四阶龙格库塔法求解波导模之间的模式耦合方程-

1、四阶龙格库塔法求解波导模之间的模式耦合方程鹿晴晴北京邮电大学光通信与光波技术教育部重点实验室,北京 (100876摘 要:本文研究了两个靠得非常近的平行圆柱波导之间产生微扰,利用四阶龙格库塔法解出了模式耦合方程,得到两波导中的光功率分布曲线,结果与采用模耦合理论计算一致。分析得到结论耦合程度随着耦合系数的增加而加剧,但随着传播常数差的增加而减弱;耦合长度随着耦合系数的增加且随着传播常数差的增加而变短。 关键词:平行波导,模式耦合方程,传播常数,耦合系数 中图分类号:TN251. 问题描述 图1 两个距离很近的平行圆柱波导1、2如图1所示,两个平行圆柱波导1、2,离得充分远时,各自的简正模场分布

2、为1,2,传播常数1,2(设1<2。然而当相互靠近,它们之间产生同样的耦合分布造成微扰,形成新的简正模。将两个波导简正模场各自独立激励,二者产生混合,由于传播常数不同,产生差拍振荡,光波的功率在波导1,2之间周期性相互转移。2. 理论分析所谓的模耦合理论是指在无扰动简正模光波导上,叠加上若干扰动,不再相互独立,而变得相互耦合。有两种方法求解这类光波导的传输状态1。 1、 Maxwell 方程,将扰动因素考虑进去构成新简正模; 2、 将若干扰动波导简正模相互叠加。第一种方法求解困难;第二种方法为近似解法,叫做模耦合理论,这种方法简单可行。1A 和2A 分别为两波导的模场慢变振幅,为耦合系数

3、,假设介质为无损耗,则2112=,即功率守恒2。模耦合方程组如下:111212dA i A i A dz =+ (1 222121dA i A i A dz=+ (2 根据模耦合理论,可求出两波导中的光功率:2222110(1(/sin (P z A z A z = (32222220(/sin (P z A z A z = (4其中221/212(2=+ (5耦合长度:/L = (6 将两波导中的光功率用图形表示,如图2。图2 模耦合理论计算得到的两波导中的光功率3. 数值建模设微分方程为3:(,(dyf x y dxy a S= x a,b (7 四阶龙格-库塔公式:1(,1(,221(,

4、22(,(n n n n n n n nn n n n y y K K K K K hf x y h K hf x y K h K hf x y K K hf x h y K y x y O h +=+=+=+=+=(8 该方法一步能达到四阶精度。则根据模耦合方程(1(2,由初始条件1(0A ,选取合适的距离步长z ,就可以由以上四阶龙格库塔法公式叠代计算求出1A 和2A 的离散值1(A z 和2(A z ,从而得到输出功率1P 和2P 的离散值,并画出在(z0,z1区间的1P z 和2P z 曲线。4. 仿真结果及分析已知两波导的传播常数与波导之间的耦合系数,首先根据模耦合理论计算传播常数及

5、耦合系数分别取5组不同值时的耦合长度(见表1。然后利用四阶龙格库塔法求解模式耦合方程,取以上5组数值得到5幅功率随波导长度的变化曲线图(见图3-7,从图中观察耦合长度,并与模耦合理论计算得到的结果(见表1比较。表1波导参数值变化时根据模耦合理论计算得到的耦合长度值 图3 14=2 4.1=0.05=的功率曲线 图4 14=2 4.1=0.1=的功率曲线 图514=2 4.1=0.2=的功率曲线 图6 14=2 4.2=0.1=的功率曲线 图714=2 4.5=0.1=的功率曲线由以上五幅图可以看出用四阶龙格库塔法求解耦合方程得到的功率曲线与表1中根据模耦合理论计算求出的耦合长度相符。比较图3、

6、4、5,1,2不变,由0.05,0.1,0.2变化,由图形看出耦合长度变短,且耦合程度加剧。比较图4、6、7,保持不变,21由0.1,0.2,0.5变化,由图形看出耦合长度变短,且耦合程度减弱。结论:耦合程度随着耦合系数的增加而加剧,但随着传播常数差的增加而减弱。 耦合长度随着耦合系数的增加且随着传播常数差的增加而变短。5. 推广及应用利用相互靠近的双波导结构做成2×2型光耦合器,调节两波导的折射率,使折射率差尽可能的小,就可以加剧耦合;而且调节器件的耦合臂长度可以控制两波导中的光功率。另外,可以通过多个相互靠近的波导实现多个波导间的耦合4,可以做成n×n 型耦合器。参考文

7、献1 (日西原浩等著、梁瑞林译, 集成光路,科学出版社,2004年3月 2 陈胜钰,“介质中模式耦合问题的分析”,闽江学院学报,2002年第2期3 陈誌敏,“龙格- 库塔法及其Mat hematica 实现”,武汉工程职业技术学院学报,2006年第2期 4 吴晋龙,“变耦合系数非线性三波导定向耦合器特性研究”,光学学报,2005年第1期Four-Runge Kutta method for solving Mode-Coupledequations between waveguide modesLu QingqingKey Laboratory of Optical Communication

8、 and Lightwave Technologies of Ministry ofEducation ,Beijing University of Posts and Telecommunications ,Beijing (100876AbstractIn this paper, perturbation between two very close parallel cylindrical waveguides is researched, four-Runge - Kutta method is used for solving Mode-Coupled equations, get

9、optical power distribution curves of the two waveguides, the results are in good agreement with the mode coupling theoretical caculated. Conclusions are made that the degree of coupling intensified with the increase of coupling coefficient, but weakened with the increase of propagation constants difference; the length of coupling coefficient decrease with the increase of coupling