平面向量与三角形三心

1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇、四心的概念介绍1重心中线的交点：重心将中线长度分成2 : 1 ；2垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；3内心一一角平分线的交点 内切圆的圆心：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;4外心一一中垂线的交点外接圆的圆心 ：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合1OA OB OC 0 O 是 ABC 的重心.证法 1 设 Ox, y,人,%弋匕2, y2,CX3，y3X1X2X3OA OB OC 0(XiX) (X2 X) (X3 x)(yi y) (y2y) (y3y) 0%y2y33O是ABC的重心.证法2:如图OA OB OCOA 2

2、OD 0AO 2ODA、0、D三点共线，且O分AD为2： 1O是ABC的重心2OA OB OB OC OC OAO为ABC的垂心.BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OA OBOB OCOB(OA OC) OB CA 0OBAC同理OABC，OCABO为ABC的垂心证明：如下列图 O是三角形ABC的垂心,3设a, b , c是三角形的三条边长， O是 ABC的内心aOA bOB cOC 0 O 为 ABC 的内心.1IAB AC证明：、分别为AB AC方向上的单位向量,c bABAC平分BACcb“ ABAC人bcAO(-，令cba b c be r AB AC AO)a b e e b

3、化简得(a b e)OA bAB eACaOA bOB eOC 0|OAOBOCO为ABC的外心。典型例题分析例题点 G是也ABC内任意一点，点M是也ABC G点可能通过也ABC的心.(填“内心或“外心或“重心或“垂心).提出问题AB AC(1)假设存在常数，满足MG MA (-一一 )(0),那么点G可能通过|ab| |ac|込ABC的. 假设点D是込ABC的底边BC上的中点，满足G»gB GDGC ,那么点G可能通ABAC0),那么点G可)(八AB *sin BACsin C( ABAC )(0),那么点G可('|ABcos BAC*eosC过企ABC的.(3)假设存在常

4、数 ，满足MG MA能通过乜ABC的.(4)假设存在常数，满足MG MA能通过乜ABC的.思路分析以上四个问题的解决要求不同，除了熟悉三角形的“四心的性质 同时更要熟悉平面向量的性质，对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.AB - ac 解答过程(1)记円 6，円 2,那么AG (e 62).由平面向量的平行四边|ab|ac形或三角形法那么知，点G是角平分线上的点，故应填内心. 简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点，故应填外心.(3)：ABsi nB AC-si nC, 记 AB *si nB AC *s inC h ,那么AG '(AB AC)(').由平面向量的平行

5、四边形或三角形法那么知，点G是 hBC边的中线上的点，故应填重心.(4) MGMA (ABAC)(AB pos BAC *cosC0),得AGABAB cos BAC)(AC icosC0),关键点AG -BCABACAGBC于是ABcos BAC *cosC BC( 0)AB-BCACBCIab|posB)(0)cosC(Bc pos( -B) Bc posB)=从而AG BC,点G是高线上的点，故应填垂心.点评以上四个问题处理的方法各不相同，注意到平面向量及三角形的“四心 的性质在解答问题时的作用特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧总结:1OA OB OC 0 O 是 ABC 的重心.

6、2OA OB OB OC OC OA O 为 ABC 的垂心.3设a, b , c是三角形的三条边长， O是 ABC的内心aOA bOB cOC 0 O 为 ABC 的内心.4|oaOB |OCO为ABC的外心。或者假设P点为ABC内任意一点，假设P点满足:APA.),P为乙ABC的内心；BPt(iBA BC), t I BABC2. D、E两点分别是色ABC的边BC、CA上的中点，且DP *PBDP PCP为邑ABC的外心；EP*PCEPPAAP3.BP1 (AB31 一(BA3AC),BC),P为也ABC的重心；4.AP*BC 0P为汪ABC的垂心.BPAC 0结合运用:OP例1:O是平面

7、上一定OA(AbAC),A.外心分析：如卜图ABC ,ABAC2ADOPOA2 ADOPOAAPAP2 ADAP/AD占P八、1'的轨迹疋通过占八、-0,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点，那么点P的轨迹一定通过 ABC的B .D、E分别为边BC、AC的中内心C.重心ABC的重心，即选C .例2 : O是平面上一定点,A、OPOA(AB AC)(AB AC)，A .外心B.内心0,分析:OPP满足D.垂心B、C是平面上不共线的三个点，动点，那么点P的轨迹一定通过 ABC的C.重心D.垂心P满足AB ACAB、AC分别为ABAC方向上的单位向量,AB AC平分陀点P的轨迹一定通过 A

8、BC的内心,即选B.OAO是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACAB cosBA .外心)，AC cosCB .内心0,，那么点P的轨迹一定通过ABC的C.重心D .垂心ABAB cosBACAC cosC)BCAB BCAB cosBAC BCAC cosCAB BC cosBAC|BCcosCACcosCBC + BC =0点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，即选 D .练习:ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPB PC0,假设实数满足：AB AC AP，贝U 的值为3A . 2B.C. 3D. 62O,半径为 1,0A OB OC0，那么 OA

9、OB (1A.-2B. 0C. 12假设 ABC的外接圆的圆心为3 点O在 ABC内部且满足OA 2OB2OC0,那么 ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是3B.-25C.44.ABC的外接圆的圆心为假设OHOAOBOC ,那么H是ABC的A .外心内心C.重心D .垂心5.O是平面上一定点,2 2 2B、C是平面上不共线的三个点， 假设OA BC OB2CA2 2OC AB，那么O是ABC 的 A .外心B .内心C.重心D .垂心6.ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H ,0H m(OA OB OC),那么实数且AB 竽=2 ,那么厶ABC为 |AB | |AC|非零向量 AB与AC满足CAB +竽 ) BC=0|AB| |AC|( )