数值分析课件第六章_数值插值方法

1、 5月月1日日 5月月31日日 6月月30日日日出日出 5：51 5：17 5：10日落日落 19：04 19：38 19：506614616135143131211322102210210.)(.)(.aaaaaaaaannnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010njinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV121211020010)(111),()(jixxji)()(0010101xxxxyyyxL001110101yxxxxyxxxxxL)(01010110 xxxxxlxxxxxl)(,)(11001)()()(yxlyxlxLkjkjxl

2、jk01)(的线性组合得到，其系数分别为的线性组合得到，其系数分别为y0， y1。即。即显然，显然， l0 (x)及及l1 (x)也是线性插值多项式，在节也是线性插值多项式，在节点点x0,x1上满足条件：上满足条件：l0(x0)=1 , l0(x1)=0.l1(x0)=0 , l1(x1)=1.称称l0 (x)及及l1 (x)为线性插值基函数。为线性插值基函数。(j,k=0,1)即即kjkjxljk01)()()(210 xxxxAxl)(12010 xxxxA)()()(2010210 xxxxxxxxxl故故)()()(2101201xxxxxxxxxl)()()(1202102xxxxx

3、xxxxl2120210121012002010212yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL)()()()()()()(同理同理416, 39, 24734942499)(1xxxL6251347537952771.)()()(L4) 916)(416() 97)(47(3)169)(49()167)(47(2)164)(94()167)(97()7(72L6286. 2)6458. 27(取取x0=4, x1=9, x2=16（2）抛物插值：抛物插值：kjkjxljk01)(Lxlx ylx ylx ynnn( )( )( )( )0011nkiiikikxxxxxl0)

4、()()()()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl0( )( )nnk kkLxy lx)()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn,ba)()()(101nnxxxxxxx三、插值余项与误差估计三、插值余项与误差估计证明：证明： 因为因为)()()(xLxfxRnn上显然在插值节点为), 1 , 0(nixi)()()(iniinxLxfxRni, 1 , 0,0.1,)(个个零零点点上上至至少少有有在在因因此此 nba

5、xRn设设其中其中)()()(1xxKxRnn),()()(101nnxxxxxxx 为待定函数)(xK)()()()()(1xxKxLxfxRnnn)()()()(1xxKxLxfnn0)()()()()(1txKtLtftnn若引入辅助函数)(x则有0的区别的区别与与注意注意xt)(ix且)()()(1ininxxKxR0即个零点上至少有在区间若令因此,2,)(,nbatxxi,0)(xni, 1 , 0nixi, 2 , 1 , 0,0)(.)(,)(,)()(1也也可可微微则则可可微微因因此此若若为为多多项项式式和和由由于于txfxxLnn )()()()(1xxKxLxfnn)()(

6、)()(1ininixxKxLxf根据Rolle定理,;1),()(个零点个零点上有至少上有至少在区间在区间 nbat 再由Rolle定理,;),()(个零点个零点上有至少上有至少在区间在区间nbat 依此类推，.1)(,),(导数为零导数为零阶阶的的使得使得内至少有一个点内至少有一个点在区间在区间 ntba 0)()1(n)()1(tn)()()()()(1txKtLtftnn)()()()()1(1)1()1(txKtLtfnnnnn由于)()()()()()1(1)1()1()1(nnnnnnxKLf因此)!1()()()1(nxKfn0)!1()()()1(nfxKn)()()(1xx

7、KxRnn)()!1()(1)1(xnfnn所以1)1()(maxnnbxaMxf)()!1()(11xnMxRnnn)()(21)()(21)(1021xxxxfxfxR ),(10 xx)()()(61)(2102xxxxxxfxR ),(20 xx例例:225,169,144,)(三个节点为若xxf线性插值的余项为设LagrangexR)(1插值的余项为二次LagrangexR)(2解解:.)175(值值的的截截断断误误差差近近似似线线性性和和二二次次插插值值做做试试估估计计用用fLagrangexxf21)(2341)( xxf2583)( xxf|)(|max2251692xfMx

8、|)169(| f 41014. 1|)(|max2251443xfMx |)144(| f 61051. 1|)(|22xN|)225175)(169175(|300|)(|33xN|)225175)(169175)(144175(|9300|)(|1xR22! 21NM3001014. 121421071. 1|)(|2xR33! 31NM93001051. 161631035. 2误差更小。二次插值比线性插值的用时在求从以上分析可知Lagrange,175,例：例：已知函数已知函数f(x)的函数值列表如下：的函数值列表如下：列出一至三阶的均差表。列出一至三阶的均差表。解：解：4( )0.

9、41075 1.166(0.4)0.28(0.4)(0.55)0.19733(0.4)(0.55)(0.65)0.03134(0.4)(0.55)(0.65)(0.8)Nxxxxxxxxxxx4(0.596)(0.596)0.63192fN9554321041063. 3)596. 0(,)( xxxxxxfxR高次插值的病态性质：高次插值的病态性质：对于一个确定的区间，如果插值节点之间的距对于一个确定的区间，如果插值节点之间的距离较小，自然插值节点就增多，如果用一个多离较小，自然插值节点就增多，如果用一个多项式插值，自然次数就会升高，也就是说要用项式插值，自然次数就会升高，也就是说要用高次多

10、项式插值。高次多项式插值。但是否次数越高，插值多项式的逼近效果越好但是否次数越高，插值多项式的逼近效果越好呢？在某种程度上，插值多项式的次数越高，呢？在某种程度上，插值多项式的次数越高，截断误差会小一些，但并不是次数截断误差会小一些，但并不是次数n越大越好，越大越好，因为随着因为随着n增大，插值多项式并不一定收敛。增大，插值多项式并不一定收敛。211)(xxf5 10(0,1, )kkxknn 1201( )1( )1()()nnnjjjnjxL xxxxx1/211()2nnnxxx1/255nxn20世纪初，世纪初，Runge就给出了一个等距节点插值就给出了一个等距节点插值多项式不收敛的例

11、子。多项式不收敛的例子。下表列出了下表列出了n=2,4,20的的Ln(xn-1/2)和和R(xn-1/2)的值：的值：1/2()nf x1/2()nnLx1/2()nR x-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52L10(t) f(t) f(x)()()(11)(1xlyxlyxLkkkkk11kkkkxxxxykkkkxxxxy11)(1xLnnnxxxxLxxxxLxxxxL1)1(121)1(110)0(1)()()(iiyxL)(1为插值点设*xx 1*kkxxx若*)(*1xLy 则*)()(1xLk11*kkkkxxxxykkkkxxxxy11*0*xx 若*)(*

12、1xLy 取*)()0(1xL1010*xxxxy0101*xxxxynxx *若*)(*1xLy 取*)()1(1xLnnnnnxxxxy11*11*nnnnxxxxy内插外插外插-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0

13、.200.20.40.60.81的图象分段线性插值)(1xLy 的一条折线实际上是连接点niyxkk, 1 , 0,),( )()(lim10 xfxLh上连续在若,)(baxf)()!1()(1)1(xnfnn)()()(xLxfxRnn)()()(11xLxfxR)()()(1xLxfk)(2)(1 kkxxxxf有关与且xxxxkk,1| )( |max| )(|max21)(11 kkkbxabxaxxxxxfxR224121hM 2281hM)()()()(1111)(2xlyxlyxlyxLkkkkkkk)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy1,2 , 1nk)()(2

14、xLk)()(1111kkkkkkkxxxxxxxxy)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy)()!1()(1)1(xnfnn)()()(xLxfxRnn)()()(22xLxfxR)()()(2xLxfk)()(6)(11 kkkxxxxxxf有关与且xxxxkk,11|)(|2xR| )()( |max| )(|max611111 kkkkxxxbxaxxxxxxxfkk3393261hM 33273hM由于由于那么分段二次插值那么分段二次插值L2(x)的余项为：的余项为：( )0.36,0.42,0.75,0.98,1.1.()f xx 求在处的近似值用分段线性、二次插值18

15、885. 187335. 069675. 057815. 041075. 030163. 005. 180. 065. 055. 040. 030. 0543210iiyxi在各节点处的数据为设)(xf例例:)()(1xLk11kkkkxxxxykkkkxxxxy11解解:(1) 分段线性分段线性Lagrange插值的公式为插值的公式为1, 1 , 0nk)36. 0()0(1L4 . 03 . 04 . 036. 030163. 03 . 04 . 03 . 036. 041075. 036711. 0)42. 0()1(1L55. 04 . 055. 042. 041075. 04 . 0

16、55. 04 . 042. 057815. 043307. 0)75. 0()3(1L81448. 0)98. 0()4(1L10051. 1)1 . 1()4(1L05. 18 . 005. 11 . 187335. 08 . 005. 18 . 01 . 118885. 125195. 1)36. 0(f)42. 0(f)75. 0(f)98. 0(f)1 . 1(f同理)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy1,2 , 1nk)()(2xLk)()(1111kkkkkkkxxxxxxxxy)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy(2) 分段二次分段二次Lagrange

17、插值的公式为插值的公式为36686. 0)()36. 0)(36. 0(2010210 xxxxxxy)36. 0()1(2L)()36. 0)(36. 0(2101201xxxxxxy)()36. 0)(36. 0(1202102xxxxxxy)36. 0(f43281. 0)()42. 0)(42. 0(2010210 xxxxxxy)42. 0()1(2L)()42. 0)(42. 0(2101201xxxxxxy)()42. 0)(42. 0(1202102xxxxxxy81343. 0)()75. 0)(75. 0(5343543xxxxxxy)75. 0()4(2L)()75. 0

18、)(75. 0(5454534xxxxxxy)()75. 0)(75. 0(4535435xxxxxxy)42. 0(f)75. 0(f)98. 0(f)1 . 1(f09784. 1)98. 0()4(2L25513. 1)1 . 1()4(2L,)(,)(,)()(1212101nnnxxxxSxxxxSxxxxSxS三次样条插值多项式的确定：三次样条插值多项式的确定：jjjjjdxcxbxaxS23)()0()0( jjxSxS)0()0(jjxSxS)0()0(jjxSxS可得可得3n-3个方程，又由条件个方程，又由条件(3)jjyxS)(00()(),()()nnSxfxSxfx)(

19、)(),()(00nnxfxSxfxSj=0,1,n得得n+1个方程，共可得个方程，共可得4n-2个方程。个方程。要确定要确定4n个未知数，还差两个方程。个未知数，还差两个方程。通常在端点通常在端点x0 =a, xn =b处各附加一个条件，称处各附加一个条件，称边界条件边界条件，常见有两种：，常见有两种：(1)二阶边界条件：二阶边界条件：(2)一阶边界条件：一阶边界条件：共共4n个方程，可唯一地确定个方程，可唯一地确定4n个未知数。个未知数。 1 , 00 , 1)(222232112131xdxcxbxaxdxcxbxaxS11111dcba01d02d12222dcba21cc 21bb

20、02611ba02622ba023,2121212121ddccbbaa 1 , 023210 , 12321)(2323xxxxxxxSjjjjjjMhxxMhxxxS11)( 121122)(2)()(cMhxxMhxxxSjjjjjj213113)()(61)(cxcMxxMxxhxSjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhxxMhyhxxMhyMxxMxxhxS121213113)6()6()()(61)()(6)(1)()(21)(112112jjjjjjjjjjjMMhyyhMxxMxxhxSjjjjjjjjhyyMhMhxS1136)0(jjjjjjjjhyyMhMhxS11163)0(1111163)0(jjjjjjjjhyyMhMhxS)0()0(jjxSxS11111116336jjjjjjjjjjjjjjhyyMhMhhyyMhMh)(62111111111jjjjjjjjjjjjjjjjjhyyhyyhhMhhhMMhhh1jjjjhhhjjjjjhhh111),(6)(6111111jjjjjjjjjjjjxxxfhyyhyyhhdjjjjjjdMMM112nnnyxfxSyxfxS)()(,)()(000