数学教学中教师该做些什么——对一节研究性教学课例的思考

1、数学教学中教师该做些什么?对一节研究性教学课例的思考    拜读了王芝平、郝澎老师的研究性教学课例，笔者为之振奋和感慨：我在教学中不也经历过这样的研究式教学吗？这样的研究式教学是令人快乐的啊!遗憾的是在现今的课堂上实在太少了！如果师生在数学课堂中都能置身于数学探究之中，那么我们的数学教学就能演绎成一幕幕“数学研究”的活剧我们的数学教学就可以甩掉“枯燥乏味”的帽子，进入一个教师乐教、学生乐学的数学乐园！ ?欣喜之余，笔者愿结合此课例和自己的实践就教师在研究性教学中如何发挥自己的积极作用谈几点体会和认识    1教师是

2、数学课程的开发者和创造者    以往在教师的头脑中，教学内容和进度是由国家的教学大纲和教学计划规定的，教师的任务只是按照教科书、教参去教，承担的是“传递”任务新一轮课程改革认为，课程不等同于教材，而是教师和学生共同探求新知识的过程；课程不只来源于教材，而且来源于教师、学生和环境，是在四者之间的相互作用和相互影响中生成和发展的；课程实施的意义不只是传授知识或培养能力，而是培养一个在知识、能力、情感态度和价值观诸方面全面、和谐发展的人因此，教师是课程的开发者和创造者，教学不只是“教教材”，而是“用教材教”，整个教学的过程既是课程实施的过程，也是课程不断开发和

3、生成的过程    从课例中可见，王老师十分成功地实践了“教师是课程的开发者和创造者”    首先，王老师运用自己的数学素养和教学经验对教材进行了深入的挖掘，将教材第101页的2个习题整合为“抛物线焦点弦的有关性质”的研究课题这样，通过教师与教材的相互作用，提供到课堂上与学生交流的课程内容就已经不再是教材静态的、单一的内容了，而是内容更为丰富，思想更为鲜活，内涵更为深刻的课程内容了    其次，王老师充分发挥了学生3和学生8所犯“错误”、所历“曲折”这种特殊的课程资源所具有的独

4、特的教育意义    具体地说，对学生3的不当类比，王老师并没有简单地否定或纠正，而首先是让学生说出他个人的思维方式这样，师生了解到了学生发生错误的实际思维过程，从而就为进行有针对性地有效纠错提供了必要的基础事实上类比思维是极其可贵的，这样的“错误”从思维方式上来说是有其合理之处的，如果我们简单地予以否定，那么学生要么莫名其妙，不能真正理解、认识到自己的错误，要么会怀疑“类比”并且不敢再行“类比”了类似地，对于学生8的错解，王老师没有向学生明确地表明自己的观点（“能证明或否定它吗？”），而是通过设问给了学生一个思考、探究的机会  

5、60; 进一步地，王老师让学生上讲台演示，“给了他充分表达自己想法的机会和探索的时间”，然后再让大家进行讨论这样，王老师通过提供研讨的时空，把学生对“问题”的种种思考和想法都充分地开发出来了同样，对于学生8的错解，王老师通过问句“能证明或否定它吗？”打开学生思维的窗户，给了学生一个广阔的思维空间，使他们充分地展开探究活动从而把学生对问题的思考和想法全部开发出来了    特别地，在探究学生3的命题的整个过程之际，从“肯定猜想”“没有大胆的猜想就不会有伟大的发现”，到“质疑猜想”（包括组织讨论）“猜想到的结论一定是正确的吗？”再到“证明（反驳）猜想

6、”特例检验、图形直观，学生经历了科学研究的一般过程，从而受到了科学的思维方法论教育其次，教师对错误、失败以及出错学生的尊重之举于无形之中便对学生进行了一次很好的情感态度方式乃至人生观的教育显然，此二者对学生的意义已超越了具体问题的获解，具有深远的“发展”意义因此可以说，它们是王老师对学生所犯“错误”、所历“曲折”这种特殊的课程资源最重要的课程开发    2教师是数学活动的组织者、指导者和推进者 课例中一个值得引人深思的现象是，王老师在本节课的17处讲话中有13处有问号，另有6处有感叹号这反映或说明了什么？    在

7、传统的数学课堂上，教师生怕学生看不懂教材或不能很好地理解教师讲授的内容，于是不厌其烦地反复讲，追求讲深讲透当代建构主义学习观认为，学生的数学学习是学生从自己已有的知识和经验出发并凭借自己已有的知识和经验对新的问题情境、新的知识进行同化或顺应的自主建构过程特别是这种建构是发生在每一个学生的头脑里的，是他人无法替代的，如果没有对新情境、新知识的自主建构活动，那么新情境、新知识就无法与已有的知识和经验建立实质性的联系，从而“学习”就不可能真正地发生因此，传统的数学课堂中教师不厌其烦的反复讲解从实质上来说并无助于学生对新情境、新知识的认知，无助于学生学会探究问题解决问题  

8、0; 那么，在课堂中教师又该如何处理讲和不讲呢？进一步地，教师在课堂中究竟该发挥什么样的作用呢？事实上，王老师在这一课例中一系列词句和感叹句给了我们很好的注解，即教师在课堂中应积极地发挥学生数学活动的组织者、推进者和指导者的作用    具体地说王老师在充分挖掘教材和精心组织教学内容的基础上，一上课即出示问题情境让学生进行思考、探索（“我们能发现什么结论吗?”)；在“众生”得出4个结论之后即组织学生探究、证明（“能证明这些结论吗？”）；在学生证明它们之后即组织学生深入研究“通径中的这些结论，在抛物线的一般的焦点弦中会怎样呢？”；在学生3得出错误结

9、论之后通过追问、质疑、设疑、鼓励等连续4个问句组织学生包括学生3本人对学生3的解答进行反思、辨析；随后又通过设问“你能证明或否定它吗？”引导学生对学生8的解答进行辨析、探究；在证明了通径的焦点弦的性质后，通过设问“那么，通径是否是抛物线的焦点弦中唯一最短的呢？”，及时地组织学生探究其唯一性；最后，通过设问“我们还能发现什么结论吗？”，鼓励学生展开思维探索新的结论，通过设问“我们还有哪些收获呢？”鼓励和提醒学生从其他方面（思维、情感态度、价值观）进行归纳总结在课例结束之际，王老师还不失时机和热情地鼓励、组织学生进行课外研究活动从而我们清晰地看到，正是通过王老师一系列的问句，探究活动被有条不紊、循

10、序渐进地组织和推进；而学生不断地进入思考和深入思考的境地    特别是每当学生在阶段性的研究活动中取得了成果之际王老师都能及时地予以充分地肯定或表扬（感叹）事实上教师的这种肯定或表扬对处于数学探究活动中的学生来说是十分宝贵的，那是教师对他们的无价奖赏，也是师生情感的一种沟通与交流，是促使他们鼓足干劲，再接再厉，进入下一阶段的数学探究活动的兴奋剂可见王老师深知学生的心理需要从更深入的角度来说，事实上王老师在不知不觉中把自己对学生智慧的欣赏态度、对学生由衷的热爱之情转化成了推动学生的探究活动深入发展的课程资源了    

11、当然，王老师没有忘记，教师在学生的探究活动中应有的指导作用比如，对于学生3的猜想，通过王老师的质疑让学生明白猜想是需要证明或反驳的；在师生对学生3的思考讨论完毕之余，王老师的小结让学生认识到“在科学发现中，错误和失败不仅是在所难免的，也是我们所需要的，很多情况下，真理来自错误，成功源自失败”；王老师还指导学生注意从学生3失败（错误猜想）的可取（合理）之处着手探究问题的解决，事实上这即是真实的科学研究的一般方法和历程；在学生10解答之余王老师及时地小结解题思想方法“解析几何问题一般离不开代数运算”、“见繁即变，见简即用，不胶一法，乃为通术”；在学生12完成证明之后，王老师即从数学哲学和数学方法论

12、上进行了小结；“逻辑的严谨性是数学的主要特征由观察、猜想获得的结论，必须通过严谨的数学演绎论证，才能上升为数学定理”；最后，王老师从数学及科学研究的高度对本节课的数学内容和师生经历的数学活动进行了阐释所有这些都使得本节课教师的教学和学生的探究活动从具体的数学内容中脱胎出来，上升到一般的科学研究层面，具有了思维方法论的教育意义而这正是一般的数学教学所缺乏的！    不过，王老师对学生11另一种解答的评价“真是得来全不费功夫!”似值商榷事实上这一评价容易使一些学生对数学生发一种“神秘”感，也无助于学生了解方法的来源及其发生的思维过程，从而就难以对它产生真正的

13、“理解”其实，学生11的解法并不是不可捉摸、凭空而来的从“直线的表达式”这一知识结构出发便可十分自然地获得因此教师不妨反问学生11“你是如何得到的”，从而使学生从知识结构上深入地认识这一解法并获得相应的理解    教师要尽可能地“放手”    应该说，在这一节课中，王老师让学生充分地进入了数学探究活动之中，突出了学生在课堂中的主体地位特别是王老师敢于让学生经历错误，善于指导学生从错误中走出来，避免了弗赖登塔尔所说的“教学法的颠倒”，体现了“数学教学即数学研究”的教学思想，是十分值得赞赏的  &#

14、160; 但是，笔者在此又愿提出如下意见与大家商讨，即在这一节课中，学生探究活动的研究性、自主性和广泛性是否可以进一步改善？    具体地说，由抛物线通径的性质到抛物线一般的焦点弦的性质无疑体现了“从特殊到一般”的思想方法，但是这一转折在课例中却是教师本人给出的，从而是否真正发挥了应有的教育意义就值得怀疑即如果没有教师的推广，学生能否自主地生发并由此而深刻地体验“由特殊到一般”的研究思想？    其次，在学生6回答完毕之后，教师提出的“那么学生3的猜想中有合理的地方吗？”也给人一种“生硬”的感觉即如果没有

15、教师这种突兀的指引，学生能否采取这样一种策略呢？    事实上，以上两个地方正是探究活动暨思维教育的重要环节，因而我们就不得不为师生感到担心：是否错过了思维教育或磨砺的重要机会？    笔者以为，对于前一问题，我们是否可以这样处理，即在提出“圆锥曲线的焦点弦问题是解析几何中一个非常重要的问题今天，我们就来共同研究抛物线焦点弦的有关性质”这一问题之后，教师并不讲授通径的概念，而是放手让学生自行去探究一阵，包括鼓励和指导学生几个人一组地“共同”探究    可以说，以上的改进方案就

16、给予了学生更具真实性和挑战性的问题：没有了“通径”这一具体条件，问题更为开放；没有“通径”这一特殊情形的提示，对一般情形的研究也更为真实从而，“问题”给予学生的探究空间就更为广阔，引发的探究性活动就更具自主性同时，由于给予了学生自主探究的时间，特别是通过小组共同研究，学生更易被广泛地调动起来，他们的思维也更能在思想的交流、碰撞和启发中得到激活，并从不同的角度广泛和深入地展开，从而为接下来全班性的师生共同研讨打下必要的基础    事实上，学生通过自觉或盲目的探究更易发现并从整体上感知“抛物线的焦点弦的长在它垂直于横轴时最短，而当它的倾斜角由90?°

17、;?逐渐减小到0?°?时，抛物线的焦点弦就逐渐变成抛物线的对称轴，它的长度将由2p趋于无穷大”而且，由于此种情况下此结论往往首先是从图形(的变化）上看出来的，因而就不会像课例中那样受已有结论“”的干扰了特殊地，由此数形结合思想及解析几何所蕴含的“运动观”就能更广泛地得到体验和认识    特别地，由此也更有利于学生形成良好的数学观，体会和认识“特殊到一般”的方法论，增进发现问题和提出问题的能力，形成创新的意识和科研的欲望，获得成功的体验和成就后的满足即,通过以上，学生可以清晰地看到，“通径”的概念是数学上必要和合理的“创造”，而“特殊”在科学研究

18、中具有重要的研究价值，“特殊到一般”是科学研究的重要方法论，学习不等于被动接受，他们是可以有所创造的！    对于后一问题，笔者以为，此时完全可以放手让学生自行（包括独立思考和合作讨论）去尝试证明（开放），而没有必要把学生的思维突然指引到学生3的解答上去（收敛）不要怕学生找不到合理或高效的思路，学生在由盲目到自觉、由失败到成功的曲折历程（体验）中更能理解和认识“错误之中有合理的地方”、“要善于从失败之中汲取有益的成分获得有益的启示”，这比单纯地由教师给出这一道理更为有效这也是一种启发式或灌输式    事实上，以上的

19、讨论已提醒我们，思维方法的教育一如知识的教授，也是不可灌输而只能让学生从自己已有的知识和经验出发，在“经历”问题解决的过程中自主建构的；在问题解决的过程中，只有方向是他（们）自己选择的，子问题是他（们）自己提出的，信息是他（们）自己收集处理的，方法是他（们）自己思考（包括相互交流、相互启发）获得的，才能真正地、有效地培养学生勇于创新的意识、独立思考的精神、问题解决的能力特别是提出问题的能力，以及合作、交流的行为方式因此，我们在试图进行思维方法教育时，就需要进行必要的放手，特别是在某些重要环节，我们又必须尽可能地放手，否则易使设计之中的思维方法教育成为实际上的“知识（经验）灌输” &#

20、160;  一般地说，在此课例中，问题基本上是教师提出来的，而学生基本上是被教师从一个问题引领到另一问题，基本上只是在尝试解决教师所提问题而没有“提出问题”的行为特别是在一些探究的关键环节上，学生尚未多加思考时教师便已主动地“牵引”（提问）学生前行，实是遗憾    事实上，以上就涉及了一种更为普遍和值得探讨的教学现象，即在许多数学课堂上，我们往往看到问题一提出来教师即让学生口答，问题最终在教师和几位学生的“问答”之中解决了当然，有时也有一些学生能跟上来，能听懂他们之间的对话并参与其中（齐答)但事实上由于每个学生具有的知识和经验不尽相同，他们对问题的感知、理解、探究、解答的方式、方法、进程也是不尽相同的，特别是在速度上往往相差很大从而在这样的教学当中，我们就往往可以看到这样一种现象，即当部分（往往是少部分）对问题的感知、理解、探究、解答走在前面的学生说出他们的思考之际，另一部分（往往是大部分）学生便丧失了经历对问题的感知、理解、探究、解答的机会，因为发言者已使他们的