2010数学建模论文储油罐问题1

1、储油罐的变为识别与灌容表标定目录储油罐的变为识别与灌容表标定1目录1摘 要2一 问题的提出3二 符号说明3三 模型的假设4四 问题分析4五 模型的建立及求解51.问题一51.1未变位的椭圆球体51.2变位后的椭圆球体71.3用已经建立的模型研究罐体变位后对灌容表的影响。91.4计算油位高度为1cm的灌容表标定值102.问题二112.1确定储油量与储油高度及变位参数的关系11六模型的检验14七模型改进方向15参考文献15 摘 要 加油站的地下储油罐使用一段时间后会发生变位，针对这个问题，我们建立了数学模型，并利用matlab和mathmatica等软件对其进行求解，得到了储油罐的变位后对灌容表的

2、影响和对变位后的罐容量重新标定。问题一，我们先针对储油罐变位前后分别对体积其建立数学积分模型，用数值积分求得模型，然后用附表一中的有无变位进油中所得的油位高度分别代入两个模型求得体积与附表一相对应的累加进油量和灌内容量初始值之和相差不大，说明我们建立的模型可以接受。用这两个模型变位前后的曲线，发现变位后的油罐灌容表测得高度值偏大，致使测得容量值与实际值相比偏小。根据误差分析对模型进行修正并检验，并利用变位后的修正模型模型给出了间隔1cm的灌容表标定值。问题二，以圆柱体为主体，两边是两个球冠体的储油罐发生横向偏移和纵向偏移之，首先分析储油罐横向偏转对油位探针测量的高度的影响，储油罐发生纵向倾斜对

3、任意位置油面的高度的影响。把该储油罐分成中间部分和左右两个球冠体，然后针对储油罐变位后分别对三部分建立数学积分模型，得出油罐中油的体积与油位探针测量的高度的积分关系，比较复杂不易求解，从而对模型进行简化，得到了灌内储油量与油位高度及变位参数和的关系，通过待定系数法确定了变位参数的值。用该模型给出了间隔油位高度间隔10cm的灌容表标定值。通过相对误差检验得k<3%，则模型较好方法是可靠的。关键词：积分模型 数值积分 模型简化 matlab mathmatica一 问题的提出一般情况下，加油站都有若干个地下储油罐，并且都有与他们配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进出油量与灌

4、内油位高度，通过预先标定的灌容表对储油罐进行计算，从而得到储油罐内油位高度和储油量的变化情况。 然而许多储油罐使用一段时间后，由于地基变形等原因，常常使储油罐的位置发生横向和纵向的变化（通常称为变位）。变位之后的灌容表会发生改变。因此，我们要对灌容表进行重新标定。 问题一 为了掌握罐体变位后对灌容表的影响，利用题中所给的小椭圆储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，并给出附件一，请建立数学模型研究罐体变位后对灌容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的灌容表标定值。 问题二 对于题中给定的实际储油灌，试建立罐体变位后标定灌容表的数学模型，即灌

5、内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向倾斜角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进出油过程中的实际检测数据(题出给出的附表二)，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的灌容表标定值。进一步利用所给的附件二中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的正确性。二 符号说明罐体的纵向变位倾斜角；罐体的横向变位倾斜角；建立的坐标系横轴变量；建立的坐标系纵轴变量；问题一中倾斜后油面高度坐标值；椭圆截面的长半轴长；椭圆截面的短半轴长；问题一中未变位前小椭圆体里不同高度下油的体积；问题一中变位后小椭圆体里不同高度下油的体积；问题一中探针的实际测定值；问

6、题一中储油罐椭圆体的长；问题二中探针检测到的高度值；问题二中油面的实际高度值；在固定检测高度下，不同位置油面的实际高度值；问题二中球罐体中间圆柱体里油量的体积；问题二储油罐中圆柱体的长；倾斜后左端球罐体油面到底部圆面的距离；倾斜后右端球罐体油面到底部圆面的距离；储油罐里球冠半径；圆柱体部分正截面的内径问题二中储油罐任意正截面的半径；问题二中油面实际高度；在某一油面测定值时，不同位置的右面的坐标高度；左球冠内任意位置油面到左球冠面的垂直距离球冠内任意截面半径右球冠里装有油量的容积；左球冠里装有量的容量；储油罐内油的总体积；储油罐正截面装有油部分的面积；球冠体在不同半径下的正截面的半径； 三 模型

7、的假设1.当油位探针测量时油面是静态的，测量的值不再变化。2.储油罐油罐都是光滑的，圆柱体、球冠体、椭圆体都是标准的几何体。3.不能忽略注油管里油的体积。4.油位探测装置与储油罐之间的相对位置保持不变。5.油位探测装置看做在一个平面内。四 问题分析 通过用数学模型来帮助解决地下储油罐灌容表标定问题，得到灌内油位高度与储油量的准确关系，便于适时向油罐添加油量。在问题一中，根据题意要研究储油罐变位后对灌容表的影响，我们首先要建立储油罐未变位之前的数学模型，由题给出可以知道该储油罐是一个卧式的两端平头的椭圆柱体。那么当我们知道高度时，用数学积分的思想，用切片法很容易对该储油罐里的油进行积分。然后将得

8、出的数据与已经给出数据分别进行拟合成一条曲线，比较模型是否合理。第二步，我们要算出当储油罐纵向倾角为时对灌容表的影响。当储油罐纵向倾斜时，油面相对于储油罐底部也是倾斜的。这样我们我们应该以油罐底部长轴为横坐标，建立坐标系，找到测得的高度和储油罐相应实际高度的关系。然后用数学积分建立该模型。用该模型所得的数据拟合曲线与附表一中变位后的数据拟合的曲线比较所建模型是否合理，合理之后，我们就可以进一步用matlab算出变位后油位高度间隔1cm的灌容表的标定值。在问题二中，给出的是中部是圆柱体，两端为球罐体的图，当该油罐体发生横向倾斜后将使标尺也发生相对变化。使油浮子测出的测量高度值与实际值不等，那么我

9、们要先求出油面里油的真实高度。然后将该椭圆球体分成三个部分，椭圆球体中间的圆柱体，两端部分的球冠体。求这三部分的体积之和就可以得到灌容表储油量与油位高度及变位参数（和）之间的关系，然后我们通过待定系数的方法确定变位参数。用该模型可以得出间隔10cm的灌容表标定值。五 模型的建立及求解1.问题一1.1未变位的椭圆球体由题意我们知道了该储油罐是两端平头的椭圆柱体。这样根据上题提到的分析，我们首先要针对未倾斜的储油罐进行建立积分模型，我们以椭圆柱体的左截面中心为原点，以椭圆柱体的高的方向为z轴，以椭圆截面的长轴y轴，建立该椭圆体的横截面如图1 图1所以我们可以得到椭圆体横截面的椭圆曲线方程 (1)由

10、公式1可以推出我们以静态的油面为平面，该面积为，对高度h进行积分，既可以得到未倾斜的储油罐的油量的体积： (2)经化简得: (3)（其中的值根据已知条件为，）根据公式3，和附表一的数值我们用matlab软件编程（附录程序1）得到对应未变位之前做三条差值拟合曲线来验证我们模型的可靠性。第一条曲线，如下图红线1，我们用公式3和附表一中储油罐里油量高度的关系拟合出第一条曲线；第二条曲线，用附表一中给出的累计容量加上原来的初始容量得到的容积内的体积，用该体积与容积内高度的关系，拟合出实际测量值曲线；第三条曲线，我们用第一条曲线的体积减去第二条曲线的体积得到误差体积和体积内有高度的对应关系拟合出第三条曲

11、线。如下图2所示图2由图2我们可以直观地看出所测的实际值与真实值随着测量高度的增大，出现差值也增大。当我们分析了干扰了因素，我们即可得到下图的重合曲线。我们认为该模型合理。修正后的高度h与体积v的关系图31.2变位后的椭圆球体变位后的油面相对于小椭圆的中心线发生倾斜，不能一次性积分，这样我们建立的坐标系轴要与小椭圆的中心线重合，y轴和轴的坐标系建立如图1所示，下图为小椭圆油罐正面坐标图4;图4由公式1我们知道， 我们得到该倾斜的体积公式为 (4)其中与h的关系 (5)通过化简 我们将分成两部分。所以， (6) (7)令同理可得 (8) 令，；得经过化简得出结果为（其中，把的原值代入，然后用ma

12、thmatica解出附件一表中给出高度对应的值。因为计算过程比较复杂，为方便理解，下面是该算法的简单流程图。如图5；图5椭圆体体积v2与h关系v2与H关系v2v2换元积分v2换元积分v2换回元v2与H的关系拟合出曲线H与h的关系为检查我们所建模型的合理性，我们和上题的思路一样，我们用matlab编程（附录程序2）拟合出三条曲线，第一条曲线为我们计算得到与附件一表中的变位之后累积进油量各个高度的图；第二条为附件1表中变位之后的体积和各个高度的拟合曲线图；第三条为我们得到的第一条曲线减去第二条曲线的差值与附件1中各个高度之间的拟合曲线图。如图6。图6由图我们可以知道，我们的模型和变位后检测的数据相

13、差不大，其中的上面的线（红线）为变位后拟合出的曲线图，下面的图（蓝线）为根据附件表一中的数据累积的体积与对应高度的曲线图，最下面的绿线表示在同高度下变位后我们拟合出的曲线图与通过试验检测的数据差值得到的曲线图。从上图可以看出变位后的通过实验得到的数据与拟合出的数据相差一个常数，这可能是有个干扰因素如探针油管的体积干扰。当我们排除这个影响因素之后，在拟合三条曲线，可以得到如图7，我们看出由建立的模型和原始数据没差别，说明我们建立的模型是合理的。图7说明我们的模型可以利用对变位后灌容表进行标定。1.3用已经建立的模型研究罐体变位后对灌容表的影响。针对储油罐变位前后的我们用matlab编程（附录程序

14、3）选定同一组高度数据，分别用插值出一组数据，用该数据拟合出变位前后这两条曲线，比较变位后对灌容表的影响如图8。 图8为变位前后用自己模型的曲线图（其中曲线图为未变位之前的曲线，为变位之后的曲线图）根据图8我们可以得出结论变位后的灌容标标定值与未变位前同等高度时相比变小了。1.4计算油位高度为1cm的灌容表标定值用变位后的体积公式和高度的关系进行插值计算，把步长设为1cm,用matlab编程（附录四）可以得到一组数据，其数据如下表1所示。表1为变位后油位高度间隔1cm的灌容表标定值累加进油量/L油位高度/mm累加进油量/L油位高度/mm累加进油量/L油位高度/mm累加进油量/L油位高度/mm4

15、10929.95701593.47302285.78902955.1420969.55801636.37402328.790029954301009.45901679.47502371.79103034.54401049.66001722.57602414.59203073.74501090.16101765.87702457.29303112.54601130.96201809.17802499.894031514701171.96301852.47902542.295031894801213.26401895.88002584.59603226.74901254.76501939.1810

16、2626.59703263.95001296.46601982.68202668.49803300.75101338.367020268302710.199033375201380.46802069.38402751.610003372.85301422.76902112.78502792.810103408.15401465.270021568602833.810203442.85501507.87102199.38702874.5103034775601550.57202242.588029152.问题二2.1确定储油量与储油高度及变位参数的关系有题可知储油罐变位（横向偏转和纵向倾斜）后标

17、定罐容表发生变化。首先算出储油罐两端球冠的半径，经分析把储油罐分为三部分进行计算。其次分析储油罐横向偏转对油位探针测量的高度的影响，即探针所在截面的油面的真实高度与油位探针测量的高度的关系；储油罐发生纵向倾斜对任意位置油面的高度的影响，即任意位置油面的高度与探针所在截面油面的真实高度的关系。再次分别分析储油罐圆柱体部分、左球冠和右球冠。最后得出储油罐油的体积与测量高度的关系。 图9 图10 建立直角坐标系，以储油罐的中心线为x轴，球冠与圆柱体交面的圆的圆心为原点，以垂直水平面的直线为y轴建立如图9所示的直角坐标系。球冠正投影于该坐标系上如图9所示。由题干我们能知道OA=OC=1.5m, OB=

18、1m,通过上图依勾股定理计算可以知道两端球灌体半径R。 m画油罐横向偏转分析图如图10，其中圆为油罐内截面，DE为油面，AC为油位探针，F为储油罐的顶点，G为储油罐的最低点，O为圆心，OC为截面半径,储油罐横向偏角为，AB平行FG，BC平行DE。则探针所在截面的油面的真实高度为IG，油位探针测量的高度为JC,这样可以分析出实际的检测值与真实值之间的关系, （9）当油罐体发生纵向倾斜时，画油罐纵向倾斜分析图如图11所示，以储油罐的中心线为x轴，左球冠与圆柱体交面的圆的圆心为原点，以垂直水平面的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系。其中为探针所在截面油面的真实高度，为任意位置油面的高度，为任意位置油

19、面高度的坐标。 图11 图12通过图11可以得到任意位置油面的高度与探针所在截面油面的真实高度的关系式为，任意位置油面高度的坐标与任意位置油面的高度的关系式为。分析储油罐中间圆柱体部分，取圆柱体任意正截面，以圆心为原点，在该截面上以水平线为y轴，以垂直水平面为z轴，建立如图12所示直角坐标系，其中AB为该截面油面高度，该圆半径，圆的方程为。由问题一可得出该截面的装有油部分的面积为S= (10)进而得到变位后储油罐圆柱体部分油的体积与油位探针测量的高度的关系式分析储油罐右球冠部分，以储油罐的中心线为x轴，球冠与圆柱体交面的圆的圆心为原点，以垂直水平面的直线为y轴建立如图13所示的直角坐标系。由图

20、可求出右球冠内任意位置油面到右球冠面的垂直距离,球冠内任意位置对应的截面半径为。 (11)由上可得右球冠内油的体积与油位探针测量的高度的关系式 (12)其中分析储油罐左球冠部分，分析过程同右球冠。可得左球冠内油的体积与油位探针测量的高度的关系式 (13)其中综上所述，储油罐内油的总体积与油位探针测量的高度的关系式 (14)建立的该模型比较复杂，求解困难，对该模型进行如下简化改进。同样将储油罐分成上述三部分，即储油罐圆柱体部分、左球冠和右球冠。分析如下：首先对圆进行分析，每个圆有一个外接正方形，研究他们之间的面积关系，建立直角坐标系，如图14，圆心在y轴上，与x轴相切的圆，有圆外接正方形ABCD

21、。图13 图140<x<2R/3所对应的下半圆弧与x轴和x=2R/3围成的面积，圆的面积为有分析可得对来说可以忽略故可简化如下,如下图15， 图15简化如下，IJ为任意截面油面水平线，则该截面的装有油部分的面积简化为矩形IJCD的面积减去由劣弧HG和直线HD、DG围成的面积，再减去劣弧FG和直线GC、FC围成的面积。其中,。由上简化的公式可以将变位后储油罐圆柱体部分油的体积与油位探针测量的高度的关系式简化为： (16)其中，同理简化可得左右球冠油的体积与油位探针测量的高度简化关系式为：所以储油罐内油的总体积与油位探针测量的高度的关系式 (17)很明显，我们可以看出油罐体中油量的体积

22、与测出的高度是一次函数关系，因此可以拟合出与的关系用附件表二中一次补充前的数据进行拟合得到关系式为。用待定系数法求得模型中，的值分别为。得到的模型为从而根据模型得到罐体变位后油位高度间隔10cm的灌容表标定值。如下表2表2罐体变位后油位高度间隔10cm的灌容表标定值显示油高/mm显示油量容积/L显示油高/mm显示油量容积/L显示油高/mm显示油量容积/L400323.512002434.920004546.3500587.513002698.921004810.3600851.414002962.822005074.27001115.315003226.723005338.18001379.2

23、16003490.6240056029001643.217003754.625005865.910001907.118004018.526006129.91100217119004282.427006393.8六模型的检验附件表二中一次性补充进油后数据中显示高度代入模型求得一组新的模型数据 相邻之差与附件表二中对应的一次性补充进油后数据中每次出油量 进行相对误差检验：可以看出k<3%,可以得出我们是正确的，方法是可靠的。七模型改进方向本模型只在简化模型的情况下计算的，但在实际的问题中，情况更加复杂，考虑的应该更多。此模型在简化时候的忽略了一些很小的体积部分，尽管在数量级上很小，但也影响模

24、型的准确性。参考文献1 田立平，谢斌，微积分，机械工业出版社，2005，102 管冀年，赵海，卧式储油罐罐内油品体积标定的实用方法，张掖市计量测试检定所.2004，023 田铁军，倾斜卧式罐直圆筒部分的容积计算，19994 周品，赵新芬， MATLAB数学建模与仿真，国防工业出版社，2009，45 陆志奇，李静，竞争数学模型的理论研究，科学出版社，2008，76 姜起源，谢金星，叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003，87 董臻圃，数学建模方法与实践，国防工业出版社，2006，88 钱铭，袁渊，学会抽象与建模，大连理工大学出版社，2009，8附录程序一%程序一无变位进油中累加进油量数据分别加

25、上罐内初始值262升得v；v=3123624124625125626126627127628128629129621012106211121162121212621312136214121462151215621612166217121762181218621912196220122062211221622212226223122315.832365.832367.062417.062467.062517.062567.062617.062666.982668.832718.832768.832818.832868.832918.832968.833018.833068.833118.8331

26、68.833168.913218.913268.913318.913368.913418.913468.913518.913568.913618.913668.913718.913768.913818.913868.913918.913968.91;%程序一无变位进油中h的数据；h=159.02176.14192.59208.5223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.4462.62474.78486.89498.95510.

27、97522.95534.9546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.7764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.8978.91994.431010.431026.991044.251062.371081.591102.331125.32115

28、2.361193.49;%将毫米为的单位转化为米为单位；h1=h./1000;%建模所得小储油罐内油的体积v与油面高度h的关系；V=(1.78/1.2)*2.45*(h1-0.6).*(sqrt(h1.*(1.2-h1)+0.36*asin (h1/0.6-1)+0.5*pi*0.36);%建模所得小储油罐内油的体积v与实际体积之差；v2=V-v./1000;%画出已知数据体积v与h的曲线，和建立的数学模型的曲线，和两者的误差曲线；plot(h/1000,v/1000,h1,V,'r',h1,v2);ylabel('体积V/m3')xlabel('高度H

29、/m')程序二：%附表一倾斜变位进油中油位高度数据并将毫米为的单位转化为米为单位得h1;h1=0.41129,0.42345,0.43833,0.45054,0.4639,0.47774,0.48937,0.50256,0.51469,0.52684,0.53888,0.55196,0.5644,0.57656,0.58874,0.59956,0.61162,0.62344,0.63558,0.64628,0.65859,0.67022,0.68063,0.69303,0.70467,0.71645,0.72766,0.73939,0.7509,0.76155,0.77343,0.78

30、539,0.79604,0.80827,0.8208,0.8328,0.84447,0.85629,0.8676,0.88006,0.89292,0.90434,0.91734,0.9299,0.94142,0.9546,0.96809,0.98014,0.99241,1.00634,1.01907,1.03424,1.03536 ;%程序一倾斜变位进油中累加进油量数据分别加上罐内初始值215升并将升为的单位转化为立方米为单位得v1；v1=0.96286,1.01286,1.06286,1.11286,1.16286,1.21286,1.26286,1.31279,1.36279,1.4127

31、3,1.46273,1.51273,1.56273,1.61273,1.66273,1.71273,1.76273,1.81273,1.86273,1.91273,1.96273,2.01273,2.06273,2.11273,2.16273,2.21273,2.26273,2.31273,2.36273,2.41273,2.46273,2.51273,2.56273,2.61273,2.66273,2.71273,2.76273,2.81273,2.86273,2.91273,2.96273,3.01273,3.06273,3.11273,3.16273,3.21273,3.26273,3.

32、31273,3.36273,3.41273,3.46273,3.51273,3.51474;%小储油罐横截面椭圆的长半轴长a=0.89;%小储油罐横截面椭圆的短半轴长b=0.6;%小储油罐的长度l=2.45;c=tan (4.1*pi)/180);d=h1+0.4.*c-b;c1=c./b;m=d./b;%建模所得小储油罐内油的体积v与油面高度h1的关系;v=(a./b).*(1./(3.*c).*(b.2-(d-c.*l).2).(3/2)-(b.2-d.2).(3/2)+(b.2).*(-(1-m.2+2.*c1.*m.*l.-(c1.2).*(l.2).(1/2)+(l.*c1-m).*

33、(asin (m-c1.*l)+(1-m.2).(1/2)+m.*(asin (m)./c1)+0.5.*pi.*b.*b.*l);%建模所得小储油罐内油的体积v与实际体积之差；v2=v-v1;%画出已知数据体积v与h的曲线，和建立的数学模型的曲线，和两者的误差曲线;plot (h1,v,'r',h1,v1,h1,v2);ylabel ('体积V/m3')xlabel ('高度H/m')sum(v2)/length(v2)程序三：%程序一无变位进油中累加进油量数据分别加上罐内初始值262升得v；v=3123624124625125626126627127628128629129621012106211121162121212621312136214121462151215621612166217121762181218621912196220122062211221622212226223122315.832365.832367.062417.062467.062517.062567.062617.062666.982668.832718.832768.832818.832868.832918.832968.833018.833068.833118.833168.83316