西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第4章向量习题课

1、 )(21n,a,aa . 若若 = (a1 , a2 , , an), = (b1 , b2 , , bn), 则则 + (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn) ; (a1 , a2 , , an ) , 其中其中 R . : + = + ; ( + ) + = + ( + ) ; + 0 = ; + (- - ) = 0 ; 1 = ; ( ) = () ; ( + ) = + ; ( + ) = + ,其中其中 , , 为为 n 维向量维向量 , , R. 设有设有 n 维向量组维向量组 A: 1, 2 , , m , B: 1 , 2 , , s , 对于向量对

2、于向量 , 如果有一组数如果有一组数 1 , 2 , ,m ,使使 ,则称向量则称向量 是向量组是向量组 A 的的, 或称或称 可由可由 A . 如果存在一组不全为零的数如果存在一组不全为零的数 k1 , k2 , , km , 使使 ,则称向量组则称向量组 A , 否则称否则称 A . 如果向量组如果向量组 A 中的每一个向量都能由向量组中的每一个向量都能由向量组B 中的向量线性表示中的向量线性表示 , 则称则称 .如果如果 A 能由能由 B 线性表示线性表示 , 且且 B 也能也能由由 A 线性表示线性表示 , 则称则称 A 与与 B . 向量组之间的等价关系具有向量组之间的等价关系具有.

3、 向量组向量组 1, 2 , , m (m2) 线性线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余可由其余 m - - 1 个向量线性表示个向量线性表示. 设设 1, 2 , , m 线性无关线性无关, 而而 1, 2 , , m , 线性相关线性相关, 则则 能由能由 1, 2 , , m 线性表示线性表示, 且表示式是唯一的且表示式是唯一的. 若若 1, 2 , , r 线性相关线性相关, 则则 1, 2 , , r , r+1, , m 也线性相关也线性相关. r 维向量组的每个向量添上维向量组的每个向量添上 n - - r 个个分量分量,成

4、为成为 n 维向量组维向量组,若若 r 维向量组线性无关维向量组线性无关,则则 n 维向量组也线性无关维向量组也线性无关. 反言之反言之, 若若 n 维向量组维向量组线性相关线性相关, 则则 r 维向量组亦线性相关维向量组亦线性相关. m 个个 n 维向量组成的向量组维向量组成的向量组, 当维当维数数 n 小于向量个数小于向量个数 m 时一定线性相关时一定线性相关. 设有向量组设有向量组 T , 如果如果 (i) 在在 T 中有中有 r 个向量个向量 1, 2 , , r 线性无关线性无关; (ii) T 中任意中任意 r+1 个向量个向量(如果如果 T 中有中有 r+1 个个向量的话向量的话

5、)都线性相关都线性相关, 那么称那么称 1, 2 , , r 是向是向量组量组 T 的一个的一个, 简称简称; 数数 r 称为向量组称为向量组 T 的的. 并规定并规定: 只含零向只含零向量的向量组的秩为量的向量组的秩为 0. 向量组线性无关的充要条件是它所向量组线性无关的充要条件是它所含向量个数等于它的秩含向量个数等于它的秩. 设矩阵设矩阵 A 的某个的某个 r 阶子式阶子式 D 是是 A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式, 则则 D 所在的所在的 r 个行向量即是矩个行向量即是矩阵阵A的行向量组的一个最大无关组的行向量组的一个最大无关组;D 所在的所在的 r 个个列向量即是矩阵列向量即是矩

6、阵 A 的列向量组的一个最大无关的列向量组的一个最大无关组组. R(A) = A 的行秩的行秩 = A 的列秩的列秩. 设向量组设向量组 A: 1, 2 , , r 是向量是向量组组 T 的一个最大无关组的一个最大无关组, 则向量组则向量组 A 与向量组与向量组 T 等价等价. 设有两个向量组设有两个向量组: A: 1, 2 , , r , B: 1 , 2 , , s ,如果如果 A 组能由组能由 B 组线性表示组线性表示, 且且 A 组线性无关组线性无关, 则则A 组所含向量个数组所含向量个数 r 不大于不大于 B 组所含向量个数组所含向量个数 s, 即即 r s . 设向量组设向量组 A

7、 的秩为的秩为 r1,向量组向量组 B 的秩的秩为为 r2 , 若若 A 组能由组能由 B 组线性表示组线性表示, 则则 r1 r2 . 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩. 设设 V 为为 n 维向量的集合维向量的集合, 如果集合如果集合 V 非空非空 且集合且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称那么就称集合集合 V 为为. 所谓所谓, 是指对是指对 V , V 及及 k R,有有 + V , k V . 由向量组由向量组 1, 2 , , m 所生成的向量空所生成的向量空间为间为 设有向量空间设有向量空间 V1 及及 V2 , 若若 V1 V2

8、 , 就称就称V1 是是 V2 的子空间的子空间. 设设 V 为向量空间为向量空间, 如果如果 r 个向量个向量 1, 2 , , r V , 且满足且满足 (i) 1, 2 , , r 线性无关线性无关; (ii) V 中任一向量都可由中任一向量都可由 1, 2 , , r 线性线性表表示示. 那么那么, 向量组向量组 1, 2 , , r 就称为向量空就称为向量空间间V的一个的一个, r 称为向量空间称为向量空间 V 的维数的维数, 并称并称 V 为为 r 维维. 掌握掌握 n 维向量的概念维向量的概念, 能熟练地进行向量能熟练地进行向量的线性运算的线性运算. 掌握线性组合、线性表示、线性

9、相关、线掌握线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、最大无关组等概念性无关、最大无关组等概念. 能熟练地判断向量能熟练地判断向量组的线性相关性组的线性相关性, 求出其最大无关组求出其最大无关组. 掌握向量组的秩、掌握向量组的秩、 矩阵的秩、矩阵的等价矩阵的秩、矩阵的等价等概念等概念, 会求向量组的秩和矩阵的秩会求向量组的秩和矩阵的秩. 掌握线性方程组解的结构掌握线性方程组解的结构,会求方程组的会求方程组的解解. 线性相关、线性无关、最大无关组、线性相关、线性无关、最大无关组、秩等概念秩等概念; 判断线性相关性及求秩的方法判断线性相关性及求秩的方法. 线性相关、线性无关的概念及其判定线性相关、线

10、性无关的概念及其判定法法.一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、向量空间的判定三、向量空间的判定四、基础解系的求法四、基础解系的求法五、解向量的证法五、解向量的证法典型例题典型例题一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定方法方法1 1从定义出发从定义出发 000, 0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整理得线性方程组整理得线性方程组)(, 0, 0, 0221122221121221111 kakakakakakakakakammnnnmmmm.,)(.,)(2121线线性性相相关关则

11、则有有非非零零解解若若线线性性方方程程组组线线性性无无关关则则只只有有唯唯一一零零解解若若线线性性方方程程组组 mm 方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定系判定.,)(,)().(),(,21212121线线性性相相关关则则若若线线性性无无关关则则若若首首先先求求出出相相应应的的矩矩阵阵就就得得到到一一个个维维向向量量给给出出一一组组 mmmmmARmARARAn 例例研究下列向量组的线性相关性研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(. 0

12、253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321线线性性相相关关从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组的的系系数数行行列列式式线线性性方方程程组组 解二解二,201,520,321321 ,253022101),(321 A矩阵矩阵 000220101253022101初等行变换初等行变换A., 32)(321线线性性相相关关故故向向量量组组 AR.)2(, ,:,22112121线线性性相相关关都都有有使使对对任任何何向向量量为为零零的的数数存存在在不不全全证证明明线线性性相相关关设设 rttttttrrrr 例例2 2分析分析考考察察

13、向向量量方方程程我我们们从从定定义义出出发发 ,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr.,21因因此此可可得得如如下下证证明明恒恒有有非非零零解解每每个个而而使使得得对对数数是是否否有有某某组组不不全全为为零零的的 kkkr证明证明0,22112121 rrrrkkkkkk使使为为零零的的数数所所以以存存在在不不全全线线性性相相关关因因为为02211 xkxkxkrr考考虑虑线线性性方方程程都都有有则则对对任任意意向向量量零零解解为为任任一一非非设设它它必必有有非非零零解解因因为为,),(, 221 tttrr 0)

14、(22112211 tktktkkkkrrrr0)()()(222111 tktktkrrr即即., :,221121线线性性相相关关不不全全为为零零得得知知由由 tttkkkrrr .,:,2121一个最大线性无关组一个最大线性无关组成它的成它的个线性无关的向量均构个线性无关的向量均构中任意中任意证明证明的秩是的秩是已知向量组已知向量组rrss 例3例3证明向量组的一个部分组构成最大线性无证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是：关组的基本方法就是：分析分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系与向量组的秩相联系证明证明.

15、,), 2 , 1(,212121rskrkiiiksiiirr否否则则这这向向量量组组的的秩秩大大于于相相关关线线性性向向量量组组的的于于是是对对于于任任意意个个线线性性无无关关的的向向量量中中的的任任意意是是设设不不失失一一般般性性 ., 2121线线性性表表出出以以由由可可所所以以线线性性无无关关又又向向量量组组 iiikiiirr., 2121的的一一个个最最大大线线性性无无关关组组是是这这就就证证明明了了由由定定义义 siiir二、求向量组的秩二、求向量组的秩.)1, 4, 6, 2(),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0(),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1

16、, 1(54321的秩的秩求向量组求向量组 TTTTT例4例4解解( () )为阶梯形为阶梯形化化行变换行变换作初等作初等对对作矩阵作矩阵AAA,54321 ( () ) 1111042110631212101154321 A 1111042110421102101112rr 530000000042110210112423)1(rrrr 0000053000421102101134rr( () ).54321U 记作记作, 3)( ARA的的列列秩秩. 3,54321的的秩秩为为故故向向量量组组 00000530004211021011 ) (54321 U, 421无无关关组组线线性性的的

17、列列向向量量组组的的一一个个最最大大是是又又U ., 421线线性性无无关关组组的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大也也是是所所以以A .)1 , 0 , 0(3向向量量空空间间所所组组成成的的集集合合是是否否构构成成不不平平行行的的全全体体向向量量中中与与向向量量判判断断R例例5 5解解.)1 , 0 , 0(3间间成成的的集集合合不不构构成成向向量量空空不不平平行行的的全全体体向向量量所所组组中中与与向向量量R三、向量空间的判定三、向量空间的判定),0)(1 , 0(),0 , 0( 21 kkk 对对向向量量),1 , 0 , 0(,21均均不不平平行行于于 ).1 , 0 , 0(

18、21 .)1 , 0 , 0( 3封封闭闭所所组组成成的的集集合合对对加加法法不不不不平平行行的的全全体体向向量量中中与与向向量量因因此此R但但.向向量量空空间间故故所所给给向向量量集集合合不不构构成成例例6 6 求解方程组求解方程组 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵B 2132111311101111B,00000212100211011 四、基础解系的证法四、基础解系的证法并有并有故方程组有解故方程组有解可见可见, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2

19、131 xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 取取中中组组在对应的齐次线性方程在对应的齐次线性方程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及则则xx程组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方,1201,001121 于是所求通解为于是所求通解为).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx 例例7证明与基础解系等价的线性无关的向量组证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系也是基础解系分析分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向

20、量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该组向量线性无关；要证明某一向量组是方程组的基础解要证明某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论系，需要证明三个结论:0 AX证明证明.,0,212121ntaaaAXtnt 即即向向量量个个数数相相等等所所以以这这两两个个向向量量组组所所含含数数是是相相同同的的向向量量组组所所含含向向量量个个因因为为等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组等等价价的的线线性性无无关关的的是是与与系系的的一一个个基基础础解解是是方方程程组组设设 .0 ,), 2 , 1(,2121的的解解都都是是故故合合仍仍然然是是原原方方程程组组的

21、的解解而而解解的的线线性性组组的的线线性性组组合合可可以以表表示示成成知知由由向向量量组组的的等等价价关关系系易易 AXaaatiatti .,21线线性性无无关关由由题题设设知知aaat.,021212121线线性性表表示示也也可可由由故故线线性性表表示示均均可可由由由由向向量量组组的的等等价价性性线线性性表表示示可可由由则则的的任任一一解解为为方方程程组组设设aaaaaaAXtttt .0,21的的一一个个基基础础解解系系也也是是方方程程组组故故由由定定义义知知 AXaaat注注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的

22、法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的. 1,1,)3(.1,)2(;,)1(:. ,111而且组合系数之和为而且组合系数之和为个解的线性组合个解的线性组合都可以表示为这都可以表示为这的任一解的任一解方程组方程组个线性无关的解个线性无关的解的的是方程组是方程组线性无关线性无关证明证明解系解系是其导出组的一个基础是其导出组的一个基础的一个解的一个解是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组设设 rnXBAXrnBAXBAXrnrnrn 例8例8五、解向量的证法五、解向量的证法. 0)(, 0)1(0110 kkkkrnrn其中必有其中必有令令 证明证明. 0,0,0,0210101 kBAXAXAXk

23、kkkrnrnrn所以所以矛盾矛盾的解的解齐次方程组齐次方程组是非是非而等式左边而等式左边的解的解必是必是其线性组合其线性组合故等式右边为故等式右边为的解的解是齐次方程组是齐次方程组由于由于有有否则否则 , 0,)(022110 rnrnkkkk则有则有式式代入代入将将., 0,0,21212121线性无关线性无关于是于是故有故有线性无关线性无关所以所以的基础解系的基础解系是是因为因为 rnrnrnrnkkkAX .,), 2 , 1()2(再证它们线性无关再证它们线性无关的解的解都是都是知知由线性方程组解的性质由线性方程组解的性质BAXrnii 所以所以线性无关线性无关的证明知的证明知由由则

24、则令令,)1(, 0)(, 0)()(211110110 rnrnrnrnrnrnkkkkkkkk , 0, 0, 0, 021210kkkkkkkrnrn., 0,21210线性无关线性无关故故得得解之解之 rnrnkkkk 可表为可表为则则的任一解的任一解为方程组为方程组设设XBAXX,)3( rnrntttX 2211)()(11 rnrntt)()()1(111 rnrnrntttt , 1,11001 ttttttrnrn则则令令都都可可以以表表示示为为的的任任一一解解故故XBAX . 1),()( 10110 ttttttXrnrnrn且且 注意注意(1)本例是对非齐次线性方程组的

25、解本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解，题中程组一定存在着个线性无关的解，题中(2)的证明表明了它的存在性的证明表明了它的存在性BAX 1 rn(3)对非齐次线性方程组，有时也把对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给的个解称为的基础如题中所给的个解称为的基础解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为系数之和为1时，才是方程组的解时，才是方程组的解BAX BAX 1 rn(2)对齐次线性方程组，当时，对齐次线性方程组，当时，有无穷多组解，其中

26、任一解可由其基础解系线性有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性表示表示nrAR )(. 00002130102110416273111A六、其它六、其它023,022,0,0223454321421543215321xxxxxxxxxxxxxxxxx方程组的增广矩阵方程组的增广矩阵 B 为为011123002012011111020234B.000000000000024210013101 , 2)(BR所以因此方程组的基础解系由因此方程组的基础解系由325)(BRn个向量构成个向量构成. 下面再来求矩阵下面再来求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组.故矩阵故矩阵

27、 A 的四个列向量的四个列向量NoYes在不构成基础解系时是在不构成基础解系时是NoYes00002130102110416273111A.0000000000003/23/1103/13/201由此可知矩阵由此可知矩阵 A 的秩的秩 ,2)(AR所以矩阵所以矩阵A的列向量组的最大无关组由的列向量组的最大无关组由2个向量构成个向量构成, 令令,021107,01043,0321611,001214321则向量组则向量组则则31,线性无关线性无关,但方程组的基础解系由但方程组的基础解系由个向量构成个向量构成,因此还需补充一个解向量因此还需补充一个解向量,这个解这个解向量加到向量组向量加到向量组3

28、1,后所得向量组应线性无后所得向量组应线性无令令,100215531,线性无关线性无关, 且都是解向量且都是解向量, 故故3关关.它即为所求的基础解系它即为所求的基础解系. .2,2,222kzyxkzyxzyx22111212112kkB.2000223301212kkkk,21 时或当k所以原方程组无解所以原方程组无解;因为系数矩阵因为系数矩阵 A 的秩的秩, 32)(AR且与且与 k 无关无关,所以原方程组无唯一解所以原方程组无唯一解;,21, 时当k因为因为, 3)(, 2)(BRAR),()(BRAR即有无穷多解有无穷多解. 当方程组有无穷多解时当方程组有无穷多解时,其通解分别求解如

29、下其通解分别求解如下:原方程组变为原方程组变为,12,12,22zyxzyxzyx解之得通解为解之得通解为,0011111czyx为任意常数为任意常数.,1 时当k1c,42,22,22zyxzyxzyx解之得通解为解之得通解为,0221112czyx为任意常数为任意常数.原方程组变为原方程组变为,2 时当k2c其通解为其通解为: 原方程组原方程组 无唯一解无唯一解;,21, 时当k无解无解;,21 时或当k有无穷多解有无穷多解;,1 时当k其通解为其通解为,0011111czyx为任意常数为任意常数;1c,2时当 k,0221112czyx为任意常数为任意常数.2c 001121201321

30、x,x,x 1.),()( bARAR且所以它对应的齐次线性方程组所以它对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由的基础解系由解与齐次方程组解的关系解与齐次方程组解的关系: 由已知知方程组由已知知方程组 Ax = b 是含有是含有3个个变量的方程变量的方程, 即即3,n且系数行列式且系数行列式 A 的秩的秩1,)(AR213)(ARn个向量构成个向量构成. 故可令故可令由非齐次方程组的由非齐次方程组的,xx322121201211则则 1 , 2 为方程组为方程组 Ax = 0 的解的解,且且 1 , 2 线性无线性无,xx200001201312关关, 所以所以 1 , 2 即为方程组即为

31、方程组 Ax = 0 的基础解系的基础解系.则可得方程组则可得方程组,2,2dadcbadca 方程组方程组 Ax = b 的通解为的通解为.,2112211为任意常数ccxccx因为因为1,)(AR所以满足条件的方程组所以满足条件的方程组Ax = b 的保留方程组只有的保留方程组只有1个方程个方程, 设为设为,dczbyax解之得解之得0,cdbdad 为任意常数为任意常数.故所求方程为故所求方程为, 1 yx .0311112111112321 tt,t,t,t设设 k1 1 + k2 2 + k3 3 则可得关于则可得关于 .)31 (,)21 (,0)1 (2321321321tktk

32、ktkktkkkktk1 , k2 , k3 的线性方程组的线性方程组 则本题的三个问题可转化为以下的三个等价问题则本题的三个问题可转化为以下的三个等价问题: t 取何值时取何值时, 方程组有唯一解方程组有唯一解; t 取何值时取何值时, 方程组有无穷多解方程组有无穷多解; t 取何值时取何值时, 方程组无解方程组无解.,3111121101112tttttB方程组的增广矩阵方程组的增广矩阵 B 为为 对增广矩阵对增广矩阵 B 进行初等行变换得进行初等行变换得2311112110111tttttB.321160032012112322ttttttttttt由此可知由此可知 当当6/11, 0t

33、t时时, 该方程组有唯该方程组有唯一解一解, 即即 可由可由 1 , 2 , 3 线性表示线性表示, 且表达式唯且表达式唯这时方程组可化简为这时方程组可化简为一一. 132)116(,132,)21 (2332321ttkttkktkktk解之得解之得,11613211642116322321tttk,ttk,ttk.11613211642116323221ttttttt即即 当当0t时时, 31)()(BRAR所以此时所以此时方程组有无穷多解方程组有无穷多解, 即即 可由可由 1 , 2 , 3 线性表线性表 当当6/11t时时, 因为因为, 2)(AR),()(, 3)(BRARBR则而无

34、解无解, 即即 不能由不能由 1 , 2 , 3 线性表示线性表示.所以此时方程组所以此时方程组示示, 但表达式不唯一但表达式不唯一.于是于是 R(A) + R(B) n . 个线性无关的向量个线性无关的向量. 由于由于 AB = O , 故故 B 的所有列向的所有列向量都是量都是 Ax = 0 的解向量的解向量,因此因此 B 的列向量中线性的列向量中线性无关的向量个数不会超过无关的向量个数不会超过 n - - R(A), 此即此即R(B) n - - R(A), 方程组方程组 Ax=0 的基础解系中恰有的基础解系中恰有 n - - R(A)表出表出,设设 R(A) = r , R(B) =

35、s , 则则A 有有 r 个线性无关的行向量个线性无关的行向量, 设为设为 1 , 2 , , r ; B 有有 s 个线性无关的行向量个线性无关的行向量, 设为设为 1 , 2 , , s ; 且且 A 的任一行向量均可由的任一行向量均可由 1 , 2 , , r 线性表线性表出出, B 的任一行向量也均可由的任一行向量也均可由 1 , 2 , , s 线性线性 例例 所以所以 R(A + B) R(C), 而而 R(C) r + s = R(A) + R(B) , 即即 R(A + B) R(A) + R(B) . 因此因此 A + B 的任一行向量可由向量组的任一行向量可由向量组C :

36、1 , 2 , , r , 1 , 2 , , s 线性表出线性表出, R(A) + R(A - - E) n.又又 R(A) + R(A - - E) = R(A) + R(E - - A) R(A + E - - A)因为因为 A(A - - E) = A2 - - A = O,故由故由知知综合此两个不等式便得综合此两个不等式便得 R(A) + R(A - - E) = n.= R(E) = n . 证证证证方程组方程组 Ax=0 的基础解系中恰有的基础解系中恰有 n - - R(A)个线性无关的向量个线性无关的向量. 由于由于 AB = 0 , 故故 B 的所有列向的所有列向量都是量都是

37、 Ax = 0 的解向量的解向量, 因此因此 B 的列向量中线性的列向量中线性无关的向量个数不会超过无关的向量个数不会超过 n - - R(A), 此即此即R(B) n - - R(A),于是于是R(A) + R(B) n . 证毕证毕证毕证毕设设设设 A A、B B 均是均是均是均是 m m n n 矩阵矩阵矩阵矩阵, , 证明证明证明证明: :R R( (A A + + B B) ) R R( (A A) + ) + R R( (B B) .) . n - - R(AB) , 故故 若若 x 是方程是方程 Bx = 0 的解的解, 则它也必则它也必是方程是方程 ABx = 0 的解的解,所

38、以所以 Bx = 0 的解空间是的解空间是ABx = 0 的解空间的子空间的解空间的子空间. 而而 Bx = 0 的解空间的解空间的维数为的维数为 n - - R(B) , ABx = 0 的解空间的维数为的解空间的维数为 例例 n - - R(AB) n - - R(B) ,于是得于是得 R(AB) R(B).又又 R(AB) = R(AB)T = R(BTAT) R(AT) = R(A),所以所以 R(AB) min R(A) , R(B) . 第四章测试题第四章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题5 5分，共分，共4040分分) )( () )( () )( () )( () )

39、.,1 , 2 , 0 , 1, 1 , 0 , 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 14321线性相关线性相关时时则则设设 kk ( () )( () )( () )( () ).,0 , 3 , 1,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 24321线性无关线性无关时时则则设设 tt ( () )( () )( () )( () )则则该该向向量量组组的的秩秩是是已已知知向向量量组组,7 , 6 , 5 , 4,6 , 5 , 4 , 3,5 , 4 , 3 , 2,4 , 3 , 2 , 1 . 34321 则向量个数则向量