有限元考试题

1、1 1 名词解释：剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。（大小相等，正负号也相同）。位移法：位移法是解决超静定结构最基本的计算方法。位移法获得的解是唯一踊定的.有限元问題求解采用位移法虚功原理：弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功（外力功）等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功（内力功）圣维南原理：对于作用于物体局部边界上的面力用另一组与之静力等效（主矢和主矩相等）并且作用于同一小块表面上的力系来代替，则在力系作用区域的附近，应力分布将有 显著的改变，但在远处所受的影响可不计。最小

2、势能原理：在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价叠加原理：在线弹性（物理线性）和小变形（几何线性）情况下，作用于物体上几组荷载产生 的应力和变形的总效应，等于每组荷载单独作用效应的总和。位移模式：按弹性力学位移法求近似解的思路，位移作为基本未知量时，需要对单元上位移的分布作出假设，即构造含待定参量的简单位移函数一一位移模式。形函数：等参元：等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数 目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。

3、节点的自由度：节点所具有的位移分量的数目。单元自由度：一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。刚度集成法结构中的结点力是相关单元结点力的叠加，整体刚度矩阵的系数是相关单元的单元刚度矩阵系数的集成。虚功等效：原单元载荷与等效节点载荷在单元任意虚位移上的虚功相等。2.2. 填空题1 1 有限元法的实质：一将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体化无限自由度问题为有限自由度问题。将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为 _有限个参数的代数方程组的求解问题2 2 弹性力学的基本假设：（1 1）（连续性）（2 2）均匀性 （3 3）（各向同性）（4 4）完全弹性 符合（1 1）- - （4 4）假

4、定的称为（理想弹性体）。（5 5）小变形假定 满足以上五个基本假设的弹性力学称为（弹性力学）。3.3.有限元方法的两大应用：科学计算或 （数值模拟）、数字设计或（虚拟仿真）。4.4.弹性体受外力以后，其内部将产生 （应力）。还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：（1 1、给出各点的位移；（运动）三个位移分量）,（2 2、给出各微元体的变形 （应 变）六个应变分量）。位移法5 5在弹性体内部，三类基本方程：根据微分体上（平衡条件），建立平衡方程。根据微分线段上应变-位移的几何条件，建立 （几何方程）；根据（应力-应变间的物理条件 ），建立物理 方程。1111 位移函数中待定常数个数

5、应等于（单元节点自由度总数）。12.12.形函数决定了 （单元上位移分布的形态）。事实上，单元位移模式就是所有形函数的（线 性组合），一个单元的位移模式决定了（单元描述局部位移场）的能力， 决定求解的精度、1414.单元刚度矩阵中元素的物理意义为（单元受节点力作用后抵抗变形的能力），它决定于该单元的形状、大小、方位和（弹性常数），而与单元的（位置）无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。1515 载荷移置的原则 （虚功等效）。1616 引入约束的方法常有：（对角元素置一法）主要用于节点固定的场合，对于给定节点位移 的场合，主要用（对角元素乘大数法）引入约束。1717 等参单元刚度矩阵的积分式

6、中被积函数很难导出解析表达式，因此等参单元的计算都采 用（数值积分）求积分的近似值，考虑到减少计算点数，多采用（高斯数值积分）。1818 轴对称问题只需在（子午面）内描述，板的弯曲问题主要是在内描述。1919 计算稳态温度场实际上是求解 （偏微分方程的边值问题），采用（加权余量法）建立稳 态温度场分析的有限元列式。采用（伽辽金法）对权函数进行选择。2020 动态分析中包括（固有特性分析）和响应分析。固有特性分析主要是求解各级模态，包 括求解 （各级固有频率）和振型。简答题：1 1、有限元法的实质？将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体，化无限自由度问题为有限自由度问题。 将连续场函数的（偏）微

7、分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。2 2、理想弹性体的五点假设？（1 1）连续性（2 2）均匀性 （3 3）各向同性 （4 4）完全弹性 符合（1 1） - - （4 4）假定的称为 理想弹性体。（5 5）小变形假定 满足以上五个基本假设的弹性力学称为线弹性力学。3 3、有限元分析的基本步骤？1 1）建立研究对象的近似模型。2 2） 将研究对象分割成有限数量的单元（结构离散化）3 3） 用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分析）（1 1）选择位移模式6 6圣维南原理主要作用是（静力等效）7 7.平面三角形的单元自由度是（6 6）,形函数是矩形单元的单元自由度是（8 8

8、）,形函数是i i佝bxbx Gy)Gy) ( (i i=丨,m m,n n),空间四面体的单元自由度是（8 8）,形函数是,（i=1,2,3,4i=1,2,3,4）ti i为 i i 节点的局部坐标。板壳单元的单元自由度是 _，形函数是_1Ni(1i)( 1i)4。& &单元刚度矩阵具有如下性质（对称性）、（奇异性）、（主对角元素恒等）9 9 离散化的内容包括（结构离散）、（载荷离散）。1010.单元参数只能通过 （节点）传递到相邻单元。1 1x xy yN Nk(1-(1-)(1)(1) )4 4a ab b1 1x xy yN Nl(1(1)(1-)(1-)4 4a ab

9、 b1 1 x x y y N Nm(1(1)(1)(1) )4 4a ab b1 1x xy yN Nn(1-(1-一)(1)(1) )4 4a ab b收敛性等，而形函数是最重要的因素。1313.单元刚度矩阵通式_|_k eVe小mv（2 2） 建立单元刚度矩阵（3 3） 计算等效节点力4 4 ）将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统（单元集成）5 5） 用数值方法求解这个近似系统。（选择合适计算方法计算节点位移、应力、应变）6 6） 计算结果处理与结果验证（如何显示、分析数据并找到有用的结论）4 4、什么是形函数，形函数的基本性质？形函数决定了单元上位移分布的形态。事实上，单

10、元位移模式就是所有形函数的线性组合。一个单元的位移模式决定了该单元描述局部位移场的能力，决定求解的精度、收敛性等,而形函数是最重要的因素。5 5、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。位移函数中待定系数个数应等于单元节点自由度总数。位移函数的形式一般选为完全多项式，根据PascalPascal 三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由度数。6 6、什么是平面应力问题、平面应变问题？平面应力问题的基本特征：1 1）几何特征物体在一个方向（z z）的尺寸远远小于其它两个方向（x,yx,y）的尺寸。几何为均匀薄板。2 2）受力特征薄板的两个侧面上无

11、载荷作用边缘上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用；体力平行于板面且不沿板厚变化（x,yx,y 的函数）平面应变问题的基本特征：1 1）几何特征一个方向（z z）尺寸远远大于其它两个方向（x,yx,y）的尺寸，呈现为无限长等截面柱体。2 2）受力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。通常用多项式函数作位移模式，对三节点三角形单元， 有 6 6 个待定节点位移分量， 所以单元上的位移函数只能是含 6 6 个待定系数的完全一次多项式：u（x, y）二印a?x a3yv（x, ya4a5x a6yai ia6 6 为待定系数，称为广义坐标。7 7、什么是位移模式？如何构建，以三

12、角形三节点为例分析其收敛性。按弹性力学位移法求近似解的思路，位移作为基本未知量时， 需要对单元上位移的分布作出假设，即构造含待定参量的简单位移函数一一位移模式。在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度8 8、单元刚度矩阵的特点是什么？整体刚度阵的特点？单元刚度矩阵的特点1 1）物理意义2 2）对称性3 3）奇异性4 4）主对角元素恒正总刚矩阵具有单元刚阵的性质：对称性、奇异性、主对角元素恒正、奇偶行元素之和分别 为零、稀疏性、带状性9 9、为什么单元载荷需要移置？有限元模型中单元通过节点连接形成离散结构；通过节点传递位移和力；单元和整体结构的特性主

13、要是节点力学量之间的关系。 因此边界条件必须对节点给出，所有载荷必须等效作用 在节点上，这也是连续模型离散化的要求。1010 等参元有限元分析三个基本步骤是什么？1 1） 计算用局部坐标表示的形函数 N N i i 对整体坐标 x x、y y 的偏导数；2 2）将整体坐标系中的面积积分转换为在局部坐标系中的面积积分；3 3）用数值积分计算出单元刚度矩阵中的元素。步骤 1 1）和 2 2）是等参单元单元分析的关键步骤。1111 如何得到整体刚度矩阵？总刚矩阵的叠加规律是什么？基本方法是刚度集成法， 即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。刚体集成法即结构中的结点力是相关单元结点力的叠加，整体刚度矩阵

14、的系数是相关单元的单元刚度矩阵系数的集 成。总刚矩阵中各个子块是由各个单元刚度矩阵的相应子块叠加而成的。其叠加规律为：设总刚的某子块为 KrsKrs1 1、 当 r=sr=s，KrsKrs 是主对角线的子块，它们是绕节点r r 的各个单元刚度矩阵相应对角线子块 的叠加，如主对角线上的子块；2 2、 当工 s s , ,而 r r、s s 被一个单元同时拥有（即 rsrs 相关，为单元的边），则是拥有该单元边 rsrs 的所有单元刚度矩阵的相应子块的叠加3 3、 当 r r s s，且 r r、s s 不属于同一单元，即 r r、s s 互不相关，贝 U U KrsKrs 为零子块。 根据这些规

15、律，总刚矩阵K K的形成可直接利用单刚矩阵的子块叠加即可；1212、什么是杆，什么是梁？平面钢架问题的单元刚度阵怎样求解？杆荣结构是指长度远大于苴横断面尺扌的构件组成的系统。在结构力学中常 将承受轴力或扭矩的杆件成为杆，而将承受横向力和憊矩的杆件称为梁耶1313、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为曲的 （指一个单元），则称为壳问题。如作用于板上的载荷仅为平 行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载 荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。计算题：1 1

16、、在均质、等厚的三角形单元ijmijm 的 ijij 边上作用有沿 x x 方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。解:XiNi01Yi0NiXiNi0JJ =fYjs0NJXmNm0,m I.0Nm一qxtdxdy取局部坐标 s s,在 i i 点 s=0s=0,在 J J 点 s=ls=l, L L 为 iJiJ 边的长度。在 iJiJ 边上, 以局部坐标表示的插值函数为，ss0N1NijLLsqqxLLL02LLLXJ000v0v儿2y/3a222s3兀 Js2s33L23L2)XiNm m载荷为:ss二(1 )q tdsoL L二qt(qts s q tdsL L0（2 2 ）求解

17、形函数矩阵 N NA/3 .4 二% 一心儿22 2、如图所示等边三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E，泊松比J;单元的边长及结点编号见图中所示。求:（1 1）构建三角形单元的位移模式口=一（巧_,）= 一| 勺=_（兀”_兀）二_2 三角形的面积、二旦占4将以丄数据代入式（30）,得N严主（务+b产十qy）二40.0)323 3、已知如图(a(a)所示的悬臂深梁，在右端面作用着均布拉力，其合力为P P。采用如图(b)(b)所示简单网格，设_1/3, ,厚度为 t,t,试求节点位移。解：单元，i. js ni 分别为 1. 2x 3,坐标如图KJc eF A叽 J +211-u1-H12#g

18、+ -晌2r s0:-彳2 I0 -2 1i1 2-17 0*i|ii Ir r a aa a； g g - -|1 -32；7一*4 -42I11 2-1! *4A132芒1i 0-2；-424 o i1t1It):2“20 121:11 -12总体刚度矩阵;II7 毎I对称I总体刚度方程：Aff -/英中值=uy 划也旳M,%MT，另外，位移边界条件；i=vi= M4=V4=0 F=U 厲，叫6,沧内几 另外，有节点载荷：UUPH求解化简后总体刚度方程，得节点位穆，7-4-421仏3EI -4132-12叫0- -I彳卜=4卜32 I -4270| . | P /2 |_2-12013 _

19、|卜JI 0 j4 4、用刚度集成法求图所示结构的整体刚度矩阵。单元，i、j、mo分别为1. 3. 4,坐标如图巧=打 化=儿-yt-1一儿=-丨*匚 5JK蛊=JKL JK41K44=1Jt0w r I 00 0 ! -3A0V2 i -3S r i.981叮p0333 4、55 3. 23 5. 6局部编码 J八j、用人八m=，八册八j、朋以整体編码表示的单兀刚度矩阵子块JEfftJRO)仏2 A|5計r(o* p A -yjrtU 0【 沙 展如皿；V(2)愿 用22八24r(2)童“giJ)JZU)賈內A”虚和Z0珅ggHvfJ)*创卅pT l-lfAWAJS%醞呼c厅廿 财卩卜jzl

20、13*At同例 32 类似的分析，得-2 0 01-2-I30-10 2 0-1 0 1根据单元刚度矩阵的性质，可知= K，由于 儿何矩阵対）=-沪，所以有 K=川引，整体刚度矩阵 中的各子块是对所有单元相应的子块求和得到的（实际 只是对相关单元求和），其中各子块矩阵均为 2 行 X2 列, 整体刚度矩阵用-11 0小1003I-7-1-1 0 1子块矩阵可以表示为上式巾任意一子块矩阵均为2行X2列， 在计算过程巾， 无 需将每个单元刚度矩阵进行扩大，只需判断整体刚度矩阵 子块的下标，然后利用组装整体刚度矩阵的一般规则进行 计算，如心，由图形可知，节点2由单元、和所共 有,则心皿+农）+絵K“由图形可知，25 边为单元和的共用边，则 心=磴+昭忑,由图形可知，节点 5 不同属于任何单元，则采用同样的方法进行计算，得到整体刚度矩阵为10020-1-200100000-106-4亠1T-1-216十1-20十;00-4-16100Et1(-1-2f600400-10003100_200130001_2_200010-1-4-1-)