银行贷款发放信用评价问题 (2)

1、数学建模论文姓名学院年级专业学号联系电话相关学科成绩高等数学线性代数概率统计数学模型数学实验英语四级英语六级范兴容自动化06级自动化2006492083858794张伟自动化06级自动化2006477862656275530刘 圆软件工程06级软件工程20065404919290499小组成员介绍：银行贷款发放信用评价问题摘要本文针对商业银行在发放贷款的过程中，如何利用一定的判别准则对申请贷款企业信用度进行打分的问题，建立相应的数学模型，给出判别准则。首先，对商业银行现有的600个申请贷款企业背景资料及打分情况的数据进行预处理。巧妙地构建字符型取值数值化公式，合理的将离散型变量（取值均为字符型

2、）取值数值化，以及利用spss软件对15个自变量和1个因变量做相关性分析，筛选出12个属性变量。此外，通过回归分析对数据进行深挖掘，利用MATLAB软件对背景资料数据作时序残差图，考察分析时序残差图发现有64个奇异点，在Logistic回归模型中将对应的64个样本点予以剔除。然后，对预处理所得的背景资料数据，建立Logistic回归模型，利用spss统计软件对模型求解，得到各属性的权重系数。以谋求判别结果与原始结果吻合度最大为原则，给出了判别准则。随后，鉴于背景资料信息不全的情况，本文利用算子的思想，构建“缺省信息均值”，同时定义相应的“缺省信息运算法则”，对Logistic回归模型进行修正。

3、利用C+软件编程，重新求得修正后的各属性权重系数。本文特从600个申请贷款企业随机抽取75个样本，随机丢失若干属性信息，同样以谋求判别结果与原始结果吻合度最大为原则，给出修正后的判别准则。接下来，通过C+编程，利用给出的判别准则对剔除64个问题样本点后的536个企业重新打分，结果与原始打分相比，吻合度达到98.5%。对被剔除的64个企业单独重新打分，发现与原始结果完全相反，实际是对问题样本点进行了纠正，打分准确度达到100%。同样使用判别准则求得前53个待申请企业打分值。分析修正判别准则对随机抽取75个样本打分结果，发现对不发放贷款的企业的原始打分与重新打分完全相同，实现了风险最小化原则，再使

4、用修正判别准则求得后37个待申请企业打分值。最后，我们就模型存在的不足之处提出了改进方案，并对优缺点进行了分析，根据数据分析结果，为银行高层管理者写一份报告，使判别准则得以被采用。关键字信用评价 Logistic回归模型判别准则缺省信息运算法则一、问题的提出商业银行计划给有需求的企业发放贷款时，为了有效地减少金融风险，要求每个申请贷款企业提供企业经营状况的相关资料，并根据这些资料，对这些企业进行打分，以确定是否为其提供贷款。考虑以某银行现有600个申请贷款企业的背景资料及打分情况，为保护商业秘密，资料中的属性（变量）已换成没有任何意义的代码。如b,30.83,0,u,g,w,v,1.25,t,

5、t,01,f,g,00202,0,+a,38.58,5,u,g,cc,v,13.5,t,f,0,t,g,00980,0,资料中共有15个属性（用逗号隔开，分别记为A1A15）和一个打分情况，要求给出一种判别准则，并对这600个企业重新打分，使打分与原打分尽可能相吻合。现有90个待申请贷款企业，企业背景资料与前600个申请贷款企业有相同的形式，现应用所给出的判别准则对这90个申请贷款企业中的前53名进行打分，以确定是否为其提供贷款。由于企业自身的原因（如漏填或有意不填），有些项的指标没有填写（没有填写的项在表中为？），针对这种情况，修正判别准则，然后对90个申请贷款企业中的后37名行打分，以确定

6、是否为其提供贷款。最后，为银行的高层管理者写一份报告，阐述判别方法的正确性或合理性，使其被采用。二、问题的分析本题背景资料中属性变量的类型有两种：连续型和离散型，且离散型变量的取值均为字符型，无法用函数关系来刻画属性和因变量之间的关系。因此，它们无法直接为数学模型所用。此外，资料中的离散型变量已换成没有任何意义的代码，无法观察各属性变量间的关系以及对判别结果的影响。同时考虑各个申请贷款企业经营状况的相关资料是由各个企业向银行提供的，其属性变量的取值必然存在人为误差。基于上述三个原因，本文必须对已知数据进行预处理。鉴于90个待申请贷款企业中的后37名的背景资料不齐全，我们必须对判别准则进行修正，

7、最后通过修正判别准则进行打分。我们需要解决下列关键分析：1. 数据的处理。包括离散变量取值数值化，利用相关性分析对属性变量进行筛选以及通过回归分析背景资料进行筛选。2. 建立适当的模型，提高判别结果的精确度。3. 必须通过对已知数据的深挖掘，找出修正判别准则的方法。我们将整个问题分为如下两个问题，建立模型求解问题一，然后通过对判别准则的修正，对模型进行改进以求解问题二：问题一通过对企业背景资料中600组数据的分析，给出判别准则，并对这600个企业重新打分，使打分与原打分尽可能相吻合。应用判别准则对90个待申请贷款企业中的前53名进行打分，以确定是否为其提供贷款。问题二修正判别准则，对90个待申

8、请贷款企业中的后37名进行打分，以确定是否为其提供贷款。三、模型假设和符号系统3.1 模型假设1. 所有属性变量都为无序列属性变量2. 不考虑属性变量和数值变量在模型中的交叉作用3. 不考虑模型对变量的多次回归相关性4. 数据经转换后保留了原始数据的某些统计特征，即问题的可预测性5. 给出的变量符号没有任何的意义6. 假设打分结果只与这15个属性有关，预其余的属性无关7. 所有的申请者都可以分成两类，即打分为“+”与“”两类3.2 符号系统：表示任意一字符：申请贷款企业的打分情况，分为与两类：第个申请贷款企业的打分值（1或0）：第个属性变量：两变量之间的相关性系数：第个申请贷款企业的信用值：第

9、个申请贷款企业的违约概率：第个属性的权值系数：第个属性的缺省信息均值。：申请贷款企业的总数，本文取600 ：第个申请贷款企业的第个属性值：第个未知属性值表示符号 第个待申请贷款企业第个属性的值第个待申请贷款企业的违约概率第个待申请贷款企业的信用值：则表明申请贷款企业信用度不好，不发放贷款。：则表明申请贷款企业信用度好，可以发放贷款。四、模型的建立4.1数据的预处理离散型变量取值数值化由于本文属性变量的类型有两种：连续型和离散型，且离散型变量的取值均为字符型，无法用相关函数来刻画属性和因变量之间的关系。所以，我们必须将离散型变量取值数值化。因而，每个离散型变量的取值需重新定义。根据假设，给出的变

10、量符号没有任何的意义；数据经转换后保留了原始数据的某些统计特征，即问题的可预测性。定义：任意一字符的取值： （1）其中：当时字符的总个数：不考虑类别时字符的总个数根据该定义，利用SPSS统计软件的强大统计功能，求出每个离散型变量的每个字符的取值，使其变为数值型。处理结果如表一所示。表一离散型变量取值数值化属性离散型变量的取值A1a = 0.4481, b = 0.4532A4u = 0.5, y = 0.2857, l = 1, t = 0A5g = 0.5, p = 0.2857, gg = 1A6c = 0.4590, d = 0.2800, cc = 0.7500, i = 0.2549

11、, j = 0.3333, k = 0.2889, m = 0.4286, r = 0.6667, q = 0.6032, w = 0.5172, x = 0.8235, e = 0.5833, aa = 0.3830, ff = 0.1458A7v = 0.4282, h = 0.6311, bb = 0.4600, j = 0.3750, n = 0.5000, z = 0.7500, dd = 0.3333, ff = 0.1538, o = 0.5000A9t = 0.7962, f = 0.0605A10t = 0.7008, f = 0.2560A12t = 0.4821, f =

12、 0.4250A13g = 0.4689, p = 0.5000, s = 0.2692属性变量的筛选本文预先给出了大量的数据，因此我们先考察各属性变量间的关联性；一方面将与因变量（）相关性不大的变量剔除，另一方面从自变量（）之间相关性非常大选择其一。根据假设，我们不考虑属性变量的顺序，即所有属性变量都为无序列属性变量。利用SPSS统计软件对这15个自变量和因变量做相关性分析，可得到各个变量之间的相关性系数（），见附表一。我们定义两变量之间的强度关系如表二：表二 两变量间的强度关系定义相关性系数强度关系存在显著性相关高度相关中度相关低度相关关系极弱认为不相关从相关性系数表中我们可以看出自变量和

13、与因变量的相关性很弱，分别为0.005和0.057；而自变量和之间存在显著相关性，其相关系数为1。这样，我们可以从15个自变量中剔除3个（这里选择、和），使变量数目减少。为了便于描述，本文将这剔除的3个变量给与保留，但令其权值系数分别为、。背景资料的筛选鉴于12个自变量都转化成数值型的变量。通过回归分析（假设不考虑变量的多次回归相关性）对数据进行深挖掘，利用MATLAB对600家申请贷款企业的背景资料作时序残差图（如图一），考察分析时序残差图，发现有64个奇异点（时序残差图中红色线）见附表二，即有64家申请贷款企业背景资料应剔除，最后利用模型进行回代检验也证实了这一点。图一 时序残差图4.2模

14、型的建立Logistic回归模型根据筛选后剩下的536个申请贷款企业背景资料及打分情况，对第家申请企业的打分值，令：（2）在已经打分的536个申请贷款企业中，的值是已知的。由于15个属性变量的取值都已转化为数值型变量，且每一位申请者的15个变量的值都是一个大于0的数，假设不考虑属性变量和数值变量在模型中的交叉作用，则可以建立具有15个属性变量的Logistic模型：（3）其中，为第个申请贷款企业的信用值，第家申请企业的15个指标为影响变量，为第个属性的权值系数，为申请贷款企业的违约概率。由Logistic的函数图像（如图二）知，是的连续增函数， 并且。所以。图二Logistic函数图像对于某一

15、申请贷款企业（）而言，如果其Logistic回归值接近于0（或），则其评分为；若其Logistic回归值接近于1（或），则其评分为。并且值越远离0，表示该申请企业贷款信用度越差；反之，表示该申请企业贷款信用度越好。修正Logistic回归模型由于企业自身的原因（如漏填或有意不填），有些项的指标没有填写（没有填写的项在表中为?）。针对这种情况，为了对此类申请贷款企业（题中表3的后37名）进行打分，以确定是否为其提供贷款，本模型利用算子的思想，创造性的构建了缺省信息值，对缺省信息进行了有效地处理。从而合理的对判别准则Logistic回归模型进行了修正，有效的解决了此问题。（1） 利用算子的思想，构

16、建缺省信息均值，（4）其中，为申请贷款企业的总数，本文取600为第个属性的权值系数为第个申请贷款企业的第个属性值（2）缺省信息均值运算法则定义: 运算 （5）其中，为第个未知属性值表示符号（3）修正Logistic回归模型将所求得的缺省信息均值，按照其运算法则，建立了修正Logistic回归模型： （6）其中， 属性变量总个数，本文取15 第个待申请贷款企业第个属性的值第个待申请贷款企业的违约概率第个待申请贷款企业的信用值五、模型求解5.1Logistic回归模型的求解与问题求解模型求解通过SPSS统计软件对Logistic回归模型求解，得到个属性的权值系数为通过求解Logistic回归模型，

17、得到判别准则： （7）问题求解及分析利用该判别准则对600个申请贷款企业进行打分和吻合度分析：（1）对剔除64个奇异点外，所剩的536个企业进行重新打分和吻合度分析利用C+编程（见附表三）求得打分结果（见附表四），并对打分结果进行统（见表三）表三打分吻合度统计重新打分+吻合度总计原始打分+253299.2%98.5%617596.7%从表三中看出，与原始打分情况相比，共有8个数据不符。通过回代检验，可以看出判别准则的吻合度达到98.5%，证明判别准则吻合度很高，可以对银行的高层管理者提供极具价值的决策手段和依据。（2）对64个奇异点单独进行重新打分和吻合度分析利用C+编程求得打分结果（见附表五

18、 ），并对打分结果进行统（见表四）表四 奇异点打分统计重新打分+原始打分+048160从表四中看出，对奇异点重新打分的结果与原始打分的结果恰好完全相反，更进一步验证了4.13对数据进行深挖掘的合理性和正确性，也验证了此64个申请贷款企业资料的真实性置信度差。因此，对向银行提供的背景资料必须进行数据预处理，这样可以有效减少银行的金融风险。对待申请企业中的前53名打分和吻合度分析利用C+编程求得打分结果（见附表六），在附表六中y值打+的不予贷款，打 的可以给予贷款。由于该预测是通过Logistic回归模型求得的评判准则进行预测的，而由表三知道该准则具有极高的吻合度。因此，对53名申请贷款企业的打分

19、值具有极高的置信度，能够很好的确定是否为其提供贷款，有效的减少了银行金融风险。5.2修正Logistic回归模型的求解与分析修正Logistic回归模型的求解利用C+编程（见附表七），求得缺省信息均值。通过求解修正Logistic回归模型，得到修正判别准则：（8）对待申请企业中的后37名信息不全的申请贷款企业打分和吻合度分析利用该修正判别准则，通过C+编程（见附录八）对（题目表3中）后37名信息不全的申请贷款企业进行打分，结果见附表九。在附表九中y值打+的不予贷款，打 可以给予贷款。为了验证该修正准则的吻合度，首先，本文从600个申请贷款企业随机抽取75个样本，其中打分值为+的有43个，打分值

20、为的有32个。然后，随机丢失若干属性信息，造成信息不全的假象。最后，通过该修正准则进行回代检验。打分结果见附表十，统计结果见表五。表五 打分吻合度统计重新打分+吻合度总计原始打分+430100%86.7%102268.75%由表五得出：（1）对打分为+的企业，该修正准则具有100%吻合度，但是对打分为-的企业有68.75%吻合度，综合平均吻合度达到86.7%。因此，即使在申请贷款企业信息不全的情况下，该修正准则仍有比较高的吻合度（86.7%），尤其是对打分为+的预测效果达到100%。（2）对不发放贷款的企业的原始打分与重新打分完全相同，同时对可以发放贷款的企业却不发放的企业占可以发放贷款企业总

21、数的31.25%。这就是说为了尽可能的减少银行贷款的金融风险，以牺牲一部分可以发放贷款的企业为代价，采取了风险最小化原则，而这一点在实际贷款中体现出其发放贷款的严格性。六、模型的改进及评价6.1模型的改进模型改进一：Logistic回归模型的改进在 Logistic回归模型中，若要取得更高的吻合度,应该对模型的算法进行改进,选择更优秀的软件,进一步简化模型,可减少模型的求解规模，提高权值系数的精度。模型改进二：修正Logistic回归模型在修正Logistic回归模型中，本模型仅采用了算子的思想。因此，还可以利用其他、算子的思想，分别构建出缺省信息均值。然后，对各个对应的修正Logistic回

22、归模型重新求解，得到相应的修正判别准则。最后，从600个样本中随机抽取若干个样本，再通过随机丢失若干属性信息，造成信息不全的假象，通过回代检验，选择其中吻合度最高的那种算子思想。这样可以提高吻合度，有效减少银行的金融风险。6.2模型的评价优点：第一，巧妙地构建字符型取值数值化公式，合理的将离散型变量（取值均为字符型）取值数值化。第二，巧妙地利用Logistic函数的性质（如图二），建立了Logistic回归模型。第三，判别准则打分直观、简易和有效，一般的计算器工具就可以很容易实现。第四，通过判别准则对打分值预测的综合平均吻合度高达98.5%，解决了使打分与原打分尽可能相吻合的目的。第五，利用算

23、子的思想，创造性的构建了缺省信息值，对缺省信息进行了有效地处理。从而合理的对判别准则Logistic回归模型进行了修正，有效的解决了即使在申请贷款企业信息不全的情况下也可以确定是否对该类企业提供贷款。第六，由表五可以得出，修正判别准则以优先考虑金融风险最小化原则对企业资料信息不全进行打分，确定是否提供贷款。缺点：第一， 背景资料的筛选方法有待进一步优化和改进。第二， 发现的64个奇异点，可能存在误判的情况。第三， 缺省信息均值的方法有待进一步优化和改进，或者通过其他方式以达到提高吻合度的目的。七、写给银行的高层管理者的一份报告尊敬的领导：您好！我们向你举荐一个根据申请企业贷款资料进行打分以确定

24、是否为其贷款的判别方法。该方法具有高精度、低风险、易操作的特点。我们相信该方法能够极大地提高贵银行的经济效益。此判别方法具有如下优点：1、吻合度最大利用本文中的判别方法，对536家企业重新打分，仅有8家企业被误判，吻合度高达98.5%，体现出该判别方法的高精度，可以有效地减少银行金融风险。2、风险最小即使在申请贷款企业信息不全的情况下，利用本文修正后的判别方法，从600家企业随机抽取75家进行重新打分，对不发放贷款的企业的原始打分与重新打分完全相同，同时对可以发放贷款的企业却不发放的企业占可以发放贷款企业总数的31.25%。这就是说为了尽可能的减少银行贷款的金融风险，以牺牲一部分可以发放贷款的

25、企业为代价，采取了风险最小化原则，而这一点在实际贷款中体现出其发放贷款的严格性。3、判别方法打分直观、简易有效，容易实现。总之，本文采取的判别方法既保证了是否给申请贷款企业的提供贷款的准确性（98.5%），也尽可能地减少了银行的金融风险。此外，即使在申请贷款企业信息不全的情况下，也又比较高的准确性（86.7%）。参考文献：1 刘琼荪，龚劬，何中市，傅鹂，任善强，数学实验，北京：高等教育出版社，2004。2 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，20063孙荣恒，伊享云，何中市，重庆大学出版社：概率论和数理统计，20064 庞素林，信用评价与股市预测模型研究及应用，北京：科学出版

26、社，20055 赵东方，数学模型与计算，北京：科学出版社，20076 阮门富，简国明，沈晓燕，银行信誉卡发放问题的数学模型，韶关学院学报，第28卷（3期）：3134页，2007附件附表一各变量间的相关系数附表二 64个奇异点对应的申请贷款企业的背景资料属性企业数A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15打分1b32.337.5ugebb1.585tf0ts42002a38.585ugccv13.5tf0tg98003b44.250.5ugmv10.75tf0fs40004b21.671.165ypkv2.5tt1fg180205b21.59.75ugcv0.25t

27、f0fg14006b49.5819ugffff0tt1fg9407a27.671.5ugmv2tf0fs36808b39.830.5ugmv0.25tf0fs28809b27.250.625ugaav0.455tf0tg200010b37.174ugcbb5tf0ts280011a491.5ugjj0tf0tg1002712b62.512.75ypch5tf0fg112013b31.4215.5ugcv0.5tf0fg120014b52.331.375ypch9.46tf0tg20010015b28.751.5ypcv1.5tf0tg022516a22.511ypqv3tf0tg268017a

28、28.51ugqv1tt2tg16750018b18.675ugqv0.375tt2fg03819b2512ugkv2.25tt2tg120520b27.834ypih5.75tt2tg75021b54.8315.5ugez0tt20fg15213022b40.922.25ypxh10tf0tg176023a19.750.75ugcv0.795tt5tg140524b29.173.5ugwv3.5tt3tg329025a33.750.75ugkbb1tt3tg212026b20.671.25ypch1.375tt3tg14021027a25.421.125ugqv1.29tt2fg200028

29、b37.757ugqh11.5tt7tg300529b16.250.835ugmv0.085tf0fs200030b230.75ugmv0.5tf0ts320031b63.330.54ugcv0.585tt3tg180032a22.58.5ugqv1.75tt10fg8099033a28.581.665ugqv2.415tf0tg440034b45.171.5ugcv2.5tf0tg140035b41.581.75ugkv0.21tf0fg160036a55.757.08ugkh6.75tt3tg1005037b43.2525.21ugqh0.21tt1fg7609038a24.580.67u

30、gaah1.75tf0fg400039b31.832.5ugaav7.5tf0tg523040b35.253.165ugxh3.75tf0tg680041b34.251.75ugwbb0.25tf0tg163042b19.421.5ypccv2tf0tg1002043b42.753ugibb1tf0fg020044b36.333.79ugwv1.165tf0tg200045b30.081.04ypibb0.5tt10tg1322846b23.580.46ypwv2.625tt6tg20834747b23.420.585ugch0.085tf0fg180048b410.04ugev0.04ft1

31、fs5600+49b34.175.25ugwv0.085ff0tg2906+50b16.170.04ugcv0.04ff0fg00+51b22.670.165ugcj2.25ff0ts00+52b36.750.125ypcv1.5ff0tg232113+53b21.251.5ugwv1.5ff0fg1508+54a18.080.375lggccff10ff0ts3000+55a33.670.375ugccv0.375ff0fg30044+56a22.58.46ypxv2.46ff0fg1640+57b180.165ugqn0.21ff0fg20040+58b37.51.125ypdv1.5ff

32、0tg4310+59b41.51.54ugibb3.5ff0fg2160+60b23.920.665ugcv0.165ff0fg1000+61b35.174.5ugxh5.75ff0ts7110+62b22.080.83ugch2.165ff0tg1280+63b48.086.04ugkv0.04ff0fg02690+64a57.080.335ugibb1tf0tg2522197附表三 536家企业数据评分预测程序#include #include #include #include using namespace std;int main()long double a15;ifstream

33、fin(536家企业数据.txt);ofstream fout16(536家企业结果预测.txt);for (int i = 0; i 536; +i)for (int j = 0; j aj;long double s = 61.044 + 0.097*a1 0.074*a2 + 21.889*a3 + 24.396*a5 + 4.891*a6+ 0.622*a7 + 48.638*a8 + 10.143*a9 + 0.629*a10 1.618*a12 0.010*a13 + 0.001*a14;s = 1.0 * s;long double ss = 1.0 / (1.0 + pow(2

34、.7182818459, s);if (ss = 0.5)fout16 + endl;elsefout16 endl;return 0;附表四 536个申请贷款企业进行重新打分值一览表编号打分编号打分编号打分编号打分编号打分1+142+254368492+2+143+255369493+3+144+256370494+4+145+257371495+5+146+258372496+6+147+259373497+7+148+260374498+8+149261375499+9+150+262376500+11+152+263377501+12+153+264378502+14+154+2653

35、79503+15+155+266380504+16+156+267381506+17+157+268382507+18+158+269383508+19+159+270384509+20+160+271385510+21+161+272386511+22+162+273387512+23+163+274388513+24+164+275389514+25+165+276390516+26+166+278391517+27+167+279+392518+28+168+284+393519+29+169+285394520+30+170+28639552131+171+28739652232+17

36、2+28839752433+173+28939852634+174+29039952735+175+29140052836+176+29240152937+177+29340253038+178+29440353139+179+29540453240+180+29640553341+181+29740653442+182+29840753543+183+29940853644+184+30040953745+185+30141053948+18630241154049+187+30441254150+188+30541354251+189+30641454352+190+30741554453

37、+191+30841654554+192+30941754656+193+31041854757+194+31141954858+195+31242054959+196+31342155060+197+31442255161+198+31542355262+199+31642455363+200+31742555464+201+318426+55565+203+319427+55669204+320428+55770+205+321429+55871206+322430+55979+207+323431+56085+208+324432+56186209+325433+56289+210+32

38、6434+56394+211+327435+56495+212+328436+56599213+329437+566104+214+330438+567105+215+331439+568106+216+332440+569107+217+333441+570108+218+334442+571109+219+335443+572110+220+336444+573111+221+337445+574112+222+338446+575113+223339447+576114+224340448+577115+225341449+578116+226342450+579117+22734345

39、1+580118+228344452+581119+229345461582120+230346462583121+231347464584122+232348465585123+233349472586124+234350474+587125+235+351475+588126+236352476+589127+237353477+590128+239354478+591129+240355479+592130+241356480+593131+242357481+594132+243358482+595133+244359483+596134+246360484+597135+247361485+598136+248362486+599+137+249363487+600138+250364488+139+251365489+140+252366490+141+253367491+附表五 64个奇异点单独进行重新打分值一览表编号打分编号打分编号打分编号打分编号打分1077+96+281466+1378+97+282467+4680+98+283468+4781+100+303+469+5582+101+453+470+66+83+102+454+471+67+84+103+455+473+68+87+151456+50572