二阶变系数线性非齐次微分方程的通解公式

1、收稿日期 2007-04-23作者简介 邢春峰(1970 ,男,山东德州人,北京联合大学基础部副教授,主要从事应用数学理论与高职数学教学的研究;袁安锋(1979 ,男,山东日照人,北京联合大学基础部助教,主要从事应用数学理论与高等数学教学的研究。二阶变系数线性非齐次微分方程的通解公式邢春峰,袁安锋(北京联合大学基础部,北京 100101摘 要 为了更多地得到理论上和应用上占有重要地位的二阶变系数线性非齐次微分方程的通解,这里使用常数变易法,在先求得二阶变系数线性齐次微分方程一个特解的情况下,将二阶变系数线性非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程,从而给出了一种运算量较小的二阶变系数线性非齐次微分

2、方程通解的一般公式,并且将通解公式进行了推广,实例证明该方法是可行的。关键词 二阶变系数线性非齐次微分方程;通解;特解中图分类号 O 175 文献标识码 A 文章编号 1005-0310(200704-0074-03 二阶变系数线性非齐次微分方程y +p (x y +q (x y =f (x (1在纯粹数学、应用数学、工程技术及力学、物理学等领域有着及其重要的位置。关于它的通解结构,有着十分完美的结论,但求解变系数微分方程却无一般方法。只有在一些特殊情况下(如文献1的常系数化等才能够求出用初等函数表示的解。本文在方程(1中的p (x ,q (x 满足(如文献2r 2+p (x r +q (x

3、0(2的条件下(其中r R ,给出了二阶变系数线性非齐次微分方程通解的公式,并在此基础上进行了推广。设方程(1的通解为y =u (x v (x uv即寻找两个函数u =u (x ,v =v (x ,使得y =uv 为方程(1的通解。求导得y =u v +uv ,y =u v +2u v +uv 将y ,y ,y 代入(1化简得uv +(2u +p (x u v +(u +p (x u +q (x u v =f (x (3首先寻找函数u =u (x 。在(3中不妨令u +p (x u +q (x u =0(4方程(4为二阶变系数线性齐次微分方程,文献2给出一类若p (x ,q (x 满足(2,则

4、方程(4的一个特解必为u =erx(5其次寻找函数v =v (x 。将(4代入(3整理得v +2uu+p (x v =f (x u (6显然(6为可降阶的微分方程。利用可降阶的微分方程的求解方法可求得(6的通解(即求得v =v (x 为v =1u2e - p (x d xf (x u ep (x d xd x +c 1d x +c2其中积分 p (x d x , f (x u ep (x d xd x 和 1u 2e - p (x d xf (x u e p (x d xd x +c 1d x 都表示一个原函数,c 1和c 2为任意常数。由此得(1的通解为y =erx1u2e- p (x d

5、xf (x u ep (x d xd x +c 1dx +c 2综上所述,把求方程(1通解的过程归纳如下:定理 对于二阶变系数线性非齐次微分方程(1,若p (x ,q (x ,和实数r 满足(2,则(1的通解为y =erx1u2e- p (x d xf (x u ep (x d xd x +c 1d x +c 2(72007年12月第21卷第4期总70期北京联合大学学报(自然科学版Journal of Beijing Union University(Natural SciencesDec.2007其中积分p (x d x ,f (x u ep (x d xd x 和1u2e - p (x d

6、 x d xf (x u ep (x d x d x +c 1d x 各表示一个原函数,c 1和c 2为任意常数。例1 求微分方程y -1xy -9+3xy =x e 3x的通解。解: 文献2中给出r =-3,所以对应齐次方程y -1xy -9+3xy =0的一个特解为u =e -3x 。又p (x =-1x ,f (x =x e 3x,代入(7得方程的通解为y =e-3xe 6xe 1x d xx e3x e-3xe - 1x d xd x +c 1d x +c 2=e-3xx e 6x(d x +c 1d x +c 2=e -3xx e 6x(x +c 1d x +c 2=e-3x16x

7、2e 6x +c 16-118x e 6x+1108-c 136e 6x +c 2=16x 2e 3x +c 16-118x e 3x+1108-c 136e 3x +c 2e -3x 例2 求微分方程y +2+1x y +1+1xy=x e-x的通解。解: 文献2中给出r =-1,所以对应齐次方程y +2+1x y +1+1xy =0的一个特解为u=e -x 。又p (x =2+1x ,f (x =x e -x ,代入(7得方程的通解为y =e-xe 2x e -2+1x d xx e -x e -xe2+1x d xd x +c 1d x +c 2=e-x1x( x 2d x +c 1d

8、x +c 2=e-x13x 2+c 1xd x +c 2=19x 3e -x +c 1e -x ln |x |+c 2e -x 注意: 定理中的条件r 2+p (x r +q (x 0非常苛刻,只有在特殊条件下才能满足。但通过分析可以发现,定理中的这个条件并不一定必须满足,只要能知道方程(1对应齐次方程的一个非零特解u =u (x ,则由公式(7同样可以求出方程(1的通解。这就是一般教材上应用Liouville 公式导出的公式(如文献3。例3 求微分方程y +2xy +y =1x cos x 的通解。解: 已知对应齐次方程y +2xy +y =0的一个特解为u =sin x x 。又p (x

9、=2x ,f (x =1x cos x ,代入(7得方程的通解为y =sin x xx 2sin 2xe - 2x d xcos x x sin x xe 2x d xd x +c 1d x +c 2=sin xx1sin 2x( sin x cos x d x +c 1d x +c 2=sin x x 12+c 1csc 2x d x +c 2=sin x x 12x -c 1cot x +c 2=12sin x -c 1x cos x +c 2x sin x参考文献1 李洪祥.两类二阶变系数线性微分方程的通解J.高等数学研究,2002,5(2:10-13.2 李永利,桑改莲.一类二阶变系数

10、齐次微分方程通解的求法J.高等数学研究,2006,9(3:22-24.3 王高雄,周之铭.常微分方程M.第2版.北京:高等教育出版社,1983.4 郭韵霞.变系数线性系统补解的新估计及部分变元稳定性J.重庆工学院学报:自然科学版,2007,21(8:136-141.5 陈勇明,张正萍,唐恒书.一类非线性波方程解的爆破J.重庆工学院学报,2003,17(6:38-39.75第21卷第4期邢春峰等:二阶变系数线性非齐次微分方程的通解公式76北京联合大学学报(自然科学版2007年12月The Formula of General Solution to Second Order LinearDiff

11、erential Equation with Variable CoefficientsXING Chun-feng,YUAN An-feng(Basic Courses Department of Beijing Union University,Beijing 100101,ChinaAbstract:In order to obtain more general solution to second order linear differential equation with variable coefficients which is important in theory and

12、prac tice,on the basis of knowing a special solution of the second order linear differential equation with variable coefficients and by using the method of variation of constant,the second order linear differential equation with variable coefficients is transferred to the reduced differential equati

13、on and a general formula of the second order linear differential equation with variable c oefficients is derived.E xamples are given to verify the method.Key words:second order linear differential equation with variable coefficients;general solution;particular solution(责任编辑 李亚青 (上接第70页The Convergenc

14、e of Quasi-Newton Methods forUnconstrained OptimizationWANG L-i wei,LIU Da-lian(Basic Courses Department of Beijing Union University,Beijing 100101,ChinaAbstract:A class of algorithms which are update Quas-i Newton methods for unconstrained optimization are as follows: min f(x,x R n.The proof of the global a