高考数学(文数)一轮复习练习题：13.10《导数的概念及运算》（教师版）

1、第10节导数的概念及运算 【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,3,7导数的几何意义2,4,5,6,9,10,12简单综合问题8,11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.下列求导数的运算中错误的是(C)(A)(3x)=3xln 3(B)(x2ln x)=2xln x+x(C)()=(D)(sin x·cos x)=cos 2x解析:因为()=,C项错误.2.函数y=x3的图象在原点处的切线方程为(C)(A)y=x(B)x=0 (C)y=0(D)不存在解析:函数y=x3的导数为y=3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0(x-0),即y=0

2、.3.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是(B)(A)a<f(2)<f(4) (B)f(2)<a<f(4)(C)f(4)<f(2)<a (D)f(2)<f(4)<a解析:由题中图象可知,在2,4上函数的增长速度越来越快,故曲线上点的斜率随x的增大越来越大,所以(2,f(2),(4,f(4)两点连线的斜率=a,在点(2,f(2)处的切线斜率f(2)与点(4,f(4)处的切线斜率f(4)之间,所以f(2)<a<f(4),故选B.4.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相

3、垂直,则的值为(D)(A)(B)(C)-(D)-解析:由题意,y=3x2,当x=1时,y|x=1=3,所以×3=-1,即=-.5.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,f(x0)处的瞬时变化率为-8,则点M的坐标为. 解析:因为f(x)=2x2+1,所以f(x)=4x,令4x0=-8,则x0=-2,所以f(x0)=9,所以点M的坐标是(-2,9).答案:(-2,9)6.已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为. 解析:因为f(x)=a-,所以f(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1

4、,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:17.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=. 解析:由图形可知,f(3)=1,f(3)=-,因为g(x)=f(x)+xf(x),所以g(3)=f(3)+3f(3)=1-1=0.答案:08.函数g(x)=ln x图象上一点P到直线y=x的最短距离为. 解析:设与直线y=x平行且与曲线g(x)=ln x相切的直线的切点坐标为(x0,ln x0),

5、因为g(x)=(ln x)=,则1=,所以x0=1,则切点坐标为(1,0),所以最短距离为(1,0)到直线y=x的距离,即为=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切,则实数k的值为(D)(A)ln 2(B)1(C)1-ln 2(D)1+ln 2解析:由y=xln x得y=ln x+1,设切点为(x0,y0),则k=ln x0+1,因为切点(x0,y0)既在曲线y=xln x上又在直线y=kx-2上,所以所以kx0-2=x0ln x0,所以k=ln x0+,所以ln x0+=ln x0+1,所以x0=2,所以k=ln 2+1.故选D10.设函数f(x)

6、=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为(D)(A)(0,0) (B)(1,-1)(C)(-1,1)(D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f(x)=3x2+2ax.因为曲线在点P(x0,f(x0)处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0+a=0,所以或当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.所以点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).11.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的

7、是(A)(A)y=sin x(B)y=ln x(C)y=ex (D)y=x3解析:若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1),(x2,f(x2),使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f(x1)·f(x2)=-1.对于A:y=cos x,若有cos x1·cos x2=-1,则当x1=2k,x2=2k+(kZ)时,结论成立;对于B:y=,若有·=-1,则x1x2=-1,因为x1>0,x2>0,所以不存在x1,x2,使得x1x2=-1;对于C:y=ex,若有·=-1,即=-1.显然不存在这样的x1,x2;对于D:y=3x2,若有3

8、83;3=-1,即9=-1,显然不存在这样的x1,x2.故选A.12.已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2)处的切线方程为. 解析:由题意,知f(2)=2×2-1=3,所以g(2)=4+3=7,因为g(x)=2x+f(x),f(2)=2,所以g(2)=2×2+2=6,所以曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2)处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.答案:6x-y-5=013.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是. 解析:因为f(x)=x2-ax+ln x,所以f(x)=x-a+(x>0).因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以f(x)存在零点,即x+-a=0有解,所以a=x+2(当且仅当x=1时取等号).答案:2,+)14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于. 解析:设过点(