高等教育基于坐标变换的数码相机定位

1、基于坐标变换的数码相机定位摘要数码相机定位是用拍摄物体的相片来确定物体表面某些特征点的位置,常用的方法是双目定位,而精确确定相机的相对位置是双目定位的关键. 利用靶标和相机的相关信息,我们建立适当的坐标系,借助于坐标变换,对第一个问题,通过固定相机而变换靶标得到了靶标上任意一点在相机像平面的像坐标的计算公式,也是我们的主要模型,当然,靶标上圆的圆心的像坐标是完全可以准确计算的.由于物体是运动的,其特征点的位置是变换的,我们给出了特征点的坐标在各种变换下像的坐标,这正是我们另一个重要模型,并在此基础上,计算了靶标上圆的圆心绕过其原点的任意轴旋转一定的角度所得点的像坐标,并讨论了相应的像坐标变化,

2、这既是对模型的稳定性和精确性的一个很好的检验,也是模型一般性的最佳验证.结合已经建立的两个模型,基于坐标变换,成功地给出了确定两部相机相对位置的模型.最后,我们根据实际的电子监管系统对模型做了中肯的评价.关键词: 双目定位 焦距 物距 坐标变换 像平面一、问题的重述 随着数码技术的发展,利用数码相机定位越来越被人们重视，尤其是在交通监管方面的已成熟.确定了两部相机的相对位置就可找到靶标表面特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，从而就确定了物体的位置.由于数码相机在不同角度下可拍到靶标所呈现的不同形状，也就是失真，因此，准确而快速的找到特征点在像平面上的精确位置，对于我们确定靶标表面特征点的位置

3、至关重要，综合靶标和数码相机的相关信息，要求： (1) 建立模型并给出算法，确定靶标上圆的圆心在相机像平面的坐标; （2）由靶标上圆的圆心在相机像平面的坐标公式来给出靶标各圆心的像坐标; （3）设计一种可行的稳定的方法来检验模型的稳定性和精度; （4）并借助于靶标的相关信息来建立两部固定相机相对位置的数学模型.二、模型的假设(1) 假设数码相机在拍照过程中位置是固定的，且不受其它因素的影响.(2) 假设轴总时穿过靶标的中心,也就是主光轴总是穿过靶标的中心.(3) 由靶标上的图形与其像之间的对应关系,假设靶标上每个圆的圆心在其像平面上总有一个点与之对应.三、符号说明：数码相机的焦距. ：光学中心

4、到物体表面的距离，也称物距.：光学中心到物体表面的距离, 也称为像距.四、靶标上任意点的像坐标模型如(图一)所示, 以光学中心作为坐标原点建立坐标系,在处建立与平面相平行且垂直于轴的直角坐标系,其中靶标上点在轴上,点在轴上,其对应的像平面为,将物平面上绕轴逆时针旋转角度得平面u其相应的像平面为,平面绕轴逆时针方向旋转角所得物平面即为,其相对应的平面为.由数码相机的成像原理,通过上述三次变换物平面,根据题设中所要求的靶标经多次用数码相机的拍照试验后,可得与题目中所示的靶标的像相吻合的照片.设,焦距,在平面上任取一点,那么,在像平面上,的像坐标为,则与的坐标之间有如下的关系： ,而,满足.将绕轴逆

5、时针方向旋转角度,得=（）,则的坐标之间有如下的关系：,则所对应的像由数码相机成像原理得 ： （1） （2）由（1）（2）得：，.将绕z轴逆时针方向旋转角度得平面,则旋转后的 对应的点的坐标分别为为 ,=,由于旋转后物距和像距保持不变,设A所对应的像B的坐标为（,）,由 得=-.=, , . 由（3）式和（4）式可知像的坐标B（,）仅与旋转的角度以及物距有关.将带入（3）式和（4）式和（5）式得靶标上任意一点所对应的点的坐标为（6）模型不仅给出假设中靶标上的圆的圆心在数码相机像平面上的像坐标,由的任意性,模型还给出了靶标上任意一点在像平面上的坐标代算公式,这说明模型具有一般性,而事实我们代人相

6、关数据后经计算,也很好的证明了这一点. 五、靶标上圆心的像的过程的计算 由于模型的内部的误差和建模中相关的假设,我们所得的模型（6）必然不能计算靶标上圆心的像坐标的真实值,但我们借助模型（6）分别给出了靶标上圆心的最可能的几组数据如下第一组第二组第三组圆心A的坐标（1.840，3.187，8.160）（2.115，3.664，8.632）(1.254,2.173,7.525)圆心B的坐标(-3.301,-0.329,14.289)(3.494,-0.667,14.152)(-2.885-0.399,14.570)圆心C的坐标(-7.096,7.096,28.577)(-6.963,6.963,

7、25.148)(-7.641,7.641,21.429)圆心D的坐标(-1.960,-3.394,20.412)(-2.246,-3.889, 20.217)(-1.343,-2.32720.817)圆心E的坐标(7.096,-7.096,28.577)(6.963,-6.963,25.148)(7.460,-7.460,21.429)表（）六、模型的精度和稳定性分析为了更好的说明我们的模型具有稳定性,精确性和一般性,下面先将涉及到空间中性图形的各种变换以简要介绍.设是一个空间的坐标,H是实数,我们称,是点的齐次坐标.如, 都是它的齐次坐标,其中称为平凡化的齐次坐标;已知一个点的齐次坐标也是很

8、容易求得它的三维坐标：,.由此可知,当时有,.因此,四维空间中可以看成三维空间的无穷远点.设为矩阵,即,则.由于点到点的一个变化,对应的一个三维空间中的变化,变换前定位点是则有.当时,对应三维线性变换,此时有,当时是点M在空间中的平移变换,即,;当时,;是比例变换.特别的,当时是各向均匀的放大或缩小变换,表示对平面的对称变换,表示对轴的对称变换,则表示对称变换;当时,可得对应的三维空间变换为这是错切变换,即坐标不变,方向发生错切;当时是绕轴旋转,坐标保持不变,而坐标则绕原点旋转,同样的,当或时是绕y轴和z轴的旋转,此时,旋转角符合右手法则.命题1空间中点点绕过原点的任意轴旋转角后所点为则证明:

9、 设过原点的轴的方向数为点旋转后变成点如下图2所示 图2中过作平面于交与垂直交与 点,于是,作 则,但是（因）.又,因从而,即.又所以.故.又是在的分矢量,即，故.注意到,用齐次坐标表示,则有,其中显然,取即绕轴旋转,即绕轴旋转,即绕轴旋转.推论2 绕过轴的旋转则可以通过变换的分解与级联达到.由于问题一中靶标的位置是任意的, 而且总是位于数码相机的二倍焦距以外,若靶标作各种变换,如平移变换、比例变换、整体变换、错切变换、绕坐标轴 u,v,z 旋转或过点（0,0,）的任意轴旋转,则得的靶标上圆心的像的坐标总是成立的.一般情况下,物距固定时,空间某点的所有线性变换总可分解为绕原点的旋转变换、以原点

10、为中心的比例变换和错切变换的级联.为节省篇幅,我们仅考虑物体绕过点的任意轴旋转角后,所成的像在像平面上的坐标,若所给的模型 成能够准确的计算出靶标上各圆心坐标,则说明我们的模型是高度稳定和精确的,且具有普遍性.由于绕轴旋转角后,其坐标为,设轴的方向数为过M,的像平面与垂直交于Q点,于是,=,则当时,是绕轴旋转,时,是绕轴旋转,时,是绕轴旋转.设的像的坐标为,则 .上述都是关于以及的函数,即像的坐标与拍摄的方位,左右摆动的幅度以及物距有关,而这与现实是相吻合的.即就是说,我们的模型具有稳定性和精确性. 不失一般性,我们取为分别取为为时通过编程计算可得靶标上各圆圆心在像平面上的坐标如下:圆心A的像

11、坐标(1.840,3.187,8.160)(2.115,3.664,8.632)(2.626,4.548,10)圆心B的像坐标(-3.301,-0.329, 14.289)(-3.494,-0.667,14.152)(-3.845,-1.28, 14)圆心C的像坐标(-7.096, 7.096, 28.577)(-6.963,6.963, 25.148)(-6.817,6.817,21.213)圆心D的像坐标(-1.96, -3.394, 20.412)(-2.246，-3.889，20.217)(-2.765, -4.789, 20)圆心E的像坐标(7.096, -7.096, 28.577

12、)(6.963,-6.963， 25.148)(6.817,-6.817,21.213)表事实上,由表可知,当的变化幅度不是太大,如其像坐标的变化也很微小,当时与相比其变化时显著的,也是合乎情理的.这也证明了我们的模型具有稳定性和精确性.七、数码相机相对位置的模型由于靶标B是正方形,其中心与两部不同位置的相机A,C的光学中心和唯一的确定一个平面在平面,上分别以A,C两个相机各自的光学中心建立坐标系和,并以靶标上的中心为原点建立坐标系,其中在同一平面上,这样所建的坐标系是完全一致的，从而如下图3所示，我们可借助三角形相似性得到靶标上任意圆心到数码相机的距离.而另外一个相机以其光学中心原点建立直交

13、坐标后,靶标上的圆所在平面未必与相机的镜面所在平面相平行,设这两个平面的夹角为,并设这两个面的交线为,则靶标上的圆的圆心一定在交线上,从而靶标上的圆的圆心绕向量旋转角度,则靶标上圆的圆心F绕向量旋转角后,在相机中所成的像的坐标恰为用相机C直接拍摄靶标后圆心F所成的像的坐标,则由命题和（6）式可直接得到靶标上任意圆的圆心在相机的坐标系中所成的像的坐标为,则由数码相机的分辨率和像距可知,由得,其中表示靶标的圆心到相机的物距,表示像距.由余弦定理可知,两相机之间的距离.显然,由对称性可知,相机相对于固定的相机和靶标上的圆心,其位置有两种情形如下图4所示八、模型的推广与评价 在交通监管中,所拍摄的目标大多数情况下是运动的.而我们只是在静态下研究了用两部相机来确定目标某些特征点的位置.因此,为了更接近实际,可考虑目标在沿光轴方向以某个速度做运动或与光轴方向呈变化的夹角以某个速度做运动,只需将模型(6)中的各变量如坐标等当做关于时间的连续函数,依照我们的方法,依然能够准确的确定物体的相对位置.更为实际的,我们只