112余弦定理导学案

1、 K 余弦定理学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题二、学习过程三、课前准备、阅读教材在 P5- P7页，完成以下问题：?正弦定理：aa=ab=ac=27?的常见变形：(I) sinA : sin B : sin C=；_abcq+.+ c AsinA -sinB -sin C sin A+sin B+sinC(3) 。=, b=, c=；(4) sin A=, sin B= sin C=.?三角形面积公式：S=预习课本完成以下公式涉=b例 2.例 2.在 ZXABC 中，BC = a , AC ,且 a, b 是方

2、程 x - 2 A/3X + 2 - 0 的两根，2cos(A + 3)= I =c2 = cosA= cosB=cosC=,C=30 ° ,解此三角形复习2 :在厶ABC中，巳知c = 10 , A=45思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？四、新课导学如图 1. 1-4, 在 zABC 中，设 BC=a, AC=b, AB=c, 已知a, b和ZC,求边c(图1. 1-4)探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题?用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长冋题，从而可以考虑用冋量来研究这个冋题。A如图1.5,设 CBa,CA b, AB

3、 c ,那么c = a人，贝I / c|c| -c c - (Aa -bA(a -=a,a + b b2a bC a B=+ 时-2a ? b从而c':=a' + b'-2ab cos C(图1.1-5)同理可证2 a=bz +c" - 2bccosA1 2 2b =a +c-2accosB即一角？余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求岀第四个量，能否由三边求岀(由学生推岀)从余弦定理，又可得到以下推论：cosA=cosB= cos C =例

4、1.在厶ABC中，已知 0=2人，c= 必+"5, 3=60 ° ,求 b 及A(1) 求角 C 的度数；(2) 求 AB 的长；(3) 求 ZABC 的面积理解定理(1) 若 C= 90°,则 cos C =, 这时 c2 = a2 + b 2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例 .(2) 余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 巳知三角形的三条边就可以求出其它角 .试试：(1) ABC 中，a = 3$, c = 2 , B = 150 ,求力.(2) ABC 中，。=2, b = A/2 ,

5、 c = V3 +1,求 A.淤典型例题例1.在 A8C中，已知 a =, b = A/2,B = 45 ,求 A, C 和 c .变式：在 ABC 中，若AB= -J5 , AC=5,且 cosC=，则 BC=.10例2.在厶ABC中，已知三边长。=3, 0 = 4, c = A/37 ,求三角形的最大内角变式：在人ABC中，若a2 =b2 + c 2 + be ,求角A.三、总结提升淤学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例2. 余弦定理的应用范围： 已知三边，求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边 .淤知识拓展在左ABC中，若 a2+b2=c

6、2f 则角 C 是直角；若 a2+b2<c2, 则角 C 是钝角；若 a2+b2>c2f 则角。是锐角 .淤当堂检测1. 根据下列条件，求解 .已知 a=3, b=4, c 二 07 , 求已知 a=l, b=l, 0120 °,求 c ；已知 a:b:c= 1:2, 求 A, B,C；已知 a 二 2 右， c 二 2, 030 °, 求 b；2.(l)b在AABC中，解三角形3, c=3, A=60 °；(2)a=20, b=29, c=21 ；3,A. #已知日=也,c=2, B=150DE°, 则边方的长为 (: ).4.已知三角形的

7、三边长分别为3、5、7,则最大角为().A. 60 B. 75 C. 120 D. 1505.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是( ).A. A/5B. <X<5 C. 2< XvA/5D. A5 <x<56.在 AABC中，| AB |=3,| AC|=2, AB与AC的夹角为60°,贝 ij| AB -AC=.7.在ZkABC中，己知三边、b、c 满足 b1 + a 在 ZVIBC 中，A8=5, BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值. -c 1 =ab ,则ZC等于.8.在厶 abc 中，若 sin A: sin 8: sinC = (J5 1): (J5 + 1):求最大内角9.在 aabc中,已知 Z?2 sin2 C + c2 sin2 B = 2Z?ccosBcos C,试判断三角形的形状10.己知方程x2 - (Z?cos A)x + a cos B = 0的两根之积等于两根之和，c的两边，a, B为两内角，试判断这个三角形的形状11.如图所示的四边形 ABCD中，已知 AD±CD, AD=10,AB=14, ZBDA=60 ，匕 BCD= 135 ,求 BC 的长.12.我舰在敌岛