[高一数学]高一人教A版数学课件：113集合的基本运算第2课时补集及综合应用

1、11.3集合的基本运算集合的基本运算(第第2课时补集及综合应用课时补集及综合应用)1并集、交集的定义ABx|xA或xB；ABx|xA且xB2并集、交集的运算性质AB ，AB ；A ，A ；ABB ，ABB .BABAAABBA自然自然语言语言对于一个集合对于一个集合A，由全集，由全集U中中 的所有的所有元素组成的集合称为集合元素组成的集合称为集合A相对于全集相对于全集U的补的补集，记作集，记作 UA符号符号语言语言 UA _图形图形语言语言1全集如果一个集合含有我们 ，那么就称这个集合为全集，通常记作 .2补集研究问题涉及的所有元素研究问题涉及的所有元素U不属于不属于Ax|xU且且x A1全集

2、一定包含任何一个元素吗？【提示】全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素2AC与BC相等吗？【提示】不一定若AB，则ACBC，否则不相等已知全集U、集合A1,3,5,7,9，UA2,4,6,8，UB1,4,6,8,9，求集合B.【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：A与UA已知；B的补集已知解答本题可由A及UA求出全集U，再由补集定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B.【解析解析】借助Venn图，如右图所示，得U=1,2,3,4,5,6,7,8,9， UB=1,4,6,8,9，B=2,3,5,7(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少

3、时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解(2)补集的几个性质：UU，UU，AUAU，解题时要注意使用1.设全集U1,3,5,7，集合M1，|a5|，MU，UM5,7，则a的值为()A2或8B8或2C2或8 D2或8【解析解析】由UM5,7，得M1,3，所以|a5|3，即a2或a8.故选D.【答案答案】D已知全集Ux|x5，集合Ax|2x2，Bx|3x3求UA，AB，U(AB)，(UA)B.【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：全集U，集合A、B均为无限集；所求问题为集合间交、并、补运算解答此题可借助数轴求解【解析解析】把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可

4、知， UA=x|x-2或2x5，AB=x|-2x2， U(AB)=x|x-2或2x4，( UA)B=x|-3x-2或2x3求解与不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否2.本例中，若将条件“Ax|2x2”改为“Ax|4x2”，求UA，AB，U(AB)，(UA)B.【解析解析】把全集U和A、B集合在数轴上表示如下：由图可知 UA=x|x-4或2x5AB=x|-3x2 U(AB)=x|x-4或2x5( UA)B=x|2x3已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A(RB)R.则实数a的取值范围是()Aa2 Ba1Ca2 Da2【思路

5、点拨】由题目可获取以下主要信息：集合A不确定，集合B确定；A(RB)R.解答本题可结合数轴求解【解析解析】Bx|1x2，RBx|x1或x2由A(RB)R，如下图所示可知a2，故选C.【答案】C对于数集运算，可借助数轴，根据集合间的关系求解，具体操作时，要注意端点值的“取”与“不取”3.(1)本例中，若将条件“A(RB)R”改为“ARB”，则a的范围又是什么？(2)本例若变为“已知集合Ax|2a2xa，Bx|1x2，且ARB”，则a的取值范围是什么？【解析解析】(1)RBx|x1或x2，若ARB，则a1(如图所示)(2) RB=x|x1或x2，A RB，分A=和A两种情况讨论，若A=，A RB，

6、此时有2a-2a，a2.若A，则有 或 ，a1或a，综上所述，a1或a2.1全集与补集概念的理解全集与补集概念的理解(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念(2)若xU，则xA和xUA二者必居其一，不仅如此，结合Venn图及全集与补集的概念，不难得到如下性质：A(UA)U，A(UA)，U(UA)A.2交集、并集、补集的关系(1)U(AB)(UA)(UB)(如下图所示)(2) U(AB)=( UA)( UB)(如下图所示如下图所示)设全集U2,3，a22a

7、3，A|2a1|,2，UA5，求实数a的值【错解错解】因为UA5，所以5U且5 A，所以a22a35，且|2a1|5，解得a2或a4，即实数a的值是2或4.【错因错因】本题解答错误在于忽略了集合A的元素|2a1|是由a确立的，事实上，当a2时，|2a1|3，A2,3，符合题意，而当a4时，A9,2，不是U的子集【正解正解】因为UA5，则5U且5 A，且|2a1|3.解得：a2，即a的取值是2.也可以采用错解中的步骤，最后加上错因分析中的验证一步集合的基本运算(二)1一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为_，通常记作_.全集U2对于一个集合 A，由全集 U

8、中不属于集合_的所有元素的集合称为集合 A 相对于_的补集，简称为集合 A 的补集，记作_，即UAx|xU，且 x_AA全集UU A4已知全集 U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5，B1,3,5,7，则 AUB_；(UA)(UB)_2,465已知全集 UR，集合 Ax|12x99，则UA_x|x4 或 x0解析：Ax|12x99x|4x0，UAx|x-4 或x03补集与全集的性质：(1)UU_；(2)U _；(3)U(UA)_；A(4)AUA_；(5)AUA_.U U重点如何求子集 A 在全集 U 中的补集从全集 U 中去掉所有属于 A 的元素，剩下的元素组成的集合即为 A 在 U 中的

9、补集另外，原题若是无限集，在实数范围内求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解难点对全集和补集的理解(1)全集是一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此全集因研究问题而异；(3)UA 表示 U 为全集时 A 的补集，如果全集换成其他集合(如 R)时，则记号中“U”也必须换成相应的集合(即RA)补集符号UA 有三层含义：A 是 U 的一个子集，即 AU；UA 表示一个集合，且UAU；UA 是由U 中所有不属于 A 的元素组成的集合理解集合的补集定义例 1：设 U2,3，a22a3，A2，b，UA5，求实数 a 和 b 的值思维突破：由题中UA55U 且5 A,3U 但3

10、 UA3A.解：由题意，可得方程组 b3 a22a35 ， 将式变形为 a22a80，解得 a4 或 2. 11.设U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2求实数 m.解：UA1,2，A0,3，代入方程 x2mx0.m-3.12.设全集U3,6,m2m1，A|32m|,6，UA5，求实数m的值集合的混合运算例 2：设 AxZ|x|6，B1,2,3，C3,4,5求：(1)A(BC)；(2)AA(BC)思维突破：集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算进行集合运算首先要弄清楚各集合是由什么元素构成的，然后再根据交集、

11、并集、补集的概念进行计算21.设全集 UxN*|x6，集合 A1,3，B3,5，)C则 U(AB)(A1,4C2,4B1,5D2,522.设集合 A4,5,6,7,9，B3,4,7,8,9，全集 UAB，则集合U(AB)中的元素共有( )A3 个C5 个B4 个D6 个B23.如图 1，U 是全集，M、P、S 是 U 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是( )图 1A(MP)SC(MP)USB(MP)SD(MP)US解析：图中阴影表示 M、P 的交集与 S 关于 U 的补集的交集的集合，故选 C.C数形结合法求集合的运算1数轴法例 3：已知全集 UR，Ax|4x2，Bx|1x3，解：将集合

12、 A、B、P 表示在数轴上，如图 2.Ax|4x2，Bx|12m-1，即，即m2， 此时总有此时总有AB=A=A成立成立.（2）若）若B，则，则 解得解得2m3. 综合综合(1)(2)知知,m的取值范围是的取值范围是m|m2m|2m3=m|m3. 51212121mmmm【评析】由【评析】由AB=A可得可得BA,而而BA包括两种情况，包括两种情况，即即B=和和B.本题常犯的错误是把本题常犯的错误是把B=漏掉而只讨论漏掉而只讨论B这一种情况这一种情况.设集合设集合A=a2, a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1,AB=-3,求实数求实数a的值的值.解：解：AB=-3,-3B.a-3= -

13、3或或2a-1= -3,a=0或或a= -1.当当a=0时时,A=0,1,-3,B=-3,-1,1,此时此时AB=1,-3,与与AB=-3矛盾矛盾,故舍去故舍去.当当a= -1时时,A=1,0,-3,B=-4,-3,2,满足满足AB=-3,a= -1.学点三学点三 VennVenn图的应用图的应用【分析】【分析】关于集合的交、并、补的问题关于集合的交、并、补的问题,通常可以由分析法通常可以由分析法找出集合中一定有或一定没有的元素找出集合中一定有或一定没有的元素,对它们逐一检验对它们逐一检验;或利用或利用Venn图图,把元素一一放入图中相应位置把元素一一放入图中相应位置,从而写出所从而写出所求集

14、合求集合.【解析】【解析】解法一：利用解法一：利用Venn图图,在图中在图中标出各个元素的相应位置标出各个元素的相应位置,可以直接写可以直接写出出A与与B,A=2,3,5,7,B=1,2,9.若集合若集合U=x|x是小于是小于10的正整数的正整数,AU,BU,且且(CUA)B=1,9,AB=2,(CUA)(CUB)=4,6,8,试求试求A与与B.解法二：解法二：AB=2,(CUA)B=1,9,B=（AB）(CUA)B=1,2,9.AB=CU(CUA)(CUB)=1,2,3,5,7,9,又又B=1，2，9，AB=2,A=2,3,5,7.【评析】事实上【评析】事实上,在解决这类问题时在解决这类问题

15、时,将将Venn图的使用与分图的使用与分析法相结合更准确简捷析法相结合更准确简捷.设设A，B都是不超过都是不超过8的正整数组成的全集的正整数组成的全集U的子集的子集AB=3,(CUA)(CUB)=1,8,(CUA)B=4,6,求集合求集合A，B.解解：U=1,2,3,4,5,6,7,8，在，在Venn图中将图中将1,2,3,4,5,6,7,8分别填入到相应的位置中去，分别填入到相应的位置中去，则由则由AB=3,CUACUB=1,8,(CUA)B=4,6得得A(CUB)=2,5,7.A=2,3,5,7,B=3,4,6.学点四学点四 集合运算的应用集合运算的应用已知集合已知集合S=1,3,x3+3

16、x2+2x,A=1,|2x-1|,如果如果CSA=0,则这样的实数则这样的实数x是否存在是否存在?若存在若存在,求出求出x;若不存在若不存在,说明理由说明理由.【分析】【分析】解决此问题的关键是正确理解解决此问题的关键是正确理解CSA=0的意义的意义,它有两层含义它有两层含义,即即0S,但但0A,这样解题思路就清楚了这样解题思路就清楚了.【解析】【解析】CSA=0,0S,但但0A, x3+3x2+2x=0,即即x(x+1)(x+2)=0,解得解得x1=0,x2= -1,x3= -2. 当当x=0时时,|2x-1|=1,A中已有元素中已有元素1,不满足集合的性质不满足集合的性质;当当x=-1时时

17、,|2x-1|=3,3S;当当x= -2时时,|2x-1|=5,但但5S.实数实数x的值存在的值存在,且它只能是且它只能是-1.【评析】解答此题时【评析】解答此题时,我们由我们由CSA=0求出求出x1=0,x2=-1,x3=-2之后之后,验证其是否符合题目的隐含条件验证其是否符合题目的隐含条件AS是必要的是必要的,否则否则就会误认为就会误认为x1=0或或x3=-2也是所求的实数也是所求的实数x,从而得出错误的从而得出错误的结论结论.集合概念及其基本理论是近、现代数学的最基础的集合概念及其基本理论是近、现代数学的最基础的内容之一内容之一,学好这部分知识的目的之一就是在于应用学好这部分知识的目的之

18、一就是在于应用. 因此，因此，一定要学会读懂集合的语言和符号一定要学会读懂集合的语言和符号,并能运用集合的观点并能运用集合的观点研究、判断和处理简单的实际问题研究、判断和处理简单的实际问题.解解：（：（1）如）如A=1,2,3,B=2,3,4,则则A-B=1.（2）不一定相等，由（）不一定相等，由（1）知）知B-A=4，而，而A-B=1，B-AA-B.再如再如A=1，2，3，B=1,2,3,A-B=，B-A= ,此时此时A-B=B-A.故故A-B与与B-A不一定相等不一定相等.（3）因为）因为A-B=x|x6, B-A=x|-6x4, A-(A-B)=x|4x6, B-(B-A)=x|4x4,

19、B=x|x|6，求，求A-（A-B）及）及B-（B-A），由此），由此你可以得到什么更一般的结论？（不必证明）你可以得到什么更一般的结论？（不必证明）1.1.在解题时如何用好集合语言在解题时如何用好集合语言? ?解集合问题解集合问题, ,不仅仅是运用集合语言不仅仅是运用集合语言, ,更重要的是明确集合语言更重要的是明确集合语言所蕴含的真实的数学含义所蕴含的真实的数学含义, ,集合语言的转换过程集合语言的转换过程, ,实质就是在进实质就是在进行数学问题的等价转换时行数学问题的等价转换时, ,向着我们熟悉的能够解决的问题转向着我们熟悉的能够解决的问题转化化. .2.2.在学习时应注意什么问题在学习

20、时应注意什么问题? ?(1)(1)对于交集、并集、全集、补集等概念的理解对于交集、并集、全集、补集等概念的理解, ,要注意教材中要注意教材中的实例和的实例和VennVenn图的直观作用图的直观作用. .(2)(2)要善于将三者进行比较记忆要善于将三者进行比较记忆, ,找出它们之间的联系与区别找出它们之间的联系与区别. .(3)(3)注意在集合运算中注意在集合运算中, ,运用运用VennVenn图图, ,借助于数轴等几何方借助于数轴等几何方法直观理解法直观理解. .(4)(4)学会集合语言的运用学会集合语言的运用, ,并逐渐学会用集合的观点研究并逐渐学会用集合的观点研究事物的内涵与外延事物的内涵

21、与外延. .3.3.怎样理解全集和补集？怎样理解全集和补集？全集并非包罗万象，含有任何元素的集合，它仅仅含有全集并非包罗万象，含有任何元素的集合，它仅仅含有我们所要研究的问题中所涉及的所有元素，如研究方程我们所要研究的问题中所涉及的所有元素，如研究方程实根，全集取为实根，全集取为R;R;研究整数，全集取为研究整数，全集取为Z Z，同时，要理，同时，要理解补集的定义的解补集的定义的 用法用法. .1.1.交集与并集是集合的两种不同运算交集与并集是集合的两种不同运算, ,对它们概念的理对它们概念的理解要特别注意解要特别注意“且且”与与“或或” ” 的区别的区别. .交集和并集的交集和并集的符号符号“”“”“”既有相同的地方