高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

1、电池剩余放电时间预测摘要 铅酸电池的剩余放电时间是电池性能指标中的一个重要参数，对电池的输出性能和使用寿命有着至关重要的影响。但是在生活中不免遇到电池用完了却没有备用电池的情况，而且电池的使用时间在我们生活中与我们息息相关，有时候这会给我们的生活造成很大的困扰。本文就是对电池剩余电量和放电时间的矛盾进行讨论得出一个相对准确的电池剩余放电时间预测的一个模型的建立。 针对问题一：电池的剩余放电量这一问题。首先，根据题目我们得知铅酸电池在放电过程中电流时恒定的，并且铅酸电池的额定保护电压是9V，我们根据附件一给出的数据进行分析，然后利用MATLAB软件进行图像拟合，得到一个电压与时间的放电曲线图，并

2、且，根据MATLAB软件拟合得出的图像，经过figure对图像的精确处理，最终得出初等函数来表示各放电曲线。又根据平均相对误差定义得出：平均相对误差（MRE是预测误差相对值的平均值，其计算公式为：）根据公式和附件一中给出的数据按照比例筛选出231组数据【附件二】，并对数据进行处理，我们分别求出各放电曲线的平均相对误差。并且根据测得电压都为9.8V时，根据模型得出电池剩余放电时间分别是多少。针对问题二：根据数据拟合的曲线图像得出三种情况进行讨论。用初等函数表示A20-A100的放电曲线，并根据放电曲线的平均相对误差。然后分别求出它们剩余放电时间。然后我们利用求平均数的方法大概绘制出55A的曲线图

3、。针对问题三：根据附件2中的数据，利用Excel表格数据整理得出图形【附件三】，分析并计算得出模型1、模型2，通过优化得出模型3。由于同一电池在不同衰减状态下，在同一电流强度情况下从充满电开始放电，时间随电压不断变化，所以我们从电压方面进行具体分析。一.问题重述铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压（Um）。电池在当前负荷下还能供电多长时间（即以当前电流强度放电到Um的剩余放电时间）是使用中必须回答的问题。同时还要考虑到电池通过较长时间使用或放置，充满电后的荷电状态会发生衰减。问题1 附件1是同一生产

4、批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电曲线的采样数据。请根据附件1用初等函数表示各放电曲线，并分别给出各放电曲线的平均相对误差（MRE，定义见附件1）。如果在新电池使用中，分别以30A、40A、50A、60A和70A电流强度放电，测得电压都为9.8伏时，根据你获得的模型，电池的剩余放电时间分别是多少？问题2 试建立以20A到100A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE评估模型的精度。用表格和图形给出电流强度为55A时的放电曲线。问题3 附件2是同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据。试预测附件2中电池衰减状态3的剩余放电时间。二问题分析针

5、对问题一，我们对附表中的数据进行整理，采用数据拟合的方法，根据数据拟合的曲线图像得出三种情况进行讨论。用初等函数表示A20-A100的放电曲线，并根据放电曲线的平均相对误差。然后分别求出它们剩余放电时间。针对问题二，根据附件1给出的数据，筛选数据后拟合出20A-100A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的模型，三.模型假设1假设外界环境不发生变化2假设电池容量恒定五.符号定义及说明符号含义单位T电池剩余时间min(分钟)U电压V(伏)I电流A（安）Tn电池剩余时间预测min（分钟）Um最低保护电压V(伏)六.模型的建立与求解6.1 对问题一建立模型与求解多项式模型：首先对以20A恒定电流放电

6、数据进行拟合。利用MATLAB建立电压放电时间的线性模型：，图 1该模型较大，并且观察数据容易发现前10组数据残差较大，因此将前10组数据舍去，并且采用多项式拟合，拟合模型如下：，图 2该多项式模型相对线性模型较小，已经达到0.99并且二次项系数已经很小，因此采用二次多项式拟合。20A100A二次多项式模型表1：电流/A模型MRE20A2.2980.99190.035030.58%30A2.0590.98850.041111.1440A1.3110.98930.039211.39%50A0.97060.98830.038791.093%60A0.69090.98920.03672.16%70A

7、0.59130.98860.037430.846%80A0.43790.98960.0350790A0.34460.99010.03383100A0.24940.99130.03097表 1根据以上二次多项式模型，分别求出和的时间和，则 即为在新电池使用中，分别以30A、40A、50A、60A和70A电流强度放电，测得电压都为9.8伏时，电池的剩余放电时间，如下表：电流20A30A40A50A60A70A80A90A100A剩余放电时间/min1387.1953.8655.2514.1418.4348.5303.9262.7238.6表 26.2对问题二建立模型与求解根据问题一建立的电压与放电

8、时间的二次多项式模型，建立多项式系数随电流变化的模型。二次多项式模型中多项式系数与电流的关系如下表：电流/A二次项系数a一次项系数b常数项c20-7.25E-08-0.0000758910.5630-1.48E-07-0.000167910.5840-3.35E-07-0.000163910.5350-5.72E-07-0.000177510.4860-8.97E-07-0.000200310.4570-1.4E-06-0.000157910.3880-1.92E-06-0.000181410.3490-2.68E-06-0.000170210.31100-3.35E-06-0.0002689

9、10.28表 3利用MATLAB分别建立系数与电流的关系如下： 图 3 图 4 图 5根据以上模型求出电流为55A时电压随时间变化的二次模型的系数分别是： 则以55A恒定电流放电时电压随放电时间的模型为：55A恒定电流放电时放电曲线：图 66.3对问题三建立模型与求解利用Excel建立不同衰减状态下的放电时间与电压的二次多项式模型，如图7图 7其中二次多项式系数呈现线性关系，如图8可以得出不同衰减状态下模型系数与衰减状态的关系，从而预测出衰减状态3下的二次多项式模型：图 8根据衰减状态3下的模型与已知衰减状态3下的数据进行比较；得到下图：图 9针对模型三：于同一电池在不同衰减状态下，在同一电流

10、强度情况下从充满电开始放电，时间随电压不断变化，所以我们从电压方面进行具体分析。7.1 对问题三建立模型与求解根据附件2中的数据，利用Excel表格图表散点处理，生成图像如图1： 图1 新电池状态与放电时间的线性图观察图1得出图像逐渐递增，新电池状态不断递增，电压逐渐减少为9V。根据此结论：新电池状态不断递增时，电压逐渐减少为定值9V。第一种情况：根据附件2中衰减状态1的放电记录得出放电曲线图2： 图2 衰减状态1放电预测图利用图2所得的图像进行线性预测，并计算状态1的剩余放电时间。从计算结果对比附件2中的数据存在误差，跟实际不相符，为此不考虑采用图2的预测曲线。第二种情况：根据附件2中衰减状

11、态2的放电记录得出放点曲线图3： 图3 衰减状态2放电预测图 利用图3所得的图像进行分析，并验证衰减状态2放电所测量的数据，验算结果与衰减状态2的数据相差无几，根据验算结果得出图3预测图可以采用。第三种情况：根据附件2中衰减状态3的部分放电记录，利用图3得出的结论推导得出： U=0-0.01229t2+7.1221t-69.753 模型1通过模型1的转换与推导得出： U=4.4081t-23.492 模型2根据模型2得出图4： 图4 衰减状态3的预测图利用图4所得的图像进行分析，并验证衰减状态3放电所测量的数据，验算结果与衰减状态3的数据与测量值接近，该预测图不仅较好地拟合了电池衰减状态3的变

12、化曲线，并较好的预测了电池衰减状态3的剩余放电时间，证明图4符合。通过Excel软件得： U=-0.01075t2+5.7353t-47.814 模型3由模型3得： 剩余放电时间t=749(min)模型的优点；1、 模型的建立便于理解，问题一的图像更接近于实际值，且附件一大数据支持具有一定的可靠性和普遍性2、 模型的建立简单明了，简单化了问题，已于建立。3、 在建模过程中，采用MATLAB进行拟合，进行了大量数据的预测与筛选，更加优化了整个模型，简单高效。模型的缺点；1、模型的建立比较理想化，忽略实际存在的问题，算出的有结果有较大的误差，数据由人工计算操作，会有一定的误差。2、模型未考虑温度等条件。模型推广：本模型建立关于铅酸电池的优化模型，是解决很多实际问题的行之有效的方法，同时，我们还运用了E