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1、 2013考研数学模拟试卷一【数二】解析一、选择题(1) D 解：（2）B解：由，得，而由连续知连续，所以.于是，所以是的驻点.又由，得，即，所以在点处有，故点是的极小值.应选（B).（3）B解：由于函数可导（除）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与轴有且仅有两个交点，故A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D不正确。（4）B解：当时，由积分中值定理得，所以，而，发散，所以原级数非绝对收敛. 又，而，即单调减少.由莱布尼茨判别法知原级数收敛，故级数是条件收敛的，应选（B）.(5) D解：记为常数，于是有，即，两边积分得，由得，从而于是，即，故 选（D）（6）解：，令。

2、则所以。（7）A解：易知的解是的解。当A列满秩时，即时，齐次线性方程组只有零解。于是，若为的任一解，即，则一定有，从而也为的解，故组与同解。（8）D解：将的增广矩阵作初等行变换，有解，得，故应选（D）.二、填空题（9）解：，故过处的切线方程为（10）解：方程改写为 ，则通解为(11)正确答案：1.解：设，则，由介值定理知，存在，使.又，而，故，严格单调增加，只有唯一的根.（12）解：由知，由得，于是，从而，又，故（13）解：设阻力为F，铁钉击入木板深度为h时阻力为F=kh ，k为常数第一次击锤做功：W1 =第二次击锤做功：W2 =W1= W2 因此(14)解：系数矩阵，因此0 三、解答题（15

3、）解：（1）令，得。 （2）对变限积分令，则有， 两边关于求导，注意到，得，即， 则。 又，所以，于是。 （16）解：（1）因为 ，所以 由于分母极限为0，所以 ，即 ，又因为 在连续，则 ，由 得 ，所以，即 ，由此得 （2）（17） 证明：在处，将Taylor展开， 在之间)，则 由的连续性知，在上有最大最小值，分别设为则 (18)解：，将以上各式代入原等式，得，由题意，令且故（19）解：先求ds，总长度= =，故，星形线质心为（20）解：（21）解：取沉放点为原点，Oy轴正向铅直向下，牛顿第二定律得因此，方程可改写为即求得由初始条件，由此可确定故所求的关系(22)解：（I）由已知得，又因为线性无关，所以，所以,2是的特征值，是相对应的特征向量。又由线性无关，得，也线性无关，所以是矩阵的二重特征值，即得全部特征值为,2（II）由线性无关，可以证明，也线性无关，即有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵可相似对角化。（23）解：将阵作初等行变换化成阶梯阵。 故当时，且可以相互线性表示，所以与秩相等

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