立体几何题型归类总结

1、第四讲 立体几何题型归类总结、考点分析 基本图形1.棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几 何体叫做棱柱。斜棱柱棱柱，棱垂直于底面吉木土灶正棱柱I3直梭在一，、其他棱柱hi用棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体2 .棱锥棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥一一如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥3 .球球的性质：球心与截面圆心的连线垂直

2、于截面;r = Jr2 _d2 （其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.,一一一,243球面积、体积公式： S求=4R R V球=一 nR3 （其中R为球的半径） 3异面直线所成的角，线面角，二面角的求法1,求异面直线所成的角 e W（0=,90。：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证

3、明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2求直线与平面所成的角 0 0 1090°：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找： 找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。3求二面角的平面角0 0 10,n 解题步骤：一找： 根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。二、典型例题考点一：三视图2.若某

4、空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是1第3题3. 一个几何体的三视图如图 3所示，则这个几何体的体积为4.若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是a3正视图左视图俯视图第4题第5题5 .如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是3也,则a =.6 .已知某个几何体的三视图如图 6,根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是20-20俯视图7.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm（尺寸的长度单位为 m）,则该几何体的体积为 ml俯视图正（主）视图侧（左）视图第7题9. 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为第8题1的正

5、方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为图910 .一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cmD,则该三棱柱的表面积为正视图图1011 .如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为 1的圆，那么这个几何体的全面积为.图11图1212.如图12, 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为图131的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其表面积是14 .如果一个几何体的三视图如图14所示（单位长度：cm）

6、,则此几何体的表面积是主视图主视图15 . 一个棱锥的三视图如图图9-3-7 ,则该棱锥的全面积（单位:2cm )正视图左视图俯视图图1516 .图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是1,那么17 .如图17, 一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 这个几何体的体积为.9-3-14所示，则这个棱柱的体积为18 .若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图图18考点二体积、表面积、距离、角注：1-6体积表面积7-11异面直线所成角12-15线面角1 .将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面

7、积增加了 .2 .在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为3 .设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为防,那么它的体积为 .4 .正棱锥的高和底面边长都缩小原来的1 ，则它的体积是原来的 .25 .已知圆锥的母线长为 8,底面周长为6无，则它的体积是 .6 .平行六面体AC1的体积为30,则四面体AB1CD1的体积等于 .7 .如图7,在正方体 ABCD -ABG D中，E,F分别是A D GD中点，求异面直线AB与EF所成角的角与SC所成角8 .如图8所示，已知正四棱锥 S ABCD侧棱长为J2 ,底面边长为 J3 , E是SA的中点，则异面

8、直线 BE 的大小为.CD和10.如图9-1-3,在长方体ABCD -ABiCiD1中，已知AB=43BC，bc =cc1,则异面直线AA与BC1所成的角是,异面直线AB与CD1所成的角的度数是图1311.如图9-1-4,在空间四边形ABCD中，AC-LBD AC = BQE,F分别是AB、CD的中点，则EF与AC所成角的第8题9.正方体ABCD -ABCD中，异面直线第7题& EB-1-4大小为12.正方体AC1中，AB1与平面ABC1D1所成的角为BC所成的角的度数是图9-1-2图g-QT13.如图13在正三棱柱ABCABG中，AB=AA ,则直线CB与平面AABB所成角的正弦值为

9、15.如图9-3-1 ,已知 MBC为等腰直角三角形，P为空间一点，且 AC =BC =5j2, PC _L AC , PC _L BC , PC = 5, AB的中点为M ,则PM与平面ABC所成的角为 16 .如图7,正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为1, O是底面 AiBiCiDi的中心，则 O至U平面 AB CiDi的距离为.17 .一平面截一球得到直径是 6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是 .18 .长方体ABCD ABC1D1的8个顶点在同一个球面上，且 AB=2 AD=J3 , AA1 = 1 ,则顶点A、B间的球面距离 是.19 .已知点 A,B

10、,C, D 在同一个成求面上,AB 面 BCD , BC _LCD,若 AB=6, AC =2713, AD=8,则 B,C 两点间的球面距离是 .20 .在正方体ABCD AiBiCiDi中，M为DDi的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱AiBi上任意一点，则直线 OP与直线AM所成的角是 .21 . AABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是 30 °和45 °，若AB=3 , BC= 472 ,AC=5，贝U AC与a所成的角为 .22 .矩形ABCD中，AB=4 , BC=3 ,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B - AC

11、- D,则四面体ABCD的外接球的体积为.23 .已知点 A, B,C,D 在同一个球面上，AB_L 平面 BCD, BC _L CD,若 AB = 6, AC = 2j13, AD = 8,则B,C两点间的球面距离是 .24 .正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2： 3 ,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 .25 .已知 S,A, B,C 是或O 表面上的点，SA_L 平面 ABC, AB 1 BC , SA=AB=1,BC = J2,则球O表面积等于.3226 .已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为 一冗，则正方体的棱长为327 . 一个四面体的所有棱长都为22 ，四

12、个顶点在同一球面上，则此球的表面积为忖点四 平行与垂直的证明1 .正方体 ABCD-A 1B1C1D1, AA 1=2 , E 为棱 CC1的中点.(I)求证：B1D1 _LAE ；(口)求证：AC平面BiDE；(m)求三棱锥 A-BDE的体积.2 .已知正方体ABCD -A1B1C1D1 ,。是底ABCD对角线的交点.求证：(1) CiO/面ABiDi ； (2)AC _L面ABiDi .3 .如图，PA_L矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点.(I)求证：MN/平面PAD;(口)求证：MN -LCD ；PN(m)若 /PDA =45'，求证：MN _L 平面 PCD

13、.4 .如图(1), ABCD为非直角梯形，点E, F分别为上下底AB , CD上的动点，且 EF _L CD。现将梯形AEFD沿EF折 起，得到图(2(1)若折起后形成的空间图形满足DF _L BC,求证： AD _L CF ；(2)若折起后形成的空间图形满足 A, B,C, D四点共面，求证： AB/平面DEC ；5 .如图，在五面体 ABCDEF中，FA _L平面ABCD, AD/BC/FE , AB _LAD, M 为 EC 的中点，N 为 AE 的中点，AF=AB=BC=FE= - AD2(1) 证明平面 AMD _L平面CDE;(II)证明BN 平面CDE;6 .在四棱锥P-ABC

14、D中，侧面PCD是正三角形，且与底面 ABCD垂直，已知菱形ABCD中/ADC = 60M是PA的中点，。是DC中点.(1)求证：OM /平面PCB；(2)求证:PA± CD ;(3)求证：平面FABL平面COM.7 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD，底面ABCD , PD=DC, E是PC的中点，作 EFLPB交PB于点F.(1)证明PA平面EDB; (2)证明PB，平面EFD8 .正四棱柱ABCD-A iBiCiDi的底面边长是 J3 ,侧棱长是3,点E, F分别在BB1,DDi 上，且 AEXAiB, AFXAiD .(1)求证：AiC上面

15、AEF;(2)求二面角A-EF-B的大小；(3)点B1到面AEF的距离.考点五 异面直线所成的角，线面角，二面角1 .如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD为正方形，PDL底面ABCD, PD=AD.求证：(i)平面PAC，平面PBD; (2)求PC与平面PBD所成的角；B2 .如图所示，已知正四棱锥 S ABCD则棱长为，2,底面边长为 J3, E是SA的中点，则异面直线 BE与SC所成角的大小 为.3 .正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1底面边长为1 ,侧棱长为 2 ,涉华9棱柱的侧面对角线 E1D与BC1所成的角是一.A£?4 .若正四棱锥的底面边长为 2%3cm,

16、体积为4cm3,则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 .5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中，AB -L AC，PA -L 平面 ABCD ,且 PA=AB,点 E 是 PD 的中点.(1)求证：AC _L PB ；(2)求证:PB/ 平面 AEC ；(3)若PA = AB = AC =a，求三棱锥EACD的体积；(4)求二面角EAC D的大小.PB考点六线面、面面关系判断题1 .已知直线l、 m 平面a、0,且l，a,mU0,给出下列四个命题：(1) a / 0 ,则 l _Lm(2)若 l _L m,则 a / 0(3)若 a _L 0 ,贝U l / m(4)若 l /

17、m,贝U a _L 0其中正确的是.2 . m、n是空间两条不同直线，a、0是空间两条不同平面，下面有四个命题： m，a,nR,c(P= m 1 n; m _l n产,m_L a = n 口 ；曲 m，n," 口 P, m口a = n 1 P ； m，a , mn,a P = n，%其中真命题的编号是(写出所有真命题的编号)。3 . l为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：P 1 Y a .L P a 1 '/ P/Ync(_LP l/a l_LP=a_LP其中正确的命题有.4 .对于平面口和共面的直线 m、n，（i）若m _L*m _L n,则 n/ a 若 mi/ s,n a,则 m/ n若m uc（,n/ c（，则m/ n （4）若m、n与ct所成的角相等，则 mH n 其中真命题的序号是.5 .关于直线nr n与平面1a与口，有下列四个命题：若 ma,n/ B 且/ B ,则 m/n；若 m _La,n _L P 且口 _L B ,则 m_l n ；若 m，叫门 口且“ ° ,则 m_L n ；若 m/£,n