定积分学习指导

1、第五章 定积分利用定积分的换元积分法与分部积分法计算定积分例8 计算下列定积分：； ； .解 该积分含有根号，作三角代换，可去掉根号，化为三角有理式的积分，并利用积分恒等式求解。注意在去掉被积函数的根号时，应先写成绝对值形式，再根据积分区间确定其正负。令，则 ，由 ，有 ，所以，即.注 这里若不使用恒等式，则需进行万能代换，计算较繁琐。被积函数是的一次多项式开平方，需做换元去掉根式，注意到两个被开方式不同，为同时去掉根号，设，则，于是 .本题易想到取，用分部积分法求解。但由于不易积分，所以不便使用分部积分法。注意到，故利用正弦与余弦互余的关系及换元积分公式求解。= =，令，则 ，所以 .例9

2、解下列各题：设，求；已知，求.解 被积函数为变上限积分，且由已知有，用分部积分公式，则 .这里被积函数为抽象函数，并含有的二阶导数，故用分部积分法可求解，注意到是复合函数形式，故令，先用换元积分法再用分部积分法求解。 .4.利用积分恒等式计算定积分例10 求下列定积分：； ； .分析 定积分的计算方法和计算技巧与不定积分相比有许多相似之处，但也有不同，主要体现在利用对称性、周期性、几何意义以及区间变换、拆分区间或合并区间及积分恒等式简化计算。解 这是对称区间的积分，若被积函数具有奇偶性，则可利用定积分的“偶倍奇零”性质求解。为此先对分母有理化，将被积函数化成两个函数的代数和，再讨论其奇偶性。.

3、积分区间为对称区间，但被积函数不具有奇偶性。利用积分等式 有 所求积分为形式，由积分恒等式可简化计算，也可用代换计算。方法1 .这是三角有理式的积分，令可化为有理函数的积分，但有理函数分母次数较高，使积分困难。注意到可将正切函数化为余切函数，于是可利用正切和余切的关系求解。若将原积分化为，且利用，则积分形如，故也可利用公式计算。方法1 令，则 ， 所以5.分段函数的定积分例11 解下列各题：求； 求；设，求.分析 当被积函数是分段函数时，利用定积分对区间的可加性计算定积分。注意到绝对值函数与最大（小）值函数，本质上都是分段函数，故先化为分段函数再求解。解 被积函数含有绝对值符号，一般令绝对值之

4、内的式子为零，求出积分区间的零点，把被积函数化为分段函数。对本题令，得，则 于是 .被积函数为最大值函数，将其化为分段函数。 于是.被积函数是复合函数，故先用换元法将化为，再用分段函数的积分方法计算。令，则 . 7.广义积分的计算例15 求下列广义积分：； ； .解题思路 对积分，应先判别它是否为广义积分，且为哪种类型的广义积分（特别是无界函数的广义积分），然后将其分解为只有一个积分限为无穷大或瑕点（奇点）的广义积分和，用定义判别各广义积分收敛性或求其值。如果其中有一个积分发散，则原广义积分发散；若所有的广义积分都收敛，则原广义积分收敛，且其值为各部分值的代数和。解 这是无穷区间的广义积分，上

5、、下限均是无穷大，在区间中插入分点0，则 ，因为 ，所以 .被积函数在时无界，故为瑕点，区间被瑕点进行了分割，于是 .因为，所以是瑕点，这是混合型的广义积分，故 .令，则 . 例18 设连续，求.错解 因为，所以.分析 被积函数中含有积分上限变量，不能直接利用原函数存在定理求导数。正解 因为 ，所以 ， .例3 求由与轴围成图形的面积。分析 曲线与轴交于点，故轴的两侧均有图形，被积函数应取绝对值，由定积分的几何意义可求面积。解 曲线与轴的三个交点为，则 例5 求摆线的一拱与所围平面图形绕直线旋转一周而成旋转体的体积。分析 所求体积为两个体积之差，被减数为矩形绕旋转所得的旋转体的体积。解 摆线的一拱与所围图形绕直线旋转一周而成旋转体的体积， ， ，所以.例12 设函数在上连续，在内大于零，并满足（为常数），又曲线与直线所围的图形的面积为2.求函数；为何值时，图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积最小。分析 由已知等式（为常数）可得 ，故由在的连续性，对关系式两边求不定积分，可确定的含有任意常数的表达式，再由已给的面积关系确定，从而可以讨论旋转体的体积。解 由已知条件可得 .对上式求不定积分，由在的连续性得