培优专题7-分式的运算(含答案)

1、10、分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法那么a c acb d bd ；a c a d adb d be be当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。2. 分式的加减法1通分的根据是分式的根本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法那么是： 取各分母系数的最小公倍数； 凡出现的字母或含有字母的式子为底的幕的因式都要取； 相同字母或含有字母的式子的幕的因式取指数最高的。2同分母的分式加减法法那么a b a bc c c3异分母的分式加减法法那么是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。3. 分式乘方的法那么naa()n - n为正整数bbn4. 分式的运算是

2、初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有 重要应用。学习时应注意以下几个问题：1注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；2整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1的分式;3运算中及时约分、化简；4注意运算律的正确使用；5结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四那么运算。【分类解析】式化成同分母，运算就简单了。解：原式aababcaba 1abc aba abc abc abaababcaba 11 ab aa 1 ab分析：假设先通分，计算就复杂了，我们可以用例1 :计算X2 X 6的结果是x x 2A.B.C.x2D.分析：原式(X 2)(X 1)

3、(x 3)(x 2)(x 3)(x 2) (x 2)(x 1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x3)(x2)(x3)(x2)(x 1)(x 1)(x 3)(x3)x21应选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。例2：abc1，求ab a 1bbc b 1的值。ac c 1abc替换待求式中的“ 1 ，将三个分例3：2m 5n0，求下式的值:a ab 1 ab a 1 1(1分析：此题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分 子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。解

4、：1mn)m(m n) n(m n) m m(m n) n(m n) mm(m n)n m(m n)m(m n)nm nm n52m 5 n 0m n25n n故原式 £5n n2737nn223例4：a、b、c为实数，且aba b的值是多少?m(m n)1 bc 1 ca3 b c 4 c aI ,那么 abc5 ab bc ca分析：条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。解：由条件得:1 1所以2(-a b1 1 1 即_ abc1 1 a b123,又因为ab be caabc111 c b a所以abcab bc ca例5:化简：(X31 X21)

5、X24x 2x 2x 1解原式(X3 1)(x 2) (X2 D(x 2) (x 2)(x 2)(x 2)(x 2)x 1X43x3 2x2 4x 1(X4 X2) 3(x31) (X2 1)x 1x2(x 1)(x 1) 3(x 1)(x2x 1) (x 1)(x 1)X 1(x 1)( x3x2 3x2 3x 3 x 1)x 1x3 2x2 4x 4解二:原式(x1)( xx1)(x2)(x2) (x 1)(x1) (x2)( x 2)x2x 1x 2x 1(x2x1)( x2)(x1)( x2)3 x2 xx 2x22x2x23x 23 x2x24x4说明：解法-疋般方法,但遇到的问题是

6、通分后分式加法的结果中分子是-个四次多项式，而它的分解需要拆、 添项，比拟麻烦；解法二那么运用了乘法分配律，防止了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。例1、计算：1nm2 2 m nm2nm24mn 4n解：原式1mn(m2n)2m2n(mn)(m n)1m2nmnmnm2nmn3n说明：分式运算时，假设分子或分母是多项式，应先因式分解。2例2、:型与7，那么Mx y x y解:J2 Jxyx y2xy y2 x2 2xy y22 2x yx2MM x2说明：分式加减运算后,等式左右两边的分母相同,那么其分子也必然相同，即可求出M。中考点拨:例1：计算：

7、1 1 ( 1 1 ) (a b)2 (a b)2a b a b(a4ab(a b)(a b)b)2(a2ab)22b(ab)(ab)2a2 ab211 11 1 1解二：原式 一b a)()( )ab a ba ba b a b解一：原式(a b)2(a b)2(a b)2 (a b)2a b a b(a b)(a b)1 1a b a ba b a b 2a(a b)(a b)a2 b2说明：在分式的运算过程中， 乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方 法的繁简程度一目了然。例2：假设2b 3ab，那么(1(1亜的值等于bA.B. 0C. 1D.解:原式3. 3a bab3 a

8、b3 ab3 ab3 ab(ab)(a2abb2)ab(ab)(a2abb2)ab2 aab b23abab2 aab b23ababb2baa3, 33b 2b2ab4ab应选A【实战模拟】1.:2,ab的值等于2A.5B.145C.195D.2452312.x 16x10，求x 3的值。x3.计算：1111x2 3x 2 x25x 6 x27x12x2 9x 204.假设A999911111B999922221试比拟A与B的大小。亠亠亠亠2222 “ °C" 333399991999915.：a b c 0，abc8，求证：11 10。ab c【试题答案】. 2 ,2

9、a b a b1解：一b a abab2，ab52 ab2(ab)2 2ab 14ab1414ba55应选B2.解：x216x1 0x216x1, x2116x, x216x11 x313x6x 1(x21)(x43 x3 x16(x42x216x)2 xx21)16x(x4 x2 x216x)3x16(16x12)x1616( x22 -)x16x216、16(3)x16316( x2x1631616xx16 259 4144说明：此题反复运用了条件的变形，最终到达化简求值的目的。3.解：原式1(x 1)(x 2)1 1(x 2)(x 3) (x 3)(x4)1(x 4)( x 5)1 11

10、 1 1 1 1 1x 1 x2x2x3x3x4x4 x 5 11x 1 x 54x2 6x 5说明：此题逆用了分式加减法那么对分式进行拆分，简化计算。4.解：设a11119999，那么Aa1Ra212B3,a1a 1A Ba 12 a14 a3a a1 a4 2a21a213 a1(a21)(a3 1)a(a 1)2(a2 1)(a31)A B5.证明： a b c 00，即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 0ab bcac1 / 22(a.2 2、b c )1 11bcacab1,2又(aa bcabc16(a b c)2b2abc 8a、b、c均不为零a2 b2 c201 1

11、1 0 abc12、分式方程及其应用【知识精读】1解分式方程的根本思想：把分式方程转化为整式方程。2解分式方程的一般步骤：1在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；2解这个整式方程；3验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于 零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤根本相同，但必须注意，要检验求得 的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。F面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类解析】例1.解方程:分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程

12、两边乘这个公分母时不要漏乘,完后记着要验根解：方程两边都乘以(x 1)(x1)，得的值相差1的两个分式结合,然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求值。解：原方程变形为：x6x5x2x1x7x6x3x2(x 6)(x7)(x2)(x3)所以(x 6)( x7)(x2)( x3)经检验：原方程的根是 x9即8x3629x2例3.解方程：12x1032 x3424x2316x194x38x98x 74x 5方程两边通分，得11分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得:14x 328x 928x 628x 102

13、4 8x 928x 728x 714x 5于是(8x 9；8x 6)1(8x 10)(8x 7)所以(8x 9)(8x 6)(8x 10)(8x 7)解得：x 1约分，得y 2 y2y 2 (y 2)(y 2)经检验：x 1是原方程的根。例4.解方程：6y 12y2 4y202 2 0 y 4y 4 y 4y 4 y 4分析：此题假设用一般解法，那么计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。解：原方程变形为：26(y 2) (y 2)(y 2)y0(y 2)2(y 2)2(y 2)(y 2)方程两边都乘以(y 2)(y2)，得6(y 2) (y 2)2

14、y20整理，得2y 16y 8经检验：y 8是原方程的根。注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。5、中考题解：2xm 1x 1例1 假设解分式方程产生增根，那么m的值是x 1 x xxA.1 或 2B. 1 或 2C. 1 或 2D. 1 或 2分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：x 0或x1，化简原方程为：2x2 (m 1) (x 1)2，把x 0或x1代入解得m 1或 2，应选择D。例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国活动，乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种 66棵

15、树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解：设甲班每小时种 x棵树，那么乙班每小时种x+2棵树,由题意得:60x66x 260x12066xx 20经检验：x 20是原方程的根x 222答：甲班每小时种树 20棵，乙班每小时种树 22棵。说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。6、题型展示：例1.轮船在一次航行中顺流航行 80千米，逆流航行42千米，共用了 7小时；在另- 次航行中，用相同的时间，顺流航行 40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速 度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度，有顺水

16、、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。解：设船在静水中的速度为 x千米/小时，水流速度为 y千米/小时8042由题意，得x y x y4070解得：x 17y 3经检验：x 17x是原方程的根y 3答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为x y x y例2. m为何值时，关于x的方程2mx3会产生增根?x2x4x22解：方程两边都乘以 x 4，得2x4mx3x 6整理，得m 1x10当m 1时，xm 1如果方程产生增根，那么 x240，即x2或x210(1)假设 x 2，贝V 2m 1m4(2 )假设 x2，那么10m 12m617千米/小时。3综上所述，当m4或6时，原方

17、程产生增根说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1甲、乙两地相距 S千米，某人从甲地出发,v千米/小时的速度步行，走了 a小时后改乘汽车，又过 b小时到达乙地，那么汽车的速度S A.a bB.2.如果关于x的方程S avC.b有增根,x 3S av2S D.a那么m的值等于A. 3B.C.D. 33解方程:(x1)(x 2)(x 2)(x 3)(x 9)( x 10)2x1 x22x 9124. 求x为何值时，代数式的值等于2?x 3 x 3 x5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做 1天后，再由两队合作 2天就完2成了全部工程。甲队单独完成工程所需的天数是

18、乙队单独完成所需天数的-，求甲、3乙两队单独完成各需多少天？【试题答案】1. 由，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为S av千米。又乘车的时间为 b小时，故汽车的速度为-av千米/小时，应选Bob2.把方程两边都乘以x 3，得2 x 3 mx 5m.假设方程有增根，那么 x 3,即5 m 3m 2应选Bo3. 1分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用1n(n1)1裂项,n 1即用“互为相反数的和为0将原方程化简解：原方程可变为1x 10丄2x 10丄2x 1即 2x 21经检验：原方程的根是2分析：用

19、因式分解提公因式法简化解法& / 1 1 解：x(-1 x 11因为其中的1 x2 4 、 °24)0x1 x24-241 x 1 x2241 x 1 x 1 x2 242241 x 1 x 1 x448044801 x 1 x 1 xx 0经检验：x 0是原方程的根。4解：由得1 2x 3 xx3即2312 2x 3x3x3120x 3 x3x23解得x 2经检验：x 是原方程的根。23 2x 912当x 时，代数式 丝仝 2的值等于2。2x 3 x 3 x5. 设：乙队单独完成所需天数 x天，那么甲队单独完成需 x天。31 1 1由题意，得 2()1x x 2x3即 12

20、31x x x解得：x 6经检验x 6是原方程的根z 2x 6 时，一x 43答：甲、乙两队单独完成分别需 4天，6天。13、分式总复习【知识精读】A定义：一 A、B为整式，B中含有字母B性质通分:约分:M(m0)分式M(m0)定义：分母含有未知数的方程。如思想：把分式方程转化为整式方程、方法：两边同乘以最简公分母分式方程解法依据：等式的根本性质 注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用【分类解析】1.分式有意义的应用1 1例1.假设ab a b 1 0，试判断，是否有意义。a 1 b 11 1分析：要判断，丄是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因a 1 b 1式

21、分解，即可判断 a 1，b 1与零的关系。解： aba(b 1)(b1)即(b 1)(a1)例2.计算:a* 2 a 1a 1a2 3a 1a 3分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“别离分式法简化计算。解：原式aJLJ a(LJa 1a 31 / 1 、 a(a)a 1a 31 1a 1 a 3(a 3) (a 1)(a 1)(a3)2a 2(a 1)(a3)例3.解方程：11x2 7x 6x2 5x 5x2 5x 62分析：因为x7x 6 (x1)(x 6)， x2 5x 6 (x2)(x 3)，所以最简公分母为：(x1)(x6)(x2)(x3)，假设

22、采用去分母的通常方法,运算量较大。由于x2 5x 5-2x5x 62xx2 5x 65x 6111故可得如下解法。x 5x 62x 5x 61解： -x5x 65x 63.原方程变为1x2 7xx2 7xx 0经检验，x1x2 7x 616 x2 5x 66 x2 5x 60是原方程的根。在代数求值中的应用o例4.a 6a1x2 5x 69与|b 1|互为相反数，求代数式_ a b)b ab a ba 2 ab弓-的值。a b 2ab a分析：要求代数式的值，那么需通过条件求出b的值，又因为a、b的值。解：由得a 30, b 10,解得a 3, b 1原式4(a b)(a b)a b ab(b

23、 a)a2 ab 2b2ab(a 2b)(a b)2 ab(a b)(a b)2 2 2a b ab bab(a 2b)(a b)2 ab(a b)(a b)ab(a 2b)(a b)(a 2b)1 aabb把a 3, b 1代入得：原式 丄124. 用方程解决实际问题例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停站，耽误30分钟，后来把速度提高了倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。解：设这列火车的速度为 x千米/时根据题意，得450x450 3x12x方程两边都乘以12x，得5400 42x 4500 30x解得x 75经检验，x 75是原方程的根答：

24、这列火车原来的速度为 75千米/时。5.在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。 而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。2y 3例6.x3y 2，试用含x的代数式表示y，并证明(3x 2)(3y 2) 13。2y 3解：由x3y 2得3xy2x2y33xy 2y 2x3(3x 2)y 2x32x 3y3x 2(3x 2)3号3y3) 226y96y4133y23y 2(3x 2)(3y2)136、中考原题：2- M 2xy yx y 口一例1222，贝V M =。x y x yx y即可求出分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，那么其分子也必

25、然相同,M。c2解：2xy Jx y x y分析：先化简所求分式，发现把x2 3x看成整体代入即可求的结果。解：原式(X 1)2 (x 1)2 2x 3x 20x原式x23x 2x2 2x 1 x 1 x2 3x3x 27、题型展示：例1.当x取何值时，式子2 |x| 2 有意义？当x2 3x 2x取什么数时，该式子值为零?2xy22小2y x 2xy y2 2x y2 x2 x2yM2 x2yMx22例2.x(x1)3x21孙詹曰3x 20，那么代数式的值是x 1解：由x23x 2(x 1)(x2) 0得x1或2所以，当x1和x2时，原分式有意义由分子| x| 20得x2当x 2时，分母x2

26、3x 20当x2时，分母x2 3x 20 ,原分式无意义。所以当x 2时，式子x3x二的值为零例2.求x2(m n)x mn (m n)x mn2x2x2孚的值，其中xn2m 3n分析：先化简，再求值。解：原式(x m)(x n)(x m)(x n)(x m)(x m)(x n)(x n)(x m)2(x n)21x 2m 3n2x 2m，x 3n，m14，门16原式(x m)2m m)：(x n)(3n n)m24n2916【实战模拟】1当x取何值时，分式2x 1有意义?2.有一根烧红的铁钉，质量是m,温度是t0，它放出热量Q后，温度降为多少？铁的比热为c3.计算：x 2y4y2442x2y2x 2y 4y x4.解方程:5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单 独做那么要超过3天。现在甲、乙两人合作 2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日 期是多少天？x y z6. 4x 3y 6z 0，x 2y 7z