最新教案：变化率与导数、导数的计算(含解析)

1、变化率与导数、导数的计算、导数的概念1,函数y=f(x)在x= xo处的导数定义：称函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率lim 庭上学匚凶=L lim 4为函数y= f(x)在x= x0处的导数，记作f' (xo)或y' |x= xo, o_Ax 0Zix/ J I即 f，(xo)=如0包=lim ttxoiJxXfxL)Ax 20_Ax .(2)几何意义：函数f(x)在点xo处的导数f' (xo)的几何意义是在曲线y=f(x)上,点(xo力(x0)处的切线的斜内(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为yf(xo) = f，(xo)(xxo

2、).2.函数f(x)的导函数称函数f' (x)=好o fix土母匚监瓦 f(x)的导函数.、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)= c(c为常数)f (x) = of(x)=xn(nC Q*)一，n 1f (x) = nxf(x)= sin xf' (x) = cos_xf(x)= cos xf' (x) = sin_xf(x)=axf' (x)= axln_af(x) = exf1 (x) = exf(x)= logax,1f (x)=.' 'xln af(x) = In x,1f (x) = ； x三、导数的运算法则1. f(x)#x)

3、=f' (x)K' (x);2. f(x) g(x) ' =f' (x)g(x) + f(x)g' (x);3. 脚=j廿气(“(理)4.复合函数的导数复合函数y= f(g(x)的导数和函数y=f(u), u= g(x)的导数间的关系为v； =u2c即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.基础自测1 .若 f(x)=xex,则1(1) = ()A. 0B. e2C. 2eD. e解析：选 C f (x)=ex+xex, ./ (1)=2e.2 .曲线y= xln x在点(e, e)处的切线与直线 x+ ay=1垂直，则实数a的值为()A. 2

4、B. - 21 1C.2D . - 2解析：选 A 依题意得 y = 1 + ln x, y|x= e= 1 + ln e = 2,所以一 x 2 = 1, a= 2.a3 .某质点的位移函数是s(t)=2t32gt2(g= 10 m/s2),则当t=2 s时，它的加速度是()A . 14 m/s2B. 4 m/s2C. 10 m/s2D. - 4 m/s2解析：选 A 由 v(t) = s' (t) = 6t2gt, a(t) = v' (t)=12t-g,得 t=2 时,a(2)=v' (2) = 12X210=14(m/s2).4,曲线y=x3x+3在点(1,3)

5、处的切线方程为 .解析：y = 3x2 1, y|x=1 = 3x 121 = 2.该切线方程为 y-3=2(x-1),即 2xy+1 = 0.答案：2xy+1=05 .函数y= xcos x sin x的导数为 .解析：y' = (xcos x)' (sin x)'=x' cos x+x(cos x)' cos x=cos x xsin x cos x=xsin x.答案：一xsin x题型1利用导数的定义求函数的导数例1用定义法求下列函数的导数.24(1)y=x；(2)y=-2.x二、.、国 f(x+ Ax V f(x)自王解答(1)因为替=又fLj

6、xLx_ (x+ Ax 2-x2xx2+2x - X fAx；x2=J= 2x+ Ax,Ax -Ay,-所以 y = Nimt0 = Axnt0 (2x+ Ax) = 2x.zax4 Ax(2x+ M)22x (x+ 瓜)44因为 Ay='fxr7 x2=M= 4 .2x+26 x x+ Ax '=Aknt 0 1 4x2x+ Ax -I 8 x2(x+ Ax j 厂x3变式练习1. 一质点运动的方程为s= 83t2.(1)求质点在1,1+ At这段时间内的平均速度；(2)求质点在t= 1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解解：(1).s=8-3t2,Zs= 8-3(1

7、+ At)2- (8 3x 12)= 6 四3( A)2,As- c ,v =1=-6 3 At.)(2)法一(定义法)：质点在t=1时的瞬时速度Asv=li 理 0 ITliM 0 (-6-3 四)=-6.法二(导数公式法):质点在t时刻的瞬时速度v=s，(t) = (8-3t2)' =-6t.当 t= 1 时，v= 6X 1 = 6.题型2导数的运算例2求下列函数的导数.、2ex+1(1)y=xsin x； (2)y=ex_1；自主解答(1)y' =(x2)' sin x+x2(sin x)' =2xsin x+x2cosx.ex+1' ex-1 二

8、R ex1 (2)y =(ex-1)2_ ex(ex 1 )- (ex+ 1 工_ 2ex=(ex-1 2=(exif则 v = (In u)' u'2 2=去即y'22x5变式练习2.求下列函数的导数.(1)y=exln x; (2)y=xx2+X+解：(1)y' = (ex ln x)=exln x+ ex ：= ex In x+(2) /y=x3+1 + -12, y.y =3x2 xx题型3导数的几何意义例3(1)曲线y=x3+11在点P(1, 12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A. 9B. 3C. 9D. 15(2)设函数f(x)=g(x)+x2,

9、曲线y=g(x)在点(1, g(1)处的切线方程为y= 2x+ 1,则曲线y=f(x)在点(1, f(1)处切线的斜率为()“11A.4B.2C. 4D 2自主解答(1)y' =3x2,故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3,故切线方程是y- 12= 3(x-1),令 x= 0 得 y=9.(2)二曲线 y=g(x)在点(1, g(1)处的切线方程为 y=2x+ 1,g ' (1) = k= 2.又 f' (x) = g' (x)+2x,f' (1) = g'(1) + 2=4,故切线的斜率为4.答案(1)C (2)C变式练习3. (1)曲线y

10、 = x(3ln x+ 1)在点(1,1)处的切线方程为 .(2)直线y=2x+ b与曲线 y= - 2x+ln x相切，则b的值为()A. 2B.1八1r，C. 2D.1解析：(1)y' =3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4,所以切线方程为y1 = 4(x1),即 y=4x- 3.11,11(2)设切点的坐标为 2a+ln a依题息，对于曲线y=2x+ln x,有y = - 2+ x，所以一+ _=得a = 1.又切点11, - %在直线y = 彳x+b上，故一 - = -+ b,得b= -1.2 a 2222 2答案：(1)y=4x 3 (2)B课后练习A组

11、1.函数 f(x)= (x+2a)(x a)2 的导数为()A. 2(x2a2)B. 2(x2+a2)C. 3(x2- a2)D. 3(x2+a2)解析：选 C f' (x)=(x- a)2+(x+2a)2(x- a) = 3(x2-a2).2.已知物体的运动方程为s=t2+3(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t=2时的速度为()19A，17B.715C.713D.7解析：选 D .s' =2t-32, .s? |t=2=4-3=13.t443,已知a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a 2)x的导函数f' (x)是偶函数，则曲线y=f(x) 在原点处的切线方程为

12、()A . y= - 3xB. y=-2xC. y=3xD. y=2x解析：选 B .1 f(x)= x3+ ax2 + (a 2)x,2 . f (x)= 3x + 2ax+ a 2.,f' (x)为偶函数，a=0.：.f (x)= 3x2-2. .f，(0)=- 2.曲线y= f(x)在原点处的切线方程为y= 2x.4.设曲线y=1 + cos x在点伊,1 %处的切线与直线x- ay+ 1 = 0平行，则实数a等于()sin x 2A. - 11B.2C. 2D. 2解析：选A, 一sin2x (1 + cos x)cos x 1 cos x, 海口' y =2724.2

13、, y |x= = 1.由条件知sin xsin x2a=1, a= - 1.5.若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点 P到直线y = x 2的最小距离为()A. 1B.也2C.-2-D. , 3解析：选B 设P(xO, yo)到直线y=x 2的距离最小，则y' |x=xo=2xo,=1. xo1 .得 xo= 1 或 xo= 2(舍).，P点坐标(1,1).，P到直线y = x2距离为d =|1 1 2|6. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若 f(x), g(x)满足f' (x)=g' (x),则f(x) 与g(x)满足()A. f(x)=g(x

14、)B. f(x)=g(x)=0C. f(x)g(x)为常数函数D. f(x) + g(x)为常数函数解析：选 C 由 f' (x) = g' (x),得 f' (x) g' (x)=0,即f(x) g(x)' =0,所以 f(x) g(x)=C(C 为常数).7 .已知函数 f(x) = ln xf' (1)x2+3x4,则 f' (1) =.1解析：.f (x) = 1-2f (-1)x+3,xf' ( 1)=- 1 + 2f' (-1) + 3,：.f (- 1)=- 2, . . f' (1) = 1 + 4

15、+3=8.答案：88 .已知P, Q为抛物线x2=2y上两点，点 P, Q的横坐标分别为 4, 2,过P, Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A的纵坐标为 .解析：易知抛物线y=2x2上的点P(4,8), Q(-2,2),且y' = x,则过点P的切线方程为y = 4x-8,过点Q的切线方程为y=- 2x-2,联立两个方程解得交点A(1 , 4),所以点A的纵坐标是一4.答案：41139 .已知函数f(x) = 2x-4sin x-4cos x的图象在点 A(x°, y°)处的切线斜率为1,则tan x0113 一1 13斛析：由 f(x)=2x sin x

16、 cos x得 f (x)=2cos x+sin x,1 13.贝U k=f (xo) = 2 4cos xo+ 4 sin xo= 1,歹 61.即当sin xo 2cos xo=1,即 sin所以X0萨2k什2, kJ,解得xo=2k"竽kJ.故 tan x0= tan ,k 兀+ 23t ；= tan2=一的答案：事10 .求下列函数的导数.(1)y= x tan x;(2)y= (x+ 1)(x + 2)(x+ 3);解：(1)y' = (x tan x)' =x' tan x+ x(tan x)', sin x ,cos2x+ sin2x=t

17、an x + x cos x = tan x + x COsx=tan x + x2- cos x.(2)y' =(x+1)' (x+2)(x+3)+(x+ 1)(x+ 2)(x+3)' = (x+ 2)(x+ 3)+(x+1)(x+ 2) + (x + 1)(x+ 3)=3x2+12x+ 11.211 .已知函数 f(x)=x，g(x)=a(2In x)(a>0).右曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x= 1 x处的切线斜率相同，求 a的值，并判断两条切线是否为同一条直线.解：根据题意有曲线y = f(x)在x= 1处的切线斜率为f (1)=3,曲线y=

18、g(x)在x= 1处的切线斜率为g' (1)=a.所以 f' (1) = g' (1),即 a=- 3.曲线y = f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得：y+1 = 3(x-1),即切线方程为 3x-y4=0.曲线y = g(x)在x= 1处的切线方程为 y g(1)= 3(x- 1).得y+6= 3(x-1),即切线方程为 3x- y9 = 0,所以，两条切线不是同一条直线.12 .设函数f(x)=x3+ax2-9x-1,当曲线y=f(x)斜率最小的切线与直线12x+y=6平行时，求a的值.解：f' (x)=3x2+2ax9=3+1 2

19、-9-03,即当 x=；时，函数 f' (x)取得最小值92-aT,因斜率最小的切线与 12x+y= 6平行，32即该切线的斜率为一12,所以一9-a- = 12, 3即a2= 9,即a=冷.B组1 .等比数列an中，ai=2, a8=4, f(x)= x(xa1)(x a2)(xa8), f' (x)为函数 f(x)的 导函数，则f' (0) = ()A. 0B. 26C. 29D. 212解析：选 D f(x)=x(xa1)(xa2)(xa8),f (x)=x' (x-a1)(xa8)+x(xa)仅一a8)'=(xa1) (xa8) + x(x a)

20、 (x a8)', , f (0) = (_ a1) (, a2),(一 a8) + 0= a1 a2 a8= (a1 a8)4= (2 x 4)4= (23)4= 212. *2.已知 f(x) = sin x+cos x,记f2(x)= f1(x),f3(x)=f2(x),，fn(x) = fn1 (x)(nCN ,n>2),则 f1 后) f2。力+ f2012 i2rL.解析：f2(x) = f1' (x)= cos x- sin x,f3(x) = (cos x sin x)' = sin x cos x,f4(x) = cos x+ sin x, f5

21、(x) = sin x+cosx,以此类推，可得出fn(x)= fn+4(x),又f1(x) + f2(x) + f3(x) + f4(x)= 0 ,f1 总产 f2 ( j* , +f2 012 (尸 503f1 (/+ f2 (产 f3 f4 j= 0.答案：03,已知函数f(x) = x33x及y=f(x)上一点P(1, 2),过点P作直线l,根据以下条件 求l的方程.(1)直线l和y=f(x)相切且以P为切点；(2)直线l和y=f(x)相切且切点异于P.解：(1)由f(x)=x3 3x得f' (x)=3x23,过点P且以P(1, 2)为切点的直线的斜率 f (1) =0,故所求的直线方程为y=-2.2(2)设过 P(1, 2)的直线 l 与 y = f(x)切于另一点(x°, y°),则 f' (x0) = 3x°3.又直线过(,