河南高考理科数学试题

1、(C)(-詈，号)(d)(¥，吟33如15年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页，第n卷3至5页.2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3 .全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4 .考试结束后，将本试题和答题卡一并交回第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.(1)设复数z满足巨z = i,则|z| =1 - z(A)1(B) .2(C) ,3(D)2(2)sin20° cos10° con

2、160° sin10° =(A)-3(B)( 一二u(O-：叫(3)设命题P:三nWN, n2>2n,则P为(A)VnN,n2>2n(B) 3 nN,n2< 2n(C)VnN,n2 < 2n(D) 3 nN, n2 = 2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的 概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A) 0.648(B)0. 432(C) 0. 36( D) 0. 312x2(5)已知M(X0,y。)是双曲线C:£-y2=1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若MF

3、1 MF2<0,则y°的取值范围是(6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内角， 下周八尺，高五尺.问:积及为米几何？其意思为：”在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆 锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多 少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有(A)14 斛(B)22 斛(C)36 斛(D)66 斛(7)设D为& ABC所在平面内一点T TBC =3CD ,则7"?147T(A) AD =AB AC 33T 4- 1 -(C) AD =

4、 AB AC 33K 177 4H(B) AD =AB AC 33一 4一 1 T(D) AD = AB AC 33(8)函数f(x) =C0S(3H +仍的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为13krt - - fczr + -(A)(44),kL132kn -+ -(b)(44), kL132k - -,2k + -(D)(44),(9)执行右面的程序框图，如果输入的t = 0.01,则输出的n =(A)5(B)6 (C)7 (D)8正视图俯视图每个试题考生都必须作答则该圆的标准方程为(10) (x2+x + y)5的展开式中，x5y2的系数为(A)10(B)20(C)30(D)6

5、0(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,(12)该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的(13)表面积为16 + 20冗，则r =(A)1(B)2(C)4(D)812.设函数f(x) =ex(2x 1) -ax+ a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(刈)<0,则a的取值范围是()33 33 33A.，1) B.，一) C. 一,一) D. 一，1)2e2e 42e 42e第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题, 第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题

6、5分(13)若函数 f(x) =xln(x+ Ja+x2 )为偶函数,则 a= 22X V' + = 1(14) 一个圆经过椭圆164的三个顶点，且圆心在x轴上，x -1 _0(15)若x, y满足约束条件xyE0,则上的最大值为xx + y -4 < 0(16)在平面四边形 ABCD中，/A=/B=/C = 75° , BC = 2,则AB的取值范围是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)Sn为数歹U ah的前n项和.已知an>0, % + *% = 4sH + 3(I )求信门的通项公式:1Cbn (H )设 %

7、+ i ,求数歹U的前n项和(18)如图，四边形 ABCD为菱形，/ABC=120° ,E, F是平面ABCD同一侧的两点，BE,平面ABCRDFL平面 ABCD, BE = 2DF, AEXEC.(1)证明：平面 AECL平面AFC(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i = 1, 2, 一，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 .售.里皿.血；口 W £*&A短年宣传费(

8、千元)14x yw13(Xi - x)?x书1T(wi w ) %：/表中 wi = Vx i, , w = - Z w1 8 xi (I )根据散点图判断，y= a+ bx与y=c+ d xx哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由 )(R)根据(I)的判断结果及表中数据，建立 y关于x的回归方程；(田)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z= 0. 2y x.根据(H)的结果回答下列问题:x书1.(xi x)(yx书y)1(Wi x书 W)(y y)46.656.36.8289.81.61469108.8(i)年宣传费x=49时，年销售量及年利

9、润的预报值是多少？(ii )年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(UiVi),(U2V2) (UnVn),其回归线V=a+Pu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：n工(Ui -u)(Vi -v) _:二 Ln，1-v - : ux (Ui -u)2i 1(20)(本小题满分12分)2在直角坐标系xoy中，曲线C： y= x-与直线y= kx+ a(a>0)交于M, N两点，4(I )当k= 0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(H)y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/ OPM=/OPN?说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数 f(x) = x3+ax+二

10、，g(x) =-ln x4(I)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(H)用 min m,n表示 m, n 中的最小值，设函数 h(x) = min f (x), g(x) (x>0)，讨论 h(x)零点的个数 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所 做第一个题目计分，做答时，请用 2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(本题满分10分)选彳4-1:几何证明选讲如图，AB是。的直径，AC是。的切线，BC交。O(I) 若D为AC的中点，证明：DE是。的切线;(II ) 若 OA=CE,求/ACB 的大小.(23

11、)(本小题满分10分)选彳4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线C1 :x=2,圆C2: (x1)2+(y2)2=1,以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求C-C2的极坐标方程；(II) 若直线C3的极坐标方程为H=£(PWR),设C2与C3的交点为M , N ,求4C2MN4的面积(24)(本小题满分10分)选彳4-5:不等式选讲已知函数八工)=X+1|2|xa|, a>0.(1)当2=1时，求不等式f(x)>1的解集；(H)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围2an 2an = 4Sn 32015年普通高等学校招生全

12、国统一考试理科数学试题答案选择题答案一、 选择题(1) A(2) D A(8) DA、B卷非选择题答案 二、填空题(3) C(4) A(9) C(10) C(5) A(6) B(11) B (12) D(13) 1(14)(x±3)2 +y2 =2524(15) 3(16)二二、 解答题(17)解：(I)由 an2+2an=4&+3,可知 a24+2%卅=4& J3.可得 an 4an +2(an44 a) = 4an书 即222(an 1 an) =an 1 -an =(an 1 , a)(an .a)由于an a。可得an书-an =2. 2又 a1 +2a =4

13、a1 +3 ,解得 a1 = 1(舍去)，a1 =3所以%是首相为3,公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1.(II)由 an =2n + 11bn 二ana 1:一().(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3设数列bn的前n项和为Tn ,则Tn =bi b2 IH bnJ(1 -1) (1 -1)()-(2 IL 3 55 7 2n 112n 3(18)解:n3(2n 3)(I)连结 BD,设 BDr)AC=G,连结 EG, FG, EF.在菱形ABCD中不妨设GB=1.由/ ABC=120可得 AG=GC二曲.由 BE_L平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC.又

14、AE 1EC,所以 EG=73 ,且 EG1AC.在 RMEBG 中，可得BE=嫄故DF=?.在RMFDG中，可得FG=6.2在直角梯形 BDFE中，由BD=2, BE=口 DF=三， 2可得 FE=32 .从而 EG2 + FG2 = EF2,所以 EG _L FG 2又ACpFG =G,可得EG _L平面AFC.因为EG u平面AEC所以平面AEC _L平面AFC(III)如图，以G为坐标原点，分别以GB, GC的方向为x轴，y轴正方向,GB为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz.由(I)可得 A(0,-百0), E(1Q扬，F(-1,0,e),C(0,石0)所以2AE = (1,4向,

15、CF = (1,石 刍.故 cos(7E,CF23所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为学(19)解:型。(I)由散点图可以判断,y=c+djx适宜作为年销售量 y关于年宣传费x的回归方程类2分(II)令w = JX ,先建立y关于w的线性回归方程。由于n” (wi -w)(y，-y)Q i -4108.8u = _n = =68"(wi -w)21.6i 4(? = y -而=563-68父6.8 =100.6 。所以y关于 w 的线性回归方程为？ = 100.6 +68w ,因此y关于x的回归方程为? =100.6 +684。6分(III) (i)由(II)知，当x=49时，年

16、销售量y的预报值y? =100.6 68.49 =576.6年利润z的预报值? = 576.6 父 0.2 -49 = 66.32。9 分(ii)根据(II)的结果知，年利润 z的预报值2=0.2(100.6 68 .X) -x - -X 13.6, x 20.1213.6所以当jx = =6.8 ,即x=46.24时，？取得最大值 2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。12分(20)解：2(I)有题设可得M (2出),N(-2g；a),或M (-2返© ).又y=？，故丫=*在x = 224处的导数值为指,C 在点(2aa,H)的切线方程为y -a aJa( x石艮自

17、匚a诙 -y w02_y ='在 x =2 /a ,即 Vaxy+a=0.4股所求切线方程为、ax - y -a =0和ax y a -0(III)存在符合题意的点，证明如下：设P(0, b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM, PN的斜率分别为k,k2y =kx +aKA CTT程得 x2-4kx-4a=0.故 x1 x2 =4k, x1x2 二-4a.从而kx+a代入C的方程得xx1x2k(a b)a当b=-a时，有ki +k2 =0,则直线PM的倾角与直线PN勺倾角互补，故 NOPMUOPN所以点P(0,-a)符合题意(21)解：(x°,0)则f(x&#

18、176;)=0, f(xo)=0即3.1 _0(I)设曲线y=f(x)与x轴相切于点J。ax0 4»c 2，c3x0 + a = 0二 13解得x°二，a=-3 4 因此，当a=3时，x轴为曲线y = f(x)的切线4(II)当xW(1,收)时，g(x) =1nx<0,从而h(x)=min f (x), g(x) w g(x) < 0,故h(x)在(1,口)无零点， 一，一 5 一.5一当x =1时，右 a 之一一则 f (1) =a + 之 0, h(1) = min f (1), g(1)= g (1)= 0,故x = 4是 h(x)的零点；若 aM-),则

19、f(1)<0,h(1)=min f (1),g(1)= f (1) < 0,故x = 1 不是 h(x 的 零 点4当x W ( 011 ) x =g/x)所以1需考虑.(x)在(0,1 )的零点个数 若a M-3或a之0,则f' (x) =3x2+a在(1,0 )无零点，故f(x)在(0,1 )单调15 一f(0) =一，f(1)a +-,所以当a E-3时，f(x)在(0,1 )有一个零点；当a20时f(x)在(1,0 )没有零点 44(iiW-3<a<0MiJf(x/ (0,|)单调递减，在(J-1,1)单调递增,故在(0,1 )中-4kx-4a =0.故

20、x1 x2 =4k,x1x2 - -4a.从而k1 k2 =yi - by2 - bx1x22kxix2 (a -b)(x1 x2)当x=C时，f(x)取得最小值，最小值为若 f(Ja) a0.即3<a<0, f(x)在(0,1 )无零点； 34若f(_a)=0,即a=- 3则f(x)在(0,1)有唯一零点a一一3 .153右 f (J一)<0,即3 < a < ,由于 f (0) = , f (1) = a + < a < ,344445 .时，f(x)在(0,1 )有两个零点；当-3<a E时，f(x)在(0,1)有一个零点 43 .53.5 .2>-一或2<-时，h(x)有一个苓点；当 a =-或a =-时，h(x)有两个苓点 4444.53 .，.一 .当-Ha< 一时，h(x)有二个苓点.4 4(22)解：(I)链接 AE,由已知得， AE _L BC AC .L AB在 RtAAEC 中，由已知得，DE=DC 故/DEC =/DCE链接 OE,则/ OBE= / OEB 又 / ACB+ / ABC=90 ° 所以 / DEC+ / OEB=90 °故/OED =90° , DE是L O得切线(I