数值分析4.2牛顿插值法

1、将将 Ln(x) 改写成改写成.)()(102010 xxxxaxxaa).(10 nnxxxxa的形式，希望每加一个节点，的形式，希望每加一个节点，只附加一项只附加一项上去即可。上去即可。Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数时，全部基函数 li(x) 都需重新计算。都需重新计算。4.3 Newton(牛顿牛顿)插值插值4.3.1 均差及其基本性质均差及其基本性质定义定义1 称称101010)()(,xxxfxfxxf 为为 f (x)在在x0、x1点的点的一阶均差一阶均差.一阶均差的均差一阶均差的均差(差商差商)202110210,

2、xxxxfxxfxxxf 称为函数称为函数 f (x) 在在x0、x1 、x2 点的点的二阶均差二阶均差.4.3 Newton(牛顿牛顿)插值插值一般地，一般地，n-1阶均差的均差阶均差的均差nnnnnnxxxxxfxxxfxxxf 01112010, 称为称为f (x)在在x0 , x1 , , xn点的点的 n 阶均差阶均差。差商的计算步骤与结果可列成差商的计算步骤与结果可列成均差表均差表，如下，如下 一般一般 f(xi) 称为称为f(x) 在在 xi 点的点的零阶均差零阶均差，记作，记作 fxi。xk函数值函数值一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差. x0 x1 x2 x3

3、. f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) . f x0 , x1 f x1 , x2 f x2 , x3 . f x0, x1, x2 f x1, x2, x3 . f x0, x1, x2 , x3 .表表1（均差表）（均差表） nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(,这一性质可以用数学归纳法证明，这一性质可以用数学归纳法证明，它表明均差与节它表明均差与节点的排列次序无关点的排列次序无关，即，即 fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0

4、性质性质1 均差可以表示为函数值的线性组合，即均差可以表示为函数值的线性组合，即称之为称之为均差的对称性（也称为对称性质）均差的对称性（也称为对称性质）。性质性质2 n次多项式次多项式 f(x) 的的 k 阶阶差商差商, ,当当 k n 时是一时是一个个n- -k 次多次多项式项式; ;当当 kn 时恒等于时恒等于0.性质性质3 若若f(x)在在a,b上存在上存在n阶导数阶导数, 且节点且节点x0 , x1 , xna,b ,则至少存在一点则至少存在一点 a, b 满足下式满足下式!)(,)(10nfxxxfnn 例例1 f (x)=6x8+7x510, 求求f 1,2, ,9及及f 1,2,

5、 ,10. 解解 f (8)(x)=68 !, f 1,2, ,9=-6, f (9)(x)=0, f 1,2, ,10=0.4.3.2 牛顿插值多项式牛顿插值多项式设设x是是a，b上一点，由一阶均差定义得上一点，由一阶均差定义得)(,)()(000 xxxxfxfxf 同理，由二阶均差定义同理，由二阶均差定义)(,110100 xxxxxfxxfxxf 如此继续下去，可得一系列等式如此继续下去，可得一系列等式000)()(,xxxfxfxxf 110010,xxxxfxxfxxxf 得得得得01010 , ,()nnnnf x xxf x xxf x xxxx )(,)()(000 xxxx

6、fxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,221021010 xxxxxxfxxxfxxxf 依次把后式代入前式，最后得依次把后式代入前式，最后得00000100101001001201012012( )() ,()(),() ,()()(),(),()() ,()()()f xf xf x xxxf xf xxxxf x xxxxxxf xf xxxxf xxxxxxxf x xxxxxxxxx00100101001001201012012( )() ,() ,()()() ,() ,()() ,()()()( )( )nnf xf xf x xx xf x x xx

7、xx xf xf x xx xf x x xx xx xf x x x xx xx xx xN xR x 00100120101010011( )( ) , () , ,()() , ,()()( ) , , ( )nnnnkkkN xf xf x x x xf x x xx xx xf x xxx xx xf xf x xxx 其中其中00101( ) ,()()() ,( )nnnnnR xf x xxxxxxxxf x xxx ( )( )( )nnf xN xR x 可见可见, Nn(x)为次数不超过为次数不超过n 的多项式的多项式,且易知且易知 Rn(xi)= 0 即即 Nn(xi)

8、= yi , (i=0,1, ,n) 满足插值条件满足插值条件, 故其为插值问题的解故其为插值问题的解, Nn(x)称为称为牛顿牛顿插值多项式插值多项式。001001201001( )( ) , () , ,()() ,()()nnnN xf xf x xx xf x x xx xx xf xxx xx x 001( ) ,()()()nnnRxf x xxxxxxxx Rn(x)称为称为牛顿型插值余项牛顿型插值余项。由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式是等价的是等价的,即即 Ln(x) Nn(x)且有如下且有如下递推形式递推形式)()(

9、,)()(1001 nnnnxxxxxxfxNxN和和余项公式余项公式)()(,)(010nnnxxxxxxxxfxR )()()!1()(0)1(nnxxxxnf )()(,)()(,)(01100101nnnnnnnxxxxxxxxfxxxxxxxxfxR xk f(xk)一阶均差一阶均差 二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差 四阶均差四阶均差0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例例1 已知已知 f(x

10、)=shx的数表的数表,求二次牛顿插值多项式求二次牛顿插值多项式,并由并由 此计算此计算f(0.596)的近似值。的近似值。 )55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN解解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为632010. 0)596. 0()596. 0(2 Nf过前四点的三次牛顿插值多项式过前四点的三次牛顿插值多项式)65. 0)(55. 0)(40. 0(1970. 0)()(23 xxxxNxN故故6319145. 0)596. 0()596. 0(3 Nf故故)55. 0)(4

11、0. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(0344. 0)(3 xxxxxR可得可得N3(x)的截断误差的截断误差631034. 0)596. 0( R0344. 0,40 xxf 设函数设函数y=f(x)在在等距节点等距节点xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上上的函数值为的函数值为fi=f(xi)(h为为步长步长)定义定义2 fi=fi+1-fi 和和 fi=fi-fi-1分别称为函数分别称为函数 f(x)在点在点 xi 处的处的一阶向前差分一阶向前差分和和一阶一阶向后差分向后差分。 一

12、般地一般地, f(x) 在点在点 xi 处的处的 m 阶向前差分阶向前差分和和 m 阶阶向后差分向后差分分别为分别为 mfi= m-1fi+1- m-1fi 和和 mfi= m-1fi - m-1fi-1*4.3.3 差分与等距节点插值差分与等距节点插值4.3.3.1 差分及其性质差分及其性质差分有如下差分有如下基本性质基本性质性质性质1 各阶差分均可用各阶差分均可用函数值表示函数值表示. 即即jinjnnjjinnninnininfcfcfcff 011) 1() 1(jijnnjjninnniniinfcfcfcff 011) 1() 1(且有等式且有等式 nfi= nfi+n .性质性质

13、3 均差与差分的关系式均差与差分的关系式为为111,!1,!miii mimmi mi miimf x xxfm hf xxxfm h 性质性质2 函数值均可用函数值均可用各阶差分各阶差分表示表示. 即即injjjninnniniinfcfcfcff 01且有且有差分与微商的关系式差分与微商的关系式为为),()()(nkknnnnxxfhf 代入牛顿插值公式代入牛顿插值公式 ,可得可得)1()1(!)1(! 2)()(002000 ntttnfttftffthxNxNnnn称为称为牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式，其，其余项余项为为),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxx

14、fhnntttthxRxR 插值节点为插值节点为 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 如果要计算如果要计算 x0附近附近点点 x 处的函数值处的函数值f(x), 可令可令 x=x0+th (0 t n)4.3.3.2 等距节点差值公式等距节点差值公式 类似地类似地, 若计算若计算 xn 附近的函数值附近的函数值 f(x), 可令可令 x=xn+th (- n t 0) ，可得，可得牛顿向后插值公式牛顿向后插值公式)1()1(!)1(! 2)()(2 ntttnfttftffthxNxNnnnnnnnn),(, )()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthx

15、RxR 及其及其余项余项例例2 设设 y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次插值多项用三次插值多项 式求式求f(1.2) 及及f(2.8)的近似值的近似值.解解 相应的函数值及差分表如下相应的函数值及差分表如下:xif (xi)一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分 四阶差分四阶差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146求求f(1.2)用用牛顿

16、前插公式牛顿前插公式, 且由且由 1.2=1+0.5t, 得得t=0.431.14396(1.2)(1.2)2.71828 1.76341 0.40.4 (0.4 1)2!0.742100.4 (0.4 1)(0.4 2)3.33386323!fN xif (xi)一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分 四阶差分四阶差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146求求f(2.8)用用牛顿后插公式牛顿后插公式,且由且由 2.8=3+0.5t, 得得t= -0.43(2.8)(2.8)fN