炼纳什均衡。在市场进入模型中，设在位者选择产量，潜在进入者产量为，如果潜在进入者进入，则最优化为：。一阶条件下，求得。在位者选择产量，在潜在者进入的情况下，其最优化为。由一阶条件可得，因此，。此时，。如果在位者设置壁垒，使得潜在进入不进入，即，代入，解得，此时，。因为，所以在位者将选择产量8，即最后的精练子博弈纳什均衡是在位者选择产量8，潜在进入者不进入。3两位投资者各自将D存在银行，而银行则将他们资金用于长期投资。本博弈的规则如

23、下：在第一期，两位投资者同时决定是否收回资金。如果任何投资者收回资金，则项目被迫清算，项目收益为2r。此时抽取资金投资者收益为D，而未抽回资金投资者收益为2rD；如果两位投资者都抽回资金，则投资者收益都为r；如果两者都未抽回资金，博弈进入第二期。第二期项目成熟且项目收益为2R。此时如果两投资者都抽回资金则收益为R；如果只有一位抽取资金，抽回资金投资者收益为2R-D，未抽回为D；如果两者都不抽回资金则收益为R，假定R>D>r>D/2，求解子博弈精炼纳什均衡。首先考虑第二期博弈，可以用如下战略式来表示：抽不抽抽不抽用划线法可知，若第一期不抽回，则第二期的均衡是（抽回，抽回）。考虑

24、第一期的博弈，用战略式表示如下：抽不抽抽不抽用划线法可知存在两个均衡（抽回，抽回）与（不抽回，不抽回）。因此，该博弈的子博弈精练纳什均衡有两个：（第一期抽回，第一期抽回）与（第一期不抽回第二期抽回，第一期不抽回第二期抽回）。4在囚徒困境中，“针锋相对”战略定义为：（1）每个参与人开始选择“抵赖”；（2）在t阶段选择对方在t-1的行动。假定贴现因子1，证明以上战略不是子博弈精炼纳什均衡。假定两囚徒博弈的战略式表述如下：坦白抵赖坦白6，60，8抵赖8，01，1 给定针锋相对战略，如果参与人j坚持针锋相对战略，参与人i没有积极性首先坦白，因为如果他选择抵赖，他的支付是：，而若选择坦白然后再转向针锋相

25、对战略，则他的支付是：，前者严格大于后者。因此，在合作路径上针锋相对战略是纳什均衡。但是，如果参与人j首先选择坦白，参与人i并没有积极性惩罚他，因为如果惩罚，将得到的支付是，而如果原谅则可以连续得到1的支付；类似的，参与人i也没有积极性惩罚自己。所以在惩罚路径上，针锋相对战略不是子博弈纳什均衡。5如果以下重复博弈两次，支付（4，4）是否能作为子博弈精炼纳什均衡结果出现，请说明理由。假定贴现因子1。S1S2LCRT3，10，05，0M2，11，23，1B1，20，14，4该静态博弈有两个纯战略纳什均衡（T，L）和（M，C），其支付均小于（B，R）带给两方的收益，因此，在两次博弈中，双方有可能选择

26、（B，R）。由于对而言，（B，R）带来的是最大收益，因此，他没有偏离的动机。然而仍可以选择T战略已获得更高的收益，因此可以设置如下制约行为的触发战略：第一阶段选择B策略，第二阶段选择T策略；：第一阶段选择R策略；在第二阶段，如果第一阶段的结果是（B，R），则采取L，否则采取C。如此，由于从第一阶段选择B第二阶段选择T的战略中获得的收益为437大于第一阶段偏离选择T，第二阶段选择M的收益516，所以也没有动机偏离。因此，（B，R）将作为二阶段博弈的子博弈精练纳什均衡结果在第一阶段出现。6考虑如下战略式博弈重复两次，在第二阶段开始时能够观察到第一阶段的博弈结果，假定贴现因子是1，则x满足什么条件的

27、情况下（4，4）可以作为第一阶段博弈的均衡结果。S1S2X2Y2W2Z2X12，2x，01，00，0Y10，x4，41，00，0W10，00，00，30，0Z10，10，11，13，0考虑两种情况，（1）若，则单阶段博弈的纳什均衡为，构造如下战略，若第一阶段出现，则第二阶段选择；若第一阶段偏离，选择，则第二阶段选择；若第一阶段偏离，选择，则第二阶段选择。如此，对于与而言，第一阶段出现的条件是，其总收益426将不小于他们在第一阶段选择其他战略下的收益x0x，即。即，在第一阶段出现的条件是。（2）当时，单阶段的纳什均衡为，则完全有可能在第一阶段出现，因为与都没有偏离的动机。综上，在第一阶段出现的条

28、件是。7如下的双寡头市场战略性投资模型：企业1和企业2目前的单位生产成本都c2。企业可以引进一项新技术使单位生产成本降至c1，而该项技术需要的投资为f，企业2可以观察到企业1的投资决策，在企业1做出是否投资的决策之后，两个企业同时选择产量。在以上两阶段博弈中市场逆需求为p14-Q，问f取什么值时，企业1将投资引进新技术。若企业1引进新技术，则双方企业的利润函数为 一阶条件：，与。联立可得。 这时企业1的利润为。 若企业1不引进新技术，则双方企业的利润函数为：一阶条件：，与。联立可得。此时企业1的利润为。因此，企业1引进新技术的必要条件必须满足，即。8考虑一个政策采纳博弈，存在两个参与人，政策建

29、议者与政策采纳者。政策建议者首先剔除政策建议s1，并且s1R。政策采纳者观察到s1决定是否采用，如果采用则执行政策s1，否则执行s0。现在假定政策建议者效用函数是，而政策采纳者的效用函数是，其中为执行的政策，b为外生参数，表示两者之间的利益冲突。问以上博弈的精练纳什均衡。对政策采纳者而言，最优化问题是：，所以政策的采用者最有可能采用的是接近的。所以， 若 若对于政策建议者而言，最优化问题是：，因此，因此重点考虑的情况，有两种：（1） 若，则，；（2） 若，则，。所以，若，子博弈纳什均衡为，；若，子博弈纳什均衡为，。9考虑一个承诺博弈，存在两个参与人。参与人2首先行动，选择行动，的取值范围是。参

30、与人1观察到参与人2的行动，决定向参与人2转移支付t，但是参与人1也可以事先确定支付规则。现在假定参与人2的效用函数为，参与人1的效用函数为，其中表示参与人采取行动的成本，且时为0，时为1/2。（1）如果参与人1没有承诺能力，可以随意修改事先宣布的支付规则，则此时的子博弈精练纳什均衡。（2）如果参与人1有承诺能力，只能按照事先确定的支付规则进行支付，则此时的子博弈精练纳什均衡。（1）若参与人1没有承诺能力，则该博弈的行动顺序便为参与人2先行动，而后参与人1再行动。在这种情况下，t是可以随便改变的。对于参与人1而言，其最优化问题为：，最大时，。对于参与人2而言，其最优化问题为：，把参与人1的最优

31、条件代入可得：，最优化得，此时，。所以该博弈的子博弈精练纳什均衡为：，。（2）若参与人1有承诺能力，则它在最优的情况下应该支付以使得尽可能偏向1，由于，所以在取的情况下， 。当时，。所以该博弈的子博弈精练纳什均衡是：参与人1承诺，结果是， 。10考虑电力设备和一个发电厂之间的两阶段博弈，在第一阶段设备厂决定是否投资以及投资多少；在第二阶段，双方决定是否交易以及在什么价格交易。在此以C代表设备的生产成本，V代表设备对电厂的价值，X代表投资额。假定C时X的递减凸函数，V和X无关，VC（0）并且X时专用性投资，对于其他发电厂而言没有任何价值，求下述情况下的精练纳什均衡时的投资水平。（1）没有事前合同

32、，双方根据纳什讨价还价决定成交价格。（2）事前签订合同，规定设备厂有权单方面决定价格，发电厂只有接受或者拒绝的选择。（3）事前签订合同，规定发电厂有权单方面决定价格，设备厂只有接受或者拒绝的选择。（1）在没有事前合同的情况下，纳什讨价还价解为每个参与人从中获得剩余的1/2，即成交价格是。在这种情况下，投资应该是：。（2）若设备厂有权单方面决定价格，则剩余肯定完全被设备厂独享，即设备厂的利润为，而发电厂的利润为0。在这种情况下，投资应该是：。（3）若发电厂有权单方面决定价格，则剩余肯定完全被发电厂独享，即发电厂的利润为，而设备厂的利润为0。在这种情况下，投资应该是：。11两个厂商在市场进行价格竞

33、争，厂商1首先确定价格水平，厂商2在观察厂商1的价格水平之后决定价格水平。厂商1和厂商2的产品是完全同质的，且市场逆需求函数是P=a-Q，问以下条件下的精炼纳什均衡的价格： （1）如果厂商1和厂商2的生产成本函数为cq（c<a） （2）如果厂商1和厂商2的生产成本函数为q2/2（1）厂商2的最优化问题是： 0 所以；同理可得，所以子博弈精练纳什均衡为。（2）厂商2的最优价格战略为：厂商2的最优产量决策：，（），可得，（）。厂商2的利润。给定企业2最优价格战略，企业1的最优价格战略是：,（）。由一阶条件可得或者另外，：（1）如果，则，当时，也最大，这是不可能的；（2）如果，则，一阶条件下可

34、求得。所以子博弈精练纳什均衡为。12在霍特林价格竞争模型中，两个厂商的生产边际成本都是c，运输成本参数为t。博弈进行两期，在第一阶段两个厂商同时在线性城市上选择自己的位置；第二阶段在观察到两者位置后选择自己的价格。（1）如果运输成本为线性函数，证明以上博弈不存在纯战略精炼纳什均衡（2）如果运输成本为二次型函数（运输成本为tx2），证明以上博弈的精炼纳什均衡的结果是两个厂商位于城市两端。（1）假设运输成本为线性函数；并假设厂商1和厂商2的价格分别为p1和p2，则：x点到厂商1和厂商2购买的最终支付成本相等，即满足：，可得：。厂商1和厂商2的最优价格应该满足：，。求一阶条件可得：，。因此，因此，不

35、符合实际。因此不存在纯战略精练纳什均衡。 （2）运输成本为二次型函数，设为tx2；并假设厂商1和厂商2的价格分别为p1和p2，则：x点到厂商1和厂商2购买的最终支付成本相等，即满足：，可得：。厂商1和厂商2的最优价格应该满足：，。求一阶条件可得：，。给定最优价格，让我们确定最优位置。将p1和p2分别代入利润函数中可得，。因此， 根据上述条件可知，只要，厂商间的利润将不对称，这时厂商必然将对其位置进行调以使得利润相等，最终调整的结果一定是使得，显然，当时，双方的利润要大于的结果，因此最终的精炼纳什均衡必然使得，即厂商位于城市的两端。13考虑两个国家的关税模型，每个要家只有一家企业，其单位生产成本

36、都为c，每个国家市场逆需求函数为。博弈时序如下。第一阶段两个国家政府同时选择税收水平ti；第二阶段两个国家的企业在观察税收水平ti之后，同时选择产量水平以及供应本国市场产量hi和出口ei。假定两个企业生产产品完全同质，以上博弈的子博弈精炼纳什均衡结果。给定关税水平，则两企业的最优为。企业i的利润最大化可拆分为在国内与国内两个市场上的利润最大化，即国内市场产量满足：，国际市场上的出口量满足：。假设：，则可得，。同理可得与，如此解得：。下面给定企业的最优产量水平，求解最优关税水平。此时，对于国家i而言要实现其福利水平最大化，则要求实现居民消费者剩余、企业利润和关税收入总和的最大化，即，（）。即：。

37、解一阶条件得。由此可得子博弈精炼均衡为（）。 14在三寡头的市场中，市场的逆需求函数，每家企业的不变边际成本为c，固定成本为0。如果企业1首先选择产量，企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量，则均衡时的市场价格。（1）给定企业1产量，求解企业2和企业3同时选择产量时的价格。我们有三家企业的利润函数：，。求解企业2与企业3的一阶条件，有，。可得。 给定企业2与企业3的产量，企业1的最优满足：，得到。所以，均衡时的市场价格为：。（2）给定企业1的价格为，企业2与企业3的最优满足： 若 0 若所以，。给定企业2与企业3的选择，企业1的最优满足： 若 0 若 因此，若，则，；若，不生产，可见企

38、业1的最优选择是。因此，最优的子博弈精练纳什均衡是：。15考虑两个工人之间的锦标赛。每个工人的生产函数，其中表示产量，表示努力水平，表示随机干扰项。博弈时序如下：第一阶段，企业指定锦标赛中赢者工资和输者；第二阶段工人观察工资的规则后同时选择努力水平；第三阶段产量得以实现，工资支付。企业为风险中性，工人的效用的函数，工人的保留效用为0。是服从均值为0，方差为的正态分布，和独立。问在对称均衡时，和为多少。假定工资水平已定，赢者的工资为，输者工资为，则工人努力下的最优收益满足：求一阶条件可得：。由于，考虑对称均衡，则一阶条件可以化为：。给定工人的最优选择，企业的最优选择满足：，由于在对称均衡的情况下

39、，每个工人获胜的概率是1/2，所以，该最优存在约束条件：。特别的，在最优的情况下，等号成立，因此，问题转化为，一阶条件为。代入工人的一阶条件，可得，联立企业最优的约束条件可得。16有n个完全相同且每个企业的生产函数为cq，市场需求Q=a-p，假定博弈重复无穷次，每次每个企业的定价和产量都能被下一阶段所有企业观察到，每个企业都使用“触发战略”。假定每个企业的贴现因子都相同，问在以下条件下，垄断价格作为子博弈精炼纳什均衡结果出现的最低贴现因子：（1）如果每个阶段企业之间进行古诺博弈，则最低贴现因子。（2）如果每个阶段企业之间进行伯川德博弈，则最低贴现因子。（1）由于古诺博弈的阶段均衡是，此时的利润

40、为；若各家企业合作垄断市场，则此时的最优产量是，可求得，此时的利润为，此时若有企业i背叛，其产量就是，其收益为。下面我们来看重复博弈下的古诺博弈。在这个博弈中，有两个博弈路径，我们分别进行讨论。首先，在惩罚路径上，由于每个阶段参与企业选择的都是最优的产量，因此能够获得最优的收益，因此是均衡的。其次，在合作路径上，只要合作的收益大于背叛的收益，则均衡也是可以实现的，这要求：，解得。（2）伯川德博弈的阶段均衡是，此时参与者的利润均为0。若各企业合作，则此时的最优价格是：，此时，则，利润为。而若有企业i背叛，则其选择价格，其产量为Q，利润为。下面我们来看重复博弈下的伯川德博弈，在这个博弈中，也有两个

41、博弈路径，我们分别讨论如下：首先在惩罚路径上，由于每个阶段的企业选择都是眼前最优，因此，它能够实现均衡。其次，在合作路径上，只要合作的收益大于背叛的收益，则均衡也是可以实现的，这就要求：，求得。（3）伯川德博弈中的最低贴现因子小于古诺博弈中的贴现因子的原因在于其惩罚要严重的多，因此其对于耐心的要求也就要相对较小。贝叶斯均衡1海萨尼（1968）认为博弈参与人关于博弈结构的不确定性总是可以归为三类不确定性：a.参与人关于其他参与人战略空间的不确定性；b.参与人关于博弈结果的不确定性，或者说从战略组合SY之间映射的不确定性；参与人关于其他参与人从某个博弈结果得到效用的不确定性，或者说从结果YV的效用

42、空间的不确定性。（1）证明关于某个参与人是否参与博弈可以归结为以上不确定性。（2）证明参与人关于某个参与人是否知道某个消息的不确定性可以归结为以上三类不确定性。（3）证明以上三类不确定性都可以归结为对参与人效用函数的不确定性，即对于从战略组合到参与人的效用空间的映射的不确定性。（1）某个参与人是否参与博弈可以看成其战略空间的不确定性，因为，如果一个参与人没有参与博弈可以看成其选用的战略是不在博弈的战略空间中的。（2）某个参与人i不知道参与人j是否知道某个具体事件e是否发生往往可以看成是战略空间的不确定性，即参与人i可能不知道参与人j的战略空间。究其原因，从博弈论的角度看，此类情形的关键事实是参

43、与人i不能判定，参与人j是采用当事件e确定发生时所用的包含一组行动的战略，还是采用当事件e不发生时所用的包含另一组行动的战略。这就是说，这种情况本质上等同于参与人i不知道相关战略对参与人j的可行性。（3）首先，我们看第二种情况，它可以转化成效用函数的不确定性。很简单，这是因为支付本身就是博弈结果的函数，所以博弈结果的不确定性肯定可以转化为支付函数的不确定性。接着，我来看第一种情况下，战略空间的不确定性也可以转化为效用函数的不确定性。因为，从博弈论的角度看，一个战略对参与人i不可行的假设等价于参与人i从来不会实际采用该战略（即使该战略是实际可行的）。因为，无论其他参与人可能采用什么样的战略，参与

44、人i如采用战略总会得到非常低（如）的支付。所以，所有的不确定性都可以归结为对参与人效用函数的不确定性。 2考虑如下贝叶斯博弈：（1）自然决定支付矩阵（a）或（b），概率分别为u和1-u；（2）参与人1知道自然的选择，即知道自然选择支付矩阵（a）或（b），但是参与人2不知道自然的选择；（3）参与人1和参与人2同时行动。给出这个博弈的扩展式表述并求纯战略贝叶斯均衡。 表3.1.aS1S2LRT1，10，0B0，00，0表3.1.bS1S2LRT0，00，0B0，02，2 在该博弈中，S1的战略是私人信息类型的函数，当自然选择a时，S1选择T，当自然选择b时，S1选择B。S2的战略则根据期望利益最大

45、化进行决定。S2选择L的期望收益是u×1（1u）×0u，选择R的期望收益是u×0（1u）×222u。由两种战略的无差异可得u2/3。所以当u>2/3时，S2选择L，当u<2/3时，S2选择R。因此该博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡是：S1在自然选择a时，选择T，在自然选择b时，选择B；S2在u>2/3时，选择L，在u<2/3时，选择R。3考虑如下扰动的性别战略博弈，其中ti服从0，1的均匀分布，,t1和t2是独立的，ti是参与人i的私人信息。（1）求出以上博弈所有纯战略贝叶斯均衡 （2）证明当时，以上贝叶斯均衡和完全信息的混合战略纳什均

46、衡相同 S1S2足球芭蕾足球3+，1，芭蕾0，01，3+构造一个贝叶斯均衡：存在一个t1*0，1和一个t2*0，1。如果t1t1*，男的将选择足球赛；如果t2t2*，女的将选择芭蕾舞。因此，男的选择足球的概率是（1t1*），女的选择芭蕾的概率是（1t2*）。现在我们来求解t1*和t2*。给定男的战略，女的选择足球和芭蕾的期望效用分别为：（1t1*）×1t1*×0（1t1*）与（1t1*）×t2t1*×（3t2）（3t1*t2）。因此t2*满足：（1t1*）（3t1*t2*）。因为博弈是对称的，在均衡的情况下，t1*t2*，解上述条件可得：t*1/（4)。

47、因此，贝叶斯均衡是：（1）男参与人：如果t1t*，男的将选择足球赛，否则选择芭蕾；如果t2t*，女的将选择芭蕾舞，否则选择足球。给定不完全信息，男方认为女方选择芭蕾的概率和女方认为男方选择足球的概率为：11/（4)。当0时，上述概率收敛于3/4，即在完全信息下的混合战略的概率：男的以3/4的概率选择足球，女的以3/4的概率选择芭蕾。4考虑如下战略式博弈的均衡，存在的唯一均衡就是每个参与人i都以1/2的概率选择H。利用海萨尼纯化定理，构造一个扰动的不完全信息博弈，其纯战略贝叶斯纳什均衡收敛于以下完全信息的混合战略均衡。S1S2HTH1，11， 1T1， 11，1假设的私人信息为，的私人信息为，。

48、则该博弈的战略式描述变为：HTHT假定当时，选择H；当时，选择T。因此，选择H的概率是，选择T的概率是；选择H的概率是，选择T的概率是。对于而言，选择H与T的期望收益分别为：与，由此可得在时，会选择H。同理，在时，会选择T。由上述两个结论联立，并考虑的对称均衡可得，因此，可得，在时，。由于，所以，因此该博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡收敛于其完全信息下的混合战略均衡。5在私人价值的一级价格拍卖中是贝叶斯纳什均衡我，其中bi是参与人i的叫价，vi是参与人i的类型。利用显示原理构造一个直接机制，其均衡结果与以上均衡完全相同。构造一规则如下： 1 0 0 则要证明的就是是贝叶斯纳什均衡，也就是说给定其他人

49、如实报价i是否需要如实报价。由于效用函数是：。一阶条件是：，可求得：，即构造的直接机制下的贝叶斯纳什均衡结果与原均衡相同。6两个企业同时决定是否进入一个市场，企业i的进入成本是私人信息，是服从分布函数的随机变量以及分布密度严格大于零，并且和两者独立。如果只有一个企业进入，进入企业i的利润函数；如果两个企业都进入，则企业i的利润函数为；如果没有企业进入，利润为零。假定和是共同知识，且>>0，计算贝叶斯均衡并证明均衡是唯一的。根据问题的假设，可构造博弈的支付矩阵如下：企业1企业2进入不进入进入，0不进入0，0，0假设企业1采用如下战略：当时采用进入战略，当时采用不进入战略。假设企业2采

50、用如下战略：当时采用进 入战略，当时采用不进入战略。因此企业1采用进入战略的概率是P（），不进入的战略的概率是1P（）；企业2采用进入战略的概率是P（），不进入战略的概率是1P（）。从企业1的角度看，选择进入与不进入的期望收益分别是：与，所以企业1选择进入的条件是：，因此，可得同理可得：。从已知的分布函数及上述两个条件式当可以解得与，如此可得该博弈的贝叶斯纳什均衡。7考虑如下结构的古诺博弈。市场逆需求函数，两个企业成本函数；市场需求是不确定的，的概率为，的概率为；企业1知道a的确切取值，企业2不知道，但是知道a的概率分布。现在假定两个企业同时选择产量水平，并且以上博弈结构是共同知识，求解以上博

51、弈的贝叶斯纳什均衡。设企业1在时的产量是，在时的产量是，企业2的产量是，则两企业的利润函数分别为：通过一阶条件可得：解得：因此，本博弈的贝叶斯均衡是，当时，企业1生产上述，当时，企业1生产上述；而企业2的产量都是上述。8考虑如下非对称信息的产品差异化的伯川德博弈：企业i的市场需求，两个企业生产成本都为零；b1取值是bH或bL且bH>bL>0，且b1=bH的概率为，而；b1是企业1的私人信息，b2是共同信息。现假定两个企业同时选择价格，以上博弈结构是共同知识，求解以上博弈的贝叶斯纳什均衡。假设当b1取值是bH时企业1的价格为p1H，b1取值是bL时企业1的价格为p1L，企业2的价格为

52、p2。 企业1和企业2的利润函数分别为 可求得反应函数为： 解得厂商1的策略为： 厂商2的策略为： 将代入p2即可得结果。因此，本博弈的贝叶斯纳什均衡是：当时，厂商1价格为，时厂商1价格为，厂商2的价格只有上述9考虑两个参与人的公共物品供给模型。参与人1和2同时决定是否提供某项公共物品，提供公共物品是01决策。如果一个参与人i已经提供公共物品，则每个参与人j都可以得到效用1。参与人i提供公共物品成本ci都是定义域在，分布函数为F(.)，而且提供成本是参与人私人信息。（1）如果成本服从0，2均匀分布，求解其对称均衡。（2）证明如果满足条件，证明以上博弈存在非对称均衡。（1）假设S1采取以下战略：

53、当时，提供，反之不提供；S2采用以下战略：当时提供，反之不提供。由于成本服从0，2的均匀分布，所以S1提供的概率是，不提供的概率是；S2提供的概率是，不提供的概率是。对于S1来说，选择提供与不提供的期望收益分别为：与。因此，S1的提供条件是：，即：。同理可得：S2的提供条件是：，即。所以，该博弈的对称均衡解为：。（2）考虑这样一个均衡：S1从来不提供，。S1选择不提供是因为他的最小成本超出他从增加供给中得到的收益，对于所有的 S2都选择提供，这是因为如果他不提供，则肯定不会有公共品供给，在这个时候他提供要比不提供好。所以如果条件满足，以上博弈就存在非对称均衡。10在n人参与的私人价值拍卖，参与人的类型Vi都服从0，M