2017-2019三年高考-数学(文科)分类汇编-专题10-解三角形

1、精选优质文档-倾情为你奉上专题10 解三角形1【2019年高考全国卷文数】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=A6B5C4D3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用先利用余弦定理推论得出a，b，c关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.2【2019年高考北京卷文数】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为A4+4cosB4+4sinC2+2cosD2+2sin【答案】B【解析】设圆心为O

2、，如图1，连接OA，OB，AB，OP，则，所以，因为，且都已确定，所以当最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P为弧AB的中点时（如图2），阴影部分的面积S取最大值，此时BOP=AOP=，面积S的最大值为=4+SPOB+ SPOA=4+|OP|OB|sin（）+|OP|OA|sin（）=4+2sin+2sin=4+4 sin，故选B.【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.3【2018年高考全国文数】的内角，的对边分别为，若的面积为，则ABCD【答案】C【解析】由题

3、可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.解三角形的题型一般有两类：一是边角关系的转化，考生需对所给的边角关系进行恒等变形；二是有几何背景的题型，难点在于涉及两个或两个以上的三角形，解决此类问题可利用正、余弦定理进行求解，同时要重视三角函数的知识在解三角形中的运用.4【2018年高考全国文数】在中，则ABCD【答案】A【解析】因为，所以cosC=21=2×1=.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC22AC × BC×cosC=

4、52+122×5×1×()=32，所以AB=.故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查.5【2017年高考全国文数】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，a=2，c=，则C=ABCD【答案】B【解析】由题意得，即，所以由正弦定理得，即，因为c<a，所以C<A，所以，故选B【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要

5、用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到6【2019年高考全国卷文数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinA+acosB=0，则B=_.【答案】【解析】由正弦定理，得，即，【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取定理法，利用转化与化归思想解题本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角7【2019年高考浙江卷】在中，点在线段上，若，则_

6、，_【答案】，【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，所以.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.8【2018年高考北京卷文数】若的面积为，且C为钝角，则B=_；的取值范围是_.【答案】， 【解析】，即，则，为钝角，故.故答案为，.【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.9【2018年高考浙江卷

7、】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，b=2，A=60°，则sin B=_，c=_【答案】，3【解析】由正弦定理得，所以由余弦定理得（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sinB，根据余弦定理解出c.10【2018年高考全国文数】的内角的对边分别为，已知，则的面积为_【答案】【解析】根据题意，由，结合正弦定理可得，即，由，结合余弦定理可得，所以A为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.【名师点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用

8、与三角形的面积公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，利用正弦定理，通过，可以求出，再利用余弦定理求出，然后利用三角形的面积公式求解即可.11【2018年高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为 【答案】9【解析】由题意可知，由角平分线的性质和三角形的面积公式得，化简得，即，因此，当且仅当时取等号，则的最小值为9.【名师点睛】本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式，考查分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，尤其是等号成立的条件.12

9、【2017年高考全国卷文数】的内角的对边分别为，若，则 .【答案】 【解析】由正弦定理可得.故答案为.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.13【2017年高考全国卷文数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_.【答案】75°【解析】由正弦定理，得，结合可得，则

10、.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.14【2017年高考浙江卷】已知ABC，AB=AC=4，BC=2 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则BDC的面积是_，cosBDC=_【答案】【解析】取BC中点E，由题意：，ABE中，解得或（舍去）综上可得，BCD的面积为，【名师点睛】利用正、余弦定理解决

11、实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解15【2019年高考全国卷文数】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围【答案】（1）B=60°；（2）.【解析】（1）由题设及正弦定理得因为sinA0，所以由，可得，故因为，故，因此B=60&

12、#176;（2）由题设及（1）知ABC的面积由正弦定理得由于ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，从而因此，ABC面积的取值范围是【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.16【2019年高考北京卷文数】在ABC中，a=3，cosB=（1）求b，c的值；（2）求sin（B+C）的值【答案】（1），；

13、（2）.【解析】（1）由余弦定理，得因为，所以解得所以（2）由得由正弦定理得在中，所以【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17【2019年高考天津卷文数】在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即又因为，得到，由余弦定理可得（2）由（1）可得，从而，故【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力18【2019年高考江苏卷】在AB

14、C中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.19【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A

15、、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.【解析】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.'因为PBAB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小

16、于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当OBP90°时，对线段PB上任意一点F，OFOB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时；当OBP>90°时，在中，.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）

17、知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为

18、.因为PBAB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当OBP90°时，对线段PB上任意一

19、点F，OFOB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时（13，9）；当OBP>90°时，在中，.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观

20、想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.20【2018年高考天津卷文数】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinA=acos(B)（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和sin(2AB)的值【答案】（1）；（2）b=；sin(2AB)=【解析】（1）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得B=（2）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因为a<c，故因此，所以，【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运

21、算求解能力在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围21【2017年高考天津卷文数】在中，内角所对的边分别为已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由及，得由及余弦定理，得（2）由（1）可得，代入，得由（1）知A为钝角，所以于是，故【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值利用正

22、、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题解答本题时，（1）首先根据正弦定理得到，再根据余弦定理即可求得的值；（2）根据（1）的结论和条件，由求得，然后根据求得，再求，然后由二倍角公式求，最后代入的展开式即可22【2017年高考山东卷文数】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，求A和a.【答案】【解析】因为，所以，又，所以，因此，又，所以，又，所以.由余弦定理，得，所以.【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆

23、、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.23【2017年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm，容器的底面对角线AC的长为10cm，容器的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm现有一根玻璃棒l，其长度为40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将放在容器中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度； （2）将放在容器中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中