蕴含数列中的数学思想方法

1、蕴含数列中的数学思想方法 山东省五莲一中 王振香数列是高中数学的重要内容之一，与其它数学知识有着广泛、密切而又深入的交汇，这类数列综合问题往往蕴含着许多重要的数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等），在分析与处理解决时，若能灵活地以这些数学思想与方法作思路指导，则会取得事半功倍的效果.一 函数思想由于数列是以正整数为自变量的一种特殊离散型函数，则我们若能有意识地多从函数的角度去看待数列，在这种整体的、动态的观点之下加强数列与函数的联系，利用函数的图象和性质去解决数列的一系列问题，就会使数列的一些性质显现得更加清楚，使某些问题得到更好地解决.例1已知数列是等差

2、数列，若，求.分析：因是等差数列，则知也为等差数列，由此可用一次函数的方法解决问题.解：，故为等差数列，其通项为一次函数，将之设为，则点、在其图象上，则解得.故，解之得.评注：是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点.上述解法是利用待定系数法建立一次函数来求解.当然更可利用结论“成等差数列”这个等差数列的重要结论而简单解决本题.二 方程（组）思想数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在学习过程中得以较为充分的体现，许多数列习题都可通过列出方程或方程组而求解.如，数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基

3、本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.例2设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项，以此求的通项公式.分析：由题设“与2的等差中项等于与2的等比中项”即可列出方程进行分析.解：由题意可知，整理得：，当时，解得.又-，整理得： .又，即是首项为2、公差为4的等差数列，.点评：本例利用了方程的消元思想由、消去得到了这一方程，找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决.值得注意的是有的时候可借助消去利用递推关系解题.例3已知等差数列的公差是正数，并且，求前n项的和.分析：由可知，结合条件可得相关方程.解：由等差数列知：，从而，

4、故是方程的两根，又，解之得：.再解方程组 ，因此有.点评：本题利用了这一性质构造了二次方程，从中巧妙的解出了两个量，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与（或）找出解题的捷径.三 分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决.例4 设等比数列的公比为，前n项和.（）求的取值范围；（）设，记的前n项和为，试比较与的大小.分析：凡涉及等比数列和的问题，一般而言均需分类讨论.解：（）因为是等比数列，当上式等价于不等式组： 或 解式得q>1；

5、解，由于n可为奇数、可为偶数，得1<q<1.综上，q的取值范围是（）由得，则其前n项和.于是又>0且1<<0或>0.当或时即当且0时，即当或=2时，即点评：关于数列的分类一般考查三个方向：对公差d的分类讨论、对公比q的分类讨论、对项数n的分类讨论.四 化归与转化的思想数列的绝大多数问题最后归结为两大问题求通项公式和求前n项和.由于数列种类繁多，对一般数列讨论这两个问题有一定困难，故一般的，均能将待解决的问题化归成我们比较熟悉的等差、等比这两种最典型的数列去解决.例5 已知数列的首项，前n项和为，且，求的通项公式.分析与略解：当n2时，.两式相减，得，将之变形为.可见是公比为2的等比数列.又 ，得 ，则 .因此 .两边同除以，得（常数），可见是首项为，公差为的等差数列.因此，从而.评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行，问题降低了难度.化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等.结束语：当然，渗透数列中的思想还有“一般与特殊的思想”、“归纳猜想的思想”、“递推（归）的思想”等.数学中的思想与方法是数学的“灵魂”，它并不是完全抽象的东西，而是以数