8 数列中恒成立问题的研究续

1、专题：数列中恒成立问题的研究一、问题提出问题1：已知等差数列的首项为，公差为，若对恒成立，则实数的取值范围是_. ，所以，所以对恒成立， 问题2：二、思考探究探究1：设首项不为零的等差数列的前项和为，若不等式对任意正整数都成立，则实数的最大值为_. 解析：a10时，不等式恒成立，当a10时，将ana1(n1)d，Snna1代入上式，并化简得：2，max.探究2：已知常数0，设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，（）（1）若 = 0，求数列an的通项公式；（2）若对一切恒成立，求实数的取值范围解：（1） = 0时， 2分， ， 4分（2）， 5分则，（n2）相加，得则（n

2、2） 上式对n = 1也成立，（） 7分（） - ，得即 9分0，> 0，> 0对一切恒成立，对一切恒成立即对一切恒成立 12分记，则当n = 1时，；当n2时，； 是一切中的最大项 15分综上所述，的取值范围是 16分探究3：数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）当时，是否存在互不相同的正整数，使得成等比数列？若存在，给出满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设为数列的前n项和若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围【解】（1）当时，由 得 - 得，所以（）因为，所以（）（2）当时，若存在成等比数列，则由奇偶性知所以，即，这与矛盾故不存在互不相同的正整数，使得成等比数列（3）三、

3、真题链接四、反思提升五、反馈检测1. 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足a4Sn4n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列数列满足对于任意正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值（1）求数列an的通项公式；（2）当时，求数列的前2m项的和；（3）是否存在实数，使得，若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由解 （1）当n2时，4Sn1a4(n1)1，4an4Sn4Sn1aa4，即aa4an4(an2)2，又an>0，an1an2，当n2时，an是公差为2的等差数列又a2，a5，a14成等比数列aa2·a14，即(a26)2a2·(a224)

4、，解得a23由(1)知a11又a2a1312，数列an是首项a11，公差d2的等差数列an2n1（2）由（1）得，对于正整数n，由，得根据的定义可知当时，；当时， （3）不存在，理由如下：证法1：假设存在实数满足条件，由不等式及得,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾当，即时，得，解得且 不存在正实数，使得证法2：用“分离变量求最值”来做的，假设存在实数满足条件，由不等式及得,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有由得对任意正整数都成立，所以，所以，矛盾，故不存在2. 设数列an的前n项和为Sn若，则称an是“紧密数列”（1

5、）若数列an的前n项和，证明：an是“紧密数列”；（2）设数列an是公比为q的等比数列若数列an与Sn都是“紧密数列”， 求q的取值范围【解】（1）由数列an的前n项和， 得ann+ ()2分 所以，1+， 4分 因为对任意nN*，0 ，即11+， 所以，11+， 所以，2，即an是“紧密数列” 6分 （2）解法一：由数列an是公比为q的等比数列，得q， 因为an是“紧密数列”，所以q2 8分 当q1时，Sn=na1，=1+， 所以，1<=1+2， 故q1时，数列Sn为“紧密数列”，故q1满足题意 10分 当q1时，Sn，则= 因为数列Sn为“紧密数列”， 所以，=2对于任意恒成立 （i

6、）当q1时，(1qn)1qn+12(1qn)即对于任 意恒成立 因为0qnq1，02q11，q21， 所以 qn(2q1)q1， qn(q2)q(q2)×()1， 所以，当q1时，对于任意恒成立13分 （ii）当1q2时，(qn1)qn+112(qn1)，即对于 任意恒成立 因为qnq1，2q11，1q20 所以，解得q=1，又1q2，此时q不存在 综上所述， q的取值范围是 16分 解法二：因为an是“紧密数列”，所以q28分 当q1时，Sn=na1，=1+， 所以，1<=1+2， 故q1时，数列Sn为“紧密数列”，故q1满足题意 10分 当q1时，Sn，则= 因为数列Sn为“紧密数